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1、高二数学平面向量数量积的物理背景及含义中学数学必修四2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义导学案 2.4平面对量的数量积2.4.1平面对量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】学问回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；新知梳理：1平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则叫与的数量积，记作，即有=，（）.并规
2、定向量与任何向量的数量积为. 思索感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？ 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区分？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所确定.（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cos有可能为0. 2“投影”的概念：作图：定义：|cos叫做向量在方向上的投影. 思索感悟：投影不是向量，是一个数量。当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为|；当=180时投影为| 3向量的数量积的几何
3、意义：数量积等于与|cos的乘积. 4.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，(1)=(2)当与同向时，=，当与反向时，=特殊的：=|2或；|；cos=5.平面对量数量积的运算律交换律：=数乘结合律：()=()=()安排律：(+)=+说明：（1）一般地，()（）（2）对点练习1下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满意交换律B.向量的数量积满意安排律C.向量的数量积满意结合律D.是一个实数2|=3，|=4，向量+与-的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直3.已知|m|=，n=(cos,sin)，mn=9，则m,n的夹角为（）A.150B.120C.60D.30 4.
4、已知，则向量在向量方向上的投影是_，向量在向量方向上的投影是_。 【合作探究】典例精析：例1证明： 变式1已知|=6，|=4，与的夹角为60o，求：（1）(+2)(-3).（2）|+|与|-|. 例2已知|=12，|=9，求与的夹角。 变式2已知|=3，|=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k相互垂直. 【课堂小结】 【当堂达标】1下列命题中：若，且=，则=；若=，则34;()=(),对随意向量，都成立；22=()2；正确命题的个数为_ 2若|2sin15，|4cos375、，夹角为30，则为（）ABCD 3若|=|=|,则与+的夹角为（）A30B60C150D120 4.已知、均为单位
5、向量,它们的夹角为60,那么|+3|=（）ABCD4 【课时作业】1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）A.60B.30C.135D.2.若向量的夹角为，则向量的模为 3向量、满意（）（2+）=4，且|=2，|=4，则与夹角的余弦值等于4、在RtABC中，C90，AB5，AC4，求ABBC. 5已知|=8，|=10，|+|=16，求与的夹角. 6*.向量相互垂直，向量相互垂直，求与夹角。 7*.已知|=3，|=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。 8(2022全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_. 【延长探究】已知平面上三个向量
6、的模都是1，他们相互之间的夹角均是，（1）求证：（）若，求得取值范围。 平面对量的数量积 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、驾驭平面对量数量积的坐标表示；2、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=
7、，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，=2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()
8、()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号
9、：第学习小组【学习目标】3、驾驭平面对量数量积的坐标表示；4、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+
10、与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，= 2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂
11、直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 高二数学平面对量数量积的运算律25第8课时二、平面对量数量积的运算律教学目的：1.驾驭平面对量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.驾驭两个向量共
12、线、垂直的几何推断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简洁问题.教学重点：平面对量数量积及运算规律.教学难点：平面对量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生留意数量积性质的相关问题的特点，以娴熟地应用数量积的性质.?教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.3“投影”的概念：作图定义
13、：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特殊的aa=|a|2或4cos=；5|ab|a|b|二、讲解新课：平面对量数量积的运算律1交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a|b|
14、cos，ba=|b|a|cosab=ba2数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos，若0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(ab)=|a|b|cos，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos.3安排律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2，c(
15、a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0两式相减：2ab=b2代入或得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，=|2=而=，|2=|2+|2=2=例3四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析
16、：四边形的形态由边角关系确定，关键是由题设条件演化、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2)，即，也即ABBC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应留意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满意交换律B.向量的数量积
17、满意安排律C.向量的数量积满意结合律D.ab是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（）A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150，则(a+b).5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=_，|a-b|=.6.设|a|=3，|b|=5，且a+b与ab垂直，则.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：2022人教A版中学数学必修4.1平面对量数量积的物理背景及
18、其含义讲义 24.1平面对量数量积的物理背景及其含义预习课本P103105，思索并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？(3)向量数量积的性质有哪些？(4)向量数量积的运算律有哪些？新知初探1向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos记法ab|a|b|cos(2)零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.点睛(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹
19、角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来确定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：向量b在a的方向上的投影为|b|cos.向量a在b的方向上的投影为|a|cos.(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积点睛(1)b在a方向上的投影为|b|cos(是a与b的夹角)，也可以写成ab|a|.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3向量数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.(3
20、)aa|a|2或|a|aaa2.(4)cosab|a|b|.(5)|ab|a|b|.点睛对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们相互垂直4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(安排律)点睛(1)向量的数量积不满意消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般状况下不成立小
21、试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍旧是向量()(2)若abbc，则肯定有ac.()(3)若a，b反向，则ab|a|b|.()(4)若ab0，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)2若|a|2，|b|12，a与b的夹角为60，则ab()A2B.12C1D.14答案：B3已知|a|10，|b|12，且(3a)15b36，则a与b的夹角为()A60B120C135D150答案：B4已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3.(1)若135，则ab_；(2)若ab，则ab_；(3)若ab，则ab_.答案：(1)32(2)6或6(3)0向量数量积的运算 典
22、例(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab;(ab)(a2b) (2)如图，正三角形ABC的边长为2，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos42cos1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbcca22cos12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中精确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)依据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 活学活用已知|a|3，|b|4，a与b的
23、夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b) 解：(1)ab|a|b|cos12034126.(2)a2b2|a|2|b|232427.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos1203|b|22325341234260.与向量的模有关的问题 典例(1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e212.若平面对量b满意be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|coscos12.又0180，60.b(e1e2)0，b与
24、e1，e2的夹角均为30，be1|b|e1|cos301，从而|b|1cos30233.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos4522|b|，|2ab|24422|b|b|210，|b|32.答案(1)233(2)32求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并敏捷应用a2|a|2，勿遗忘开方(2)aaa2|a|2或|a|a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 活学活用已知向量a，b满意|a|b|5，且a与b的夹角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.解：|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab25252|a|b
25、|cos60502551275，|ab|53.|ab|2(ab)2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|cos6025，|ab|5.|2ab|2(2ab)(2ab)4|a|2|b|24ab4|a|2|b|24|a|b|cos60175，|2ab|57. 两个向量的夹角和垂直题点一：求两向量的夹角1(重庆高考)已知非零向量a，b满意|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A.3B.2C.23D.56解析：选Ca(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，cosa，b
26、12，a，b23.题点二：证明两向量垂直2已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)证明：|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2.即4a24abb2a24ab4b2，a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)题点三：利用夹角和垂直求参数3已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab相互垂直，则k的值为()A32B.32C32D1解析：选B3a2b与kab相互垂直，(3a2b)(kab)0，3ka2(2k3)ab2b20.ab，ab0，又|a|2，|b|3，12k180，k32. 求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹
27、角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosab|a|b|，最终借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值 层级一学业水平达标1已知向量a，b满意|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.2解析：选C由题意，知ab|a|b|cos4cos2，又0，所以3.2已知|b|3，a在b方向上的投影为32，则ab等于()A3B.92C2D.12解析：选B设a与b的夹角为.|a|cos32，ab|a|b|cos33292.3已知|a|b|1，a与b的夹角是90，c2a3b，dka4b，c与d垂
28、直，则k的值为()A6B6C3D3解析：选Bcd0，(2a3b)(ka4b)0，2ka28ab3kab12b20，2k12，k6.4已知a，b满意|a|4，|b|3，夹角为60，则|ab|()A37B13C.37D.13解析：选C|ab|ab2a22abb242243cos603237.5在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A矩形B菱形C直角梯形D等腰梯形解析：选B，即一组对边平行且相等，0，即对角线相互垂直，四边形ABCD为菱形6给出以下命题：若a0，则对任一非零向量b都有ab0；若ab0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2b2.其中，正确命题的序号是_解析：
29、上述三个命题中只有正确，因为|a|b|1，所以a2|a|21，b2|b|21，故a2b2.当非零向量a，b垂直时，有ab0，明显错误答案：7设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e217e1e22e2267cos60292.答案：928若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_解析：ca，ca0，(ab)a0，即a2ab0.|a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，b12.又0a，b180，a，b120.答案：1209已知e1与e2是两个夹角为60的单位向量，a2e1e2，b2e23e1
30、，求a与b的夹角解：因为|e1|e2|1，所以e1e211cos6012，|a|2(2e1e2)2414e1e27，故|a|7，|b|2(2e23e1)24912e1e27，故|b|7，且ab6e212e22e1e2621272，所以cosa，bab|a|b|727712，所以a与b的夹角为120.10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b相互垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos1，ab|a|b|cos1.cos12，23.(2)(a2b)ba
31、b2b2123.(3)ab与a3b相互垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，47.层级二应试实力达标1已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为3，则向量ma4b的模为()A2B23C6D12解析：选B|m|2|a4b|2a28ab16b24821121612，所以|m|23.2在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16B8C8D16解析：选D法一：因为cosAACAB，故|cosA|216，故选D.法二：在上的投影为|cosA|，故|cosA|216，故选D. 3已知向量a，b满意|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|()A1B
32、.3C.5D3解析：选C由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|a|2|b|22ab5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为BC的中点，则()A3B0C1D1解析：选CAB12AD()12|212|21222cos602212221.5设向量a，b，c满意abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：法一：由abc0得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24.法二：如图，作a，b，则
33、c.ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|2，|a|2|b|2|c|24.答案：46已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，12ab(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_解析：12ab(2a3b)a212ab3b212，即3|b|22|b|40，解得|b|2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos452221.答案：217已知非零向量a，b，满意|a|1，(ab)(ab)12，且ab12.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)(ab)(ab)12，a2b212，即|a|2|b|212.又|a|1，|
34、b|22.ab12，|a|b|cos12，cos22，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos|b|212，|ab|22.8设两个向量e1，e2，满意|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为3，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得2te17e2e1te2|2te17e2|e1te2|0.即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t12.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得2t，7t，0，14，t142.所求实数t的取值范围是7，142142，12. 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页