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1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编三角函数部分2019A 6、对任意闭区间，用表示函数在上的最大值若正数满足，则的值为 答案：或解析：若，,与条件不符，所以，此时，于是存在非负整数，使得，且处至少有一处取到等号。当时，得或，经检验得或均满足条件；当时，由于，故不存在满足的。综上或。2018B 5、设满足，则的值为 答案： 解析:由两角差的正切公式可知，即可得2017A 2、若实数满足，则的取值范围为 答案： 解析：由得，得，所以，可求得其范围为。2016A 6、设函数，其中是一个正整数。若对任意实数，均有，则的最小值为 答案：16解析：由条件知， 其中当且仅当时，取到最大值根据条
2、件知，任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点，从而，即反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立综上可知，正整数的最小值为2015A 2、若实数满足，则的值为 答案：解析：由条件知，反复利用此结论，并注意到，得2015A 7、设是正实数，若存在，使得，则的取值范围是 答案：解析：由知，而，故题目条件等价于：存在整数，使得 当时，区间的长度不小于，故必存在满足式当时，注意到，故仅需考虑如下几种情况： (i) ，此时且无解；(ii) ，此时;(iii) ，此时,得综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦满足条件，可知2015B 3、某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小
3、时）的函数关系为：，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值为 答案： 解析：由辅助角公式：，其中满足条件，则函数的值域是，室内最大温差为，得 故,等号成立当且仅当2014A 10、（本题满分20分）数列满足，（）求正整数，使得。解析：由已知条件可知，对任意正整数，且 由于，故。由得，故即。 10分因此，（利用）由，得。 20分2014B 10、（本题满分20分）设是多项式方程的三个根.已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（5分）证明：。（15分）解析：设，则它至多有三个实根。由于，我们可以看到三个区间，的端点函数的值改变符号，所有三个根分别落在这三个区间的内部，这样便
4、可以作为满足条件的三个根的近似值。（也可以写成）假定，由于，所以，同理，得，从而和都落在区间之中，所以我们只需证明：。由正切公式知，等价于，即等价于，由根与系数关系知，显然上式是成立的。这样就完成了证明。2008AB13、已知函数的图像与直线（）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：。证明：的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，由于，所以，即因此 2007*4、设函数。若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于 A. B. C. D. 答案：C解析：令，则对任意的，都有，于是取，则对任意的，由此得。一般地，由题设可得，其中且，于是可化为，即，所以。由已知条件，上
5、式对任意恒成立，故必有，若，则由(1)知，显然不满足(3)式，故。所以，由(2)知，故或()。当时，则(1)、(3)两式矛盾。故()，。由(1)、(3)知，所以。2007*11、已知函数（），则的最小值为 答案：解析：解：实际上，设，则，在上是增函数，在上是减函数，且的图像关于直线对称，则对任意，存在，使。于是，而在上是减函数，所以，即在上的最小值是。2007*15、（本题满分20分）设函数对所有的实数都满足，求证：存在个函数（）满足：对，都是偶函数，且对任意的实数，有；对任意的实数，有。证明：记，则，且是偶函数，是奇函数，对任意的，。令， ，其中为任意整数。容易验证，是偶函数，且对任意的，。
6、下证对任意的，有。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的，有。下证对任意的，有。当时，显然成立；当时，所以，而此时，故；当时，故，又，从而有。于是，对任意的，有。综上所述，结论得证。2006*7、设函数，则的值域为 答案：解析：。令，则。因此。 即得。2005*9、设满足，若对任意，则 答案：解析：设由，知，即又只有（另一方面时，代回原式很容易验证对的任意性都成立）2004*7、在平面直角坐标系中，函数（）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积为 答案：解析：，取一个周期的图像，割补得面积为长为，宽为的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填2003*4、若，则的
7、最大值是 A. B. C. D. 答案：C解析：令，则，当时，原函数即变为，在上，都单调递增，从而单调递增于是时，取得最大值，故选C2002*12、使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是 答案：解析：因为对一切恒成立，即（）所以当时，函数有最大值即，即，解得或又，所以，即所求负数a的取值范围是。2001*3、在四个函数，|中以为周期、在上单调递增的偶函数是 A. B. C. D. 答案：D解析：不是周期函数以2为周期在上单调递减只有满足全部条件2000*2、设，且，则的取值范围是( )A.， B. ，C. ， D. 答案：D解析：满足，的的范围是，于是的取值范围是，满足的的取值范围为故所求范围
8、是，选D2000*7、的值为 _答案：解析：因为1997*5、设，则（ ）A. B. C. D. 答案：B解析： 的对称轴为， 易得， 选B1997*13、（本题满分20分）设，且，求乘积的最大值和最小值。解析：由于，故 即为所求最小值 (由于，故)，所以当，时， 又，且。由于，故当时取得最大值 最大值，最小值1996*4、设，以下三个数：, , ,的大小关系是_ A. B. C. D. 答案：D解析：，排除B、D ，于是， ，故，选A另解：也可以取代入计算可得1995*5、，的大小关系是( )A. B. C. D. 答案：C解析：因为，故所以， ，设，则得，所以；，则，所以；即设，则得，(结
9、合指数函数图象进行比较)，即.故选C1994*4、已知，则下列三数：， 的大小关系是（ ） A. B. C. D.答案：A解析：由得又，所以 即选A1994*10、设，则的最大值是_ _答案：解析：令，知，所以即，当时等号成立1992*8、在区间中，三角方程的解的个数是_答案：解析：由题意得，或，()，得， ()，在区间内共有7解1991*7 答案：解析：原式1990*1设,则，的大小顺序是A. B. C. D.答案：D解析：得， ；选D1990*8设为平面上一定点，为动点，则当由变到时，线段扫过的面积是 答案：解析：点在单位圆上，.当由变到时，点沿单位圆从运动到线段扫过的面积等于扇形面积等于
10、1990*13已知均为正整数，且，(其中)，求证：对于一切自然数，均为整数证明：由，得记当均为正整数时，、均为整数，也为整数若、均为整数，则为整数也为整数由数学归纳原理知对于一切，为整数1989*2函数的值域是( )A B C D 答案：D解析：因，故，且，选D1989*12当和取遍所有实数时，则所能达到的最小值为 答案：解析：令，则得椭圆在第一象限内的弧段再令，则得，表示一条直线表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方其最小值为点与直线距离平方等于1986*1、设，那么不等式的解集为( )A BCD答案：D解析：，在内满足的角为，由单位圆易得解为D1985*3、已知方程，则( )A B C D这样
11、的不存在答案：D解析：即设，则，即为锐角故选D1984*7、 若动点以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动方式是（ ）A以角速度在单位圆上顺时针运动 B以角速度在单位圆上逆时针运动C以角速度在单位圆上顺时针运动 D以角速度在单位圆上逆时针运动答案：C解析：令，则显然与旋转方向相反故选C1984*10、方程的通解是 ，在内不相同的解有 个答案：或；解析：由题意得，或当时，；当时，；而当及时，解是相同的，故共有个不同的解1983*一、(本题满分8分)求证：，其中证明：由于，故与有意义，由于arccosx0， 故根据反正弦定义，有故证1982*5、对任何都有（ ）A. B. C. D. 答案：D解析：由，得，得故选D1981*3、设（），则下列正确的是（ ）A.取负值 B. 取非负值 C. 取正值 D. 取值可正可负答案：C解析：