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1、2021全国高中数学竞赛专题-三角函数全国中学数学竞赛专题-三角函数 三角恒等式与三角不等式 一、基础学问 定义1 角：一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是随意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的肯定值|= r L ,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上随意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐
2、标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in =r y ,余弦函数co s =r x , 正切函数tan = x y ，余切函数cot =y x ，正割函数se c =x r ,余割函数c s c =.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan =cot 1,s in =csc 1，co s =sec 1 ； 商数关系：tan = sin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan co s =s in ,cot s in =co s ； 平方关系：s in 2+co s 2=1, tan 2+1=se c 2, cot 2+1=c s c 2. 定
3、理2 诱导公式（）s in (+)=-s in , co s(+)=-co s , tan (+)=tan , cot (+)=cot ; （）s in (-)=-s in , co s(-)=co s , tan (-)=-tan , cot (-)=cot ; （）s in (-)=s in , co s(-)=-co s , tan =(-)=-tan , cot (-)=-cot ; （）s in ? ?-2=co s , co s ? ?-2=s in , tan ? ?-2=cot （奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，依据图象可得y =s inx （x R ）的性质
4、如下。单调区间：在区间? ? ? ?+ - 22,2 2 k k 上为增函数，在区间? ? ? ?+ 232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2时，y 取最大值1，当且仅当x =3k -2 时, y 取最小值-1，值域为-1，1。对称性：直线x =k + 2 均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心。这里k Z . 定理4 余弦函数的性质，依据图象可得y =co s x (x R )的性质。单调区间：在区间2k , 2k +上单调递减，在区间2k -, 2k 上单调递增。最小正周期：2。奇偶性：偶函数。有界性：当且仅当x =2k
5、时，y 取最大值1；当且仅当x =2k -时，y 取最小值-1。值域为-1，1。对称性：直线x =k 均为其对称轴，点? ? ? ?+ 0,2 k 均为其对称中心。这里k Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x k + 2)在开区间(k -2, k +2 )上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k ，0），（k +2 ，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式：co s()=co s co s s in s in , s in ()=s in co s co s s in ; tan ()= .) tan tan 1() tan (tan 两角
6、和与差的变式：2222 sin sin cos cos sin()sin()-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()cos()-=-=+- 三角和的正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan +-+= - 定理7 和差化积与积化和差公式: s in +s in =2s in ? ?+2co s ? ?-2, s in -s in =2s in ? ?+2co s ? ?-2, co s +co s =2co s ? ?+2co s ? ?-2, co s -co s =-2s in ? ?+2s
7、 in ? ?-2, s in co s =21s in (+)+s in (-), co s s in =21 s in (+)-s in (-), co s co s =21co s(+)+co s(-), s in s in =-2 1 co s(+)-co s(-). 定理8 二倍角公式：s in 2=2s in co s , co s2=co s 2-s in 2=2co s 2-1=1-2s in 2, tan 2= .) tan 1(tan 22 - 三倍角公式及变式：3 sin 33sin 4sin =-，3 cos34cos 3cos =- 1s i n (60)s i n
8、s i n (60)s i n 34 -+=，1 cos(60)cos cos(60)cos34 -+= 定理9 半角公式: s in 2=2)cos 1(-, co s 2 =2)cos 1(+, tan 2=)cos 1() cos 1(+-= .sin )cos 1() cos 1(sin -=+ 定理10 万能公式: ? ? ? ?+? ? ?= 2tan 12tan 2sin 2, ? ?+? ?-=2tan 12tan 1cos 22,.2tan 12tan 2tan 2? ?-? ?= 定理11 协助角公式：假如a , b 是实数且a 2+b 20，则取始边在x 轴正半轴，终边经
9、过点(a , b )的一个角为， 则s in =22b a b +,co s =2 2b a a +，对随意的角.a s in +bco s =)(22b a +s in (+). 定理12 正弦定理：在随意ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin =， 其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理13 余弦定理：在随意ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。定理14 射影定理：在随意ABC 中有cos cos a b C c B =+，cos cos b a
10、C c A =+，cos cos c a B b A =+ 定理15 欧拉定理：在随意ABC 中，2 2 2OI R Rr =-，其中O,I 分别为ABC 的外心和内心。定理16 面积公式：在随意ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2 a b c p += 则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R = =+ 222 1)(c o t c o t c o t )4 c a A b B c C =+ 定理17 与ABC 三个内角有关的公式： （1）sin sin sin 4
11、cos cos cos ;222 A B C A B C += （2）cos cos cos 14sin sin sin ;222 A B C A B C +=+ （3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C += （4）tan tan tan tan tan tan 1;222222 A B B C C A += （5）cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A += （6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin .A B C A B C += 定理18 图象之间的关系：y =s inx 的图象经上下平移得y
12、=s inx +k 的图象；经左右平移得y =s in (x +?)的图象（相位 变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到y =s in x (0>)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (x +?)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y =A s inx 的图象（振幅变换）；y =A s in (x +?)(, ?>0)(|A | 叫作振幅)的图象向右平移 ? 个单位得到y =A s in x 的图象。定义4 函数y =s inx ? ? ?-2,2x
13、 的反函数叫反正弦函数，记作y =a r c s inx (x -1, 1)， 函数y =co s x (x 0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y =a r cco s x (x -1, 1). 函数y =tanx ? ? ? ?- 2,2x 的反函数叫反正切函数。记作y =a r ctanx (x -, +). 函数y =co t x (x 0, )的反函数称为反余切函数，记作y =a r ccotx (x -, +). 定理19 三角方程的解集，假如a (-1,1)，方程s inx =a 的解集是x |x =n +(-1)n a r c s ina , n Z 。方程co s x =a
14、的解集是x |x =2kx a r cco s a , k Z . 假如a R ，方程tanx =a 的解集是x |x =k +a r ctana , k Z 。恒等式：a r c s ina +a r cco s a = 2；a r ctana +a r ccota =2 . 定理20 若干有用的不等式： （1）若? ? ?2, 0x ，则s inx （2）函数sin x y x =在(0,)上为减函数；函数tan x y x =在(0,)2 上为增函数。（3）嵌入不等式：设A+B+C=，则对随意的x,y,z R ， 有2 2 2 2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B
15、 xy C + 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1结合图象解题。例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2三角函数性质的应用。例2 设x (0, ), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。 若? ? ? ?,2x ，则-1所以s in (co s x ) 0,又02x ? ? ? ? ，则因为s inx +co s x =2s in (x + 4)2， 所以co s(s inx )>co s
16、( 2 -co s x )=s in (co s x ). 综上，当x (0,)时，总有co s(s inx )3最小正周期的确定。 例3 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x, 所以T =2是函数的周期； 4三角最值问题。 例4 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 令s inx =? ?= + 4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2 + =+ 因为 4304，所以+42，所以)4 sin(0 +
17、1， 所以当43=，即x =2k -2(k Z )时，y m in =0，当4=，即x =2k +2 (k Z )时，y m ax =2. 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222 x x x + +=2（因为(a +b )22(a 2+b 2)）， 且|s inx|1x 2cos 1+，所以0s inx +x 2cos 1+2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k +2 (k Z )时, y m ax =2， 当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k -2 (k Z )时, y m in =0。 5换元法的运用。例5 求x x x x y
18、cos sin 1cos sin += 的值域。 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222+=? ? ?+x x x 因为,1)4 sin(1+ - x 所以.22-t 又因为t 2 =1+2s inxco s x ,所以s inxco s x =212-t ，所以2 1121 2-=+-=t t x y ，所以 .212212-y 因为t -1，所以121-t ，所以y -1.所以函数值域为.212,11,212? ? ?-?-+- y 6图象变换：y =s inx (x R )与y =A s in (x +?)(A , , ?>0). 例6 已
19、知f (x )=s in (x +?)(>0, 0?)是R 上的偶函数，其图象关于点? ?0,43M 对称，且在区间? ? ?2,0上是单调函数，求?和的值。 由f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，所以s in (x+?)=s in (-x +?)， 所以co s ?s inx =0，对随意x R 成立。又0?，解得?=2 ， 因为f (x )图象关于? ? ?0,43M 对称，所以)43()43(x f x f +-=0。 取x =0，得)4 3(f =0，所以sin .024 3=? ?+ 所以243+=k (k Z )，即=32(2k +1) (k Z ). 又
20、>0，取k =0时，此时f (x )=sin (2x + 2)在0，2 上是减函数； 取k =1时，=2，此时f (x )=sin (2x +2)在0，2 上是减函数； 取k =2时，310，此时f (x )=sin (x +2)在0，2 上不是单调函数， 综上，=3 2 或2。7三角公式的应用。例7 已知sin (-)= 135，sin (+)=- 135，且-? ?,2，+? ? ?2,23，求sin 2,cos 2的值。 因为-? ? ?,2，所以cos (-)=-.1312)(sin 12 -=- 又因为+? ? ?2,23，所以cos (+)=.1312)(sin 12=+-
21、所以sin 2=sin (+)+(-)=sin (+)cos (-)+cos (+)sin (-)=169 120 , cos 2=cos (+)-(-)=cos (+)cos (-)+sin (+)sin (-)=-1. 例8 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且B C A cos 2cos 1cos 1-=+，试求2 cos C A -的值。 因为A =1200-C ，所以cos 2 C A -=cos (600-C )， 又由于) 120cos(cos cos )120cos(cos 1)120cos(1cos 1cos 10 00C C C C C C C A -+-=
22、+-=+ = 222 1)2120cos() 60cos(2)2120cos(120cos 21)60cos(60cos 2000000-=-=-+-C C C C ， 所以232 cos 22cos 242-+-C A C A =0。解得222cos =-C A 或8232cos -=-C A 。 又2 cos C A ->0，所以222cos =-C A 。例9 求证：tan 20?+4cos 70? tan 20?+4cos 70?=?20cos 20sin +4sin 20? ? ?+=+=20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ?
23、 ?+=+=20 cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin 40sin 20sin .320cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin =+=? ? 例10 证明：7 cos77cos521cos335cos 64cos x x x x x += 分析：等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 视察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从
24、而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16+= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x + x x x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64, 2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 327 6+=+= . cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x x x x x x x x +=+= 评述：本题看似
25、“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令 77)1 (cos 128,1cos 2,sin cos z z z z i z +=+=+=从而则，绽开即可. 例11 已知. 20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+求证 证明：)4tan()22 sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec +=+-=+=+. 2001tan 1tan 1=-+=.2001tan 1tan 1=-+= 例12 证明：对任一自然数n 及随意实数m n k m x k ,2,1,0(2 = 为任一整数）， 有 .2cot cot
26、 2sin 14sin 12sin 1x x x x x n n -=+ 思路分析：本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希望能消去其中很多 中间项. 证明：,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x x x x x x x x x -=-=-= 同理 x x x 4cot 2cot 4sin 1-= x x x n n n 2cot 2cot 2sin 11-=- 评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. “裂项相消”在解题中具有肯定的普遍性，类似可证下列各题： n n n
27、 n -= -+ tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan . 1cot 1cos 89 cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1. 2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+-=+n n n n 例13 设ABC ?的内角A B C ,所对的边,a b c 成等比数列，则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B + 的取值范围是（ ） A. (0,)+ B. C. D. )+ 解 设,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq =，而sin cot cos si
28、n cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C += + sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b q B C A A a +-= =+- 因此，只需求q 的取值范围 因,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且 b c a +>即有不等式组 22,a aq aq aq aq a ?+>?+>?即22 10,10.q q q q ?-解得q q q q ，因此所求的取值范围
29、是故选C 例14 ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1， 则C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos 111+?+?+?的值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+ )2 2cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+= )2 cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-+-+=-= ,sin sin )2cos(B C B +=
30、-+ 同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2 cos 1B A C CC += ),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos 111C B A C CC B BB A AA +=+原式=.2sin sin sin ) sin sin (sin 2=+C B A C B A 选A. 例15 若对全部实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3 解：记()s i n s i n c o s c o s c o s 2 k k
31、k f x x k x x k x x =?+? - ，则由条件，()f x 恒为0，取2 x =，得 ()s i n 12k k =-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ? ?-=- ?，因此n 为偶数，令2n m =，则 41k m =-，故选择支中只有3k =满意题意故选D 例16 已知()() 2222212f x x a b x a ab b =+-+-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 A B. 2 C. 解：由已知条件可知，2 2 10a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为2 2 2a ab b +-。令,s cos in b a
32、= ， 则2222 2sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b +=+=-+ 选 A 。例17 已知,R ，直线 1sin sin sin cos x y +=+与1cos sin cos cos x y +=+ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o += 。解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co 为方程 00 1sin cos x x t t -+=+， 的两个根，即为方程2 0sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x -+-=+的两个根。因此cos (sin
33、 sin cos )+=-+，即cos sin c in s s o +=0。1 、 。2、已知函数)45 41(2)cos()sin()(+-= x x x x x f ，则f (x )的最小值为_。3、已知 3sin )2sin(=+，且),(2 ,21Z k n n k + 。则 tan )tan(+的值是_ _. 4、设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对随意实数x 恒成立，则a c b cos = 5、设0)cos 1(2 +的最大值。6、求证：.112tan 312tan 18tan 18tan
34、3=+ 7、已知a 0=1, a n 1 n -(n N +)，求证：a n > 2 2+n . 8、已知. cos sin )tan(:,1|),sin(sin A A A -=+>+= 求证 9、若A ，B ，C 为ABC 三个内角，试求s inA +s inB +s inC 的最大值。10、证明：.2 sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin + = +n n n 11、已知，为锐角，且x （+-2 ）>0，求证：.2sin cos sin cos ? ?+? ?x x 12、求证：16 1 78cos 66cos 42cos 6cos =
35、 sin1sin2sin3sin89=.10641(45? 全国中学数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案 1、解：依据题意要求，2 605x x +，2 0571x x +。于是有2 715x x +=+。因此 cos01=。因此答案为 1。2、解：事实上)4541(2 )4sin(2)(+-=x x x x f ，设)4541)(4sin(2)(-=x x x g ，则g (x )0，g (x )在43,41上是增函数，在4 5 ,43上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对随意43,411x ，存在 45,432x ，使g (x 2)=g (x 1)
36、。于是)(2)(2)(2)()(22 212111x f x x g x x g x x g x f =+=+=，而f (x )在45,43上是减 函数，所以554)4 5 ()(= f x f ，即f (x )在4 5 ,41上的最小值是554。3、解： .213131sin )2sin(1sin )2sin(sin )2sin(21 sin )2sin(21 sin )cos(cos )sin(tan )tan(=-+=-+=-+=?+?+=+ b a 4、解：令c=，则对随意的x R ，都有f (x )+f (x ?c )=2，于是取2 1 =b a ，c=，则对随意的x R ，af (
37、x )+bf (x ?c )=1， 由此得1cos -=a c b 。一般地，由题设可得1)sin(13)(+=?x x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ?，其中202 tan =?， 于是af (x )+bf (x ?c )=1可化为1)sin(13)sin(13=+-+b a c x b x a ?，即 0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+-+b a x c b c x b x a ?， 所以0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+-+b a x c b x c b a ?。由已知条件，上式对随意x R 恒成
38、立，故必有? ? ?=-+=+)3(01)2(0 sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，明显不满意(3)式，故b 0。所以，由(2)知sin c =0，故c=2k +或c=2k (k Z )。当 c=2k 时，cos c =1，则(1)、(3)两式冲突。故c=2k +(k Z )，cos c =?1。由(1)、(3)知21 = =b a ，所以1cos -=a c b 。5、因为020 ，所以s in 2>0, co s 2 >0. 所以s in 2（1+co s ）=2s in 2co s 22 =2cos 2cos 2sin
39、22222 ? 3 22232cos 2cos 2sin 22? ? ? ?=.9342716= 当且仅当2s in 2 2=co s 22, 即tan 2=22, =2a r ctan 22时，s in 2 (1+co s )取得最大值934。6、思路分析：等式左边同时出现 12tan 18tan 、 12tan 18tan +，联想到公式 tan tan 1tan tan )tan(-+=+. 证明： 12tan 312tan 18tan 18tan 3+ 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+
40、-+?=+= 112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+?=+= 1 18tan(3 t 18(tan 3=+?=+= 评述：本题方法具有肯定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1( +22 2)44tan 1(=+ 等. 7、 由题设知a n >0，令a n =tana n , a n ? ? ?2, 0， 则a n = .tan 2tan sin cos 1tan 1sec tan 1tan 111 1111 12n n n n n n n n a a a a
41、 a a a a =-=-= -+- 因为21-n a ，a n ? ?2,0，所以a n =121-n a ，所以a n =.210a n ? ? ? 又因为a 0=tana 1=1，所以a 0=4，所以n n a ? ? ?=214。又因为当0时，tanx >x ，所以.2 2tan 22+>=n n n a 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一样性。另外当x ? ? ?2, 0时，有tanx >x >s inx ，这是个熟知的结论，短暂不证明，学完导数后，证明是很简单的。8、分析：条件涉及到角、+，而结论涉及到角+，.故可利用-+=-+=)()(或消退条
42、件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 证法1： ),sin(sin +=A ),sin()sin(+=-+A ), cos(sin )(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(+=-+=+-+A A cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1|A A A -=+->从而 cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1|A A A -=+->从而 cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos , 1|A A A -=+->从而 . cos sin )tan(,0)cos(,0cos , 1|A A A -=
43、+->从而 证法2：sin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -+=+-=-A ). tan(sin )cos(sin )sin()sin()sin(cos sin )sin(+=+=-+-+=).tan(sin )cos(sin )sin()sin()sin(cos sin )sin( +=+=-+-+=).tan(sin )cos(sin )sin()sin()sin(cos sin )sin(+=+=-+-+= 9、 因为s inA +s inB =2s in 2B A +co s 2sin 22B A B A +-, s inC
44、 +s in 2 3sin 22 3cos 2 3sin 23 +-+=C C C , 又因为3 sin 24 3cos 43sin 22 3sin 2 sin - -+ +=+C B A C B A C B A ， 由，得s inA +s inB +s inC +s in 34s in 3 , 所以s inA +s inB +s inC 3s in 3=233,当A =B =C =3 时，（s inA +s inB +s inC ）m ax =233. 注：三角函数的有界性、|s inx |1、|co s x |1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调 性等是解三角最值的常用手段。10、证明：),2 cos()2cos(212sin sin -+-= )sin()2sin()sin(sin 2 sin , )2 1 2cos()212cos(212sin )sin(, )2 3 cos()25cos(212sin )2sin(),2cos()23cos(212sin )sin( n n n n +