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1、高一数学下册集合与函数概念知识点汇总高一数学集合与函数概念. 第一章集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、精确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行沟通的实力. 函数是中学数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界改变规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的相识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，驾驭某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的详细问题，
2、感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培育学生分析、比较、归纳的逻辑思维实力. 4、能在详细情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的交集与并集,培育学生从详细到抽象的思维实力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能运用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作
3、用；会求一些简洁函数的定义域和值域，并娴熟运用区间表示法. 9.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简洁函数的图象. 10.通过详细实例，了解简洁的分段函数，并能简洁应用. 11.结合熟识的详细函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过详细函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和探讨函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事务和重要人物,了解生活中的函数实例. 二.编写意图与教学建议 1.教
4、材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够运用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和精确性，发展运用数学语言进行沟通的实力.教材力求紧密结合学生的生活阅历和已有数学学问，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并驾驭集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例动身，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的相识规律，同时有利于培育学生的抽象概括的实力，增加学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和沟通的情境和机会
5、，并留意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示相识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3.教材在例题、习题教学中注意运用集合的观点探讨、处理数学问题，这一观点，始终贯穿到以后的数学学习中. 4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，肯定要按部就班，从繁到难，逐步渗透这方面的训练. 5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特殊是人为的过于技巧化的训练不做提倡，老师要精确把握这方面的要求，防止
6、拨高教学. 6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采纳不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的相识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度探讨图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑依次上的调整，体现了特别到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性. 8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简洁函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用. 9.为了体现教材的选择性,在练习题支配上加大了弹性,老师应依据学生实际,合理地取舍.
7、三.教学内容及课时支配建议 本章教学时间约13课时。 1.1集合4课时 1.2函数及其表示4课时 1.3函数的性质3课时 实习作业1课时 复习1课时 1.1.1集合的含义与表示 一.教学目标： l.学问与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培育学生抽象概括的实力. 2.过程与方法 (1)让学生经验从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学学问. 3.情感.看法与价值观 使学生感受到学习集合的必要
8、性，增加学习的主动性. 二.教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三.学法与教学用具 1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思索.沟通.探讨和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2.教学用具：投影仪. 四.教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1老师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和相互沟通.与此同时，老师对学生的活动赐予评价. 2.接着老师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1老师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)120以内的全部质数；
9、 (2)我国古代的四大独创； (3)全部的安理睬常任理事国； (4)全部的正方形； (5)湖南省在2022年9月之前建成的全部立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的全部的点； (7)方程的全部实数根； (8)不等式的全部解； (9)洞口一中2022年9月入学的高一学生的全体. 2老师组织学生分组探讨：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出位同学发表本组的探讨结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.老师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，表示，元素常用小写字母表示.
10、 (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1老师引导学生阅读教材中的相关内容，思索：集合中元素有什么特点?并留意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2老师组织引导学生思索以下问题： 推断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.老师对学生的学习活动赐予刚好的评价. 4.老师提出问题，让学生思索 (1)假如用A表示高(3)班全体学生组成的集合，
11、用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于. 假如是集合A的元素，就说属于集合A，记作. 假如不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作. (2)假如用A表示“全部的安理睬常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示 (3)让学生完成教材第6页练习第1题. 5.老师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题. 6.老师引导学生阅读教材中的相关内容，并思索.探讨下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?
12、 (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何依据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清晰三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化，反馈矫正 老师投影学习： (1)用自然语言描述集合1，3，5，7，9； (2)用例举法表示集合 (3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题. (五)归纳整理，整体相识 在师生互动中，让学生了解或体会下例问题： 1本节课我们学习过哪些学问内容? 2你认为学习集合有什么意义？ 3选择集合的表示法时应留意些什么? (六)承上启下，留下悬念 1课后书面作业：第13页习题1.1A
13、组第4题. 2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材. 高一数学集合有关概念学问点总结 高一数学集合有关概念学问点总结 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 u
14、留意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1）列举法：a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 留意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或B
15、A 2“相等”关系：A=B(55，且55，则5=5) 实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等” 即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:假如AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 假如AB,BC,那么AC 假如AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集定义由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由全部属于集合A或属
16、于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB=x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） SA记作，即CSA=韦 恩 图 示 SA性 质AA=A A= AB=BA ABA ABBAA=A A=A AB=BA AB ABB(CuA)(CuB) =Cu(AB) (CuA)(CuB) =Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是（） A某班全部高个子的学生B闻名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c的真子集共有个 3.若集
17、合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是. 4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40人，化学试验做得正确得有31人， 两种试验都做错得有4人，则这两种试验都做对的有人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=. 7.已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若BC，AC=，求m的值 高一数学必修一第一轮复习学问点：集合与函数概念 高一数学必修一第一轮复习学问点：集合与函数概念 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的
18、“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，特地探讨集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的全部领域。集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，
19、使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：假如集合A的全部元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)
20、，不要混淆，考试时还是要以课本为准。全部男人的集合是全部人的集合的真子集。 集合的几种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作AB(或BA)，读作“A并B”(或“B并A”)，即AB=x|xA，或xB交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作AB(或BA)，读作“A交B”(或“B交A”)，即AB=x|xA，且xB例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因为A和B中都有1，5，所以AB=1，5。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说AB=1，2，3，5。图
21、中的阴影部分就是AB。好玩的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，则A?B=a，c，d对称差运算的另一种定义是：A?B=(AB)-(AB)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n=1，2，3，n，假如存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB=xxA，x不属于B。注：空集包
22、含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA=x|xU，且x不属于A空集也被认为是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA=3，4。在信息技术当中，经常把CuA写成A。集合元素的性质1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这特性质主要用于推断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必需为自然数。3.互
23、异性：集合中随意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：a，b，cc，b，a是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x|x2，集合A中全部的元素都要符合x2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，全部符合x2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。 集合有以下性质若A包含于B，则AB=A，AB=B集合的表示方法集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c拉丁字母
24、只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A=的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。常用的有列举法和描述法。1.列举法常用于表示有限集合，把集合中的全部元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3，2.描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|P(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于的正实数组成的集合表示为：x|04.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数
25、的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内解除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也解除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q=p/q|pZ，qN，且p，q互质(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律AB=BAAB=BA集合结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)集合安排律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)集
26、合德.摩根律集合Cu(AB)=CuACuBCu(AB)=CuACuB集合“容斥原理”在探讨集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A=a，b，c，则card(A)=3card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(ABC)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合汲取律A(AB)=AA(AB)=A集合求补律ACuA=UACuA=设A为集合，把A的
27、全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)U(A-C)(BUC)=BC(BC)=BUC=EE=特别集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q* 高一数学学问点：集合与函数、反比例函数 高一数学学问点：集合与函数、反比例函数 一、集合与函数内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，视察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要具体证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数,初中学习方法，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数
28、定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种状况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;求解特别有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。 形如y=k/x(k为常数且k0)的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。另外，
29、从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线,中学地理，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为?k?。如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。学问点：1.过反比例函数图象上随意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为k。2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减随意一个实数(即y=k/(xm)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页