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1、3.1等差数列（第一课时）3.3等差数列的前n项和（第一课时） 3.3等差数列的前n项和（第一课时） 教学目的： 1驾驭等差数列前n项和公式及其获得思路2会用等差数列的前n项和公式解决一些简洁的与前n项和有关的问题教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：敏捷应用等差数列前n项公式解决一些简洁的有关问题教学过程：一、复习引入： 首先回忆一下前几节课所学主要内容： 1等差数列的定义：=d，（n2，nN+）2等差数列的通项公式： (或=pn+q(p、q是常数)3几种计算公差d的方法： d=d=d= 4等差中项：成等差数列5等差数列的性质：m+n=p+q(m,n,p,qN) 6宏大的数学
2、家，天文学家，高斯十岁时计算1+2+100的小故事, 小高斯的计算方法启发我们下面要探讨的求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，“倒序相加”法。 二、讲解新课： 1.数列的前n项和的定义： 数列中，称为数列的前n项和，记为. 2等差数列的前项和公式1： 证明： +： 由此得：1 3等差数列的前项和公式2： 把代入公式1即得：2 4.等差数列的前项和公式的函数解析式特征： 公式2又可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式。5.用方程思想理解等差数列的通项公式与前n项和公式： 等差数列的通项公式与前n项和公式反映了等差数列的五个基本元素：a1,d,n,an,sn之间的关系，从方程的角度看
3、，它们可以构成两个独立方程（前n项和公式1、2是等价的），五元素中“知三求二”，解常规问题可以通过解方程或解方程组解决.三、例题讲解例1某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 1050 这位运动员7天共跑了多少米？（课本P116例1）例2等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？（课本P116例2）例3求集合M=m|m=7n,nN*,且m100中元素的个数，并求这些元素的和.（课本P117例3）例4.已知等差数列中=13且=,那么n取何值时,取最大值.解法1：设公差为d，由=得：313+32d/2=1113+111
4、0d/2d=-2,=13-2(n-1),=15-2n,由即得：6.5n7.5,所以n=7时,取最大值.解法2:由解1得d=-2,又a1=13所以=-n+14n=-（n-7）+49当n=7，取最大值。对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用:当0，d0，前n项和有最大值。可由0，且0，求得n的值。当0，d0，前n项和有最小值。可由0，且0，求得n的值。（2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值。四、练习：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前项和的公式.（课本P117例4） 五、小结本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列
5、的前项和公式2： 3.，当d0，是一个常数项为零的二次式4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （3）利用:当0，d0，前n项和有最大值。可由0，且0，求得n的值。当0，d0，前n项和有最小值。可由0，且0，求得n的值。（4）利用：二次函数配方法求得最值时n的值。六、作业：课本P118习题3.31（2）、（4），2（2）、（4），6（2），7，8.“等差数列”一课的 教学目标：（1）理解等差数列的概念，驾驭等差数列的通项公式； (2)利用等差数列的通项公式能由a1,d,n,an“知三求一”，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； （3）通过作等差数列的图像，进一步渗透数形结合思想、函数思
6、想；通过等差数列的通项公式应用，渗透方程思想。 教学重、难点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。 学问结构：一般数列定义通项公式法 递推公式法 等差数列表示法应用 图示法 性质列举法 教学过程： （一）创设情境： 1视察下列数列： 1，2，3，4，；(军训时某排同学报数) 10000，9000，8000，7000，；（温州市房价平均每月每平方下跌的价位） 2，2，2，2，；（坐38路公交车的车费） 问题：上述三个数列有什么共同特点？（学生会发觉许多规律，如都是整数，再举几个非整数等差数列例子让学生视察） 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 引出等差数列。 （二）新课讲解：
7、1等差数列定义： 一般地，假如一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 问题：（a）能否用数学符号语言描述等差数列的定义？ 用递推公式表示为或 (b)例1：视察下列数列是否是等差数列： （1）1，-1，1，-1， (2)1,2,4,6,8,10, 意在强调定义中“同一个常数” (c)例2：求上述三个数列的公差；公差d可取哪些值？d0，d=0,d0时，数列有什么特点 （d有不同的分类，如按整数分数分类，再举几个等差数列的例子视察d的分类对数列的影 响） 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，
8、为常数列，为递减数列。 例3：求等差数列13，8，3，-2，的第5项。第89项呢？ 放手让学生利用各种方法求a89，从中找出合适的方法，如利用不完全归纳法或累加法，然 后引出求一般等差数列的通项公式。 2等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求 （1）由递推公式利用用不完全归纳法得出 由等差数列的定义：， ， 所以，该等差数列的通项公式： (验证n=1时成立)。 这种由特别到一般的推导方法，不能代替严格证明。要用数学归纳法证明的。 （2）累加法求等差数列的通项公式 让学生体验推导过程。(验证n=1时成立) 3例题及练习： 应用等差数列的通项公式 追问：（1）-232是否为例3等差数
9、列中的项？若是，是第几项？ （2）此数列中有多少项属于区间-100，0？ 法一：求出a1,d,借助等差数列的通项公式求a20。 法二：求出d，a20=a5+15d=a12+8d 在例4基础上，启发学生猜想证明 练习： 梯子的最高一级宽31cm，最低一级宽119cm,中间还有3级，各级的宽度成等差数列，请计算中间各级的宽度。 视察图像特征。 思索：an是关于n的一次式，是数列an为等差数列的什么条件？ 课后反思：这节课的重点是等差数列定义和通项公式概念的理解，而不是公式的应用，有些应试教化的味道。有时抢学生的回答，没有真正放手让学生的思维发展，学生活动太少，课堂氛围不好。学生对问题的反应出乎设计
10、的意料时，应当顺着学生的思维发展。 等差数列3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质）教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：敏捷应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1等差数列的定义；2等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3有几种方法可以计算公差dd=d=d=二、讲解新课：问题：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？由定义得A-=-A，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列。也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件定义：
11、若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。留意到，由此揣测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，即m+n=p+q(m,n,p,qN)（以上结论由学生证明）但通常由推不出m+n=p+q，特例：等差数列an中，与首尾“等距离”的随意两项和相等.即三、例题例1在等差数列中，若+=9,=7,求,.分析：要求一个数列的某项，通常状况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必需知
12、道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的随意两项（知道随意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手（答案：=2,=32）例2等差数列中，+=12,且=80.求通项分析：要求通项，仍旧是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必需消元（项）或再构造一个等式出来。（答案：=10+3(n1)=3n13或=23(n1)=3n+5）例3在等差数列中,已知450,求及前9项和（）.提示：由双项关系式：2，2及450,得5450,易得2180.()()()()9810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b
13、+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探究a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.例5已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列中，已知，求首项与公差2.在等差数列中,若求3.在等差数列中若，求五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.精析精练P117智能达标训练等差数列学案
14、 2等差数列?第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念推断一个数列是否为等差数列.2.探究并驾驭等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.驾驭等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的学问解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键留意以下几个方面：假如一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数
15、列.一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不肯定是等差数列，因为这些常数不肯定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要留意相邻两项相减的依次.d=an+1-an(nN+)或者d=an-an-1(nN+且n2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，依据等差数列的定义，只需证明对随意正整数n,an+1-an是同一个常数(或an-an-1(n1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.留意:推断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1
16、-an或an-an-1(n1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：an是等差数列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差数列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1
17、)+a1=a1+(n-1)d.留意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应留意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列an中，若m，nN+，则an=am+(n-m)d.推导如下：对随意的m,nN+，在等差数列中，有am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d由-得an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.留意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变
18、形公式可以知道，d=(nm).（3）通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差;可以由首项与公差求出等差数列中的随意一项;若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度探讨等差数列的性质与图像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d0时，an为递增数列，如图（甲）所示.当d0时，an为递减数列，如图(乙)所示.当d=0时，an为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项假如在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等
19、差数列，那么A叫做数a与b的等差中项.留意:(1)等差中项A=a,A,b成等差数列；(2)若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项假如在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做.3.等差数列的推断方法（1）要证明数列an是等差数列，只要证明：当n2时，.（2）假如an+1=对随意的正整数n都成立，
20、那么数列an是.（3）若a,A,b成等差数列，则A.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式为，它的推广通项公式为.5.等差数列的单调性当d0时，an是数列；当d=0时，an是数列；当d0时，an是数列.答案1.差同一个常数2.a与b的等差中项3.（1）an-an-1=d(常数)(2)等差数列（3）4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.递增常递减思路方法技巧命题方向等差数列的定义及应用例1推断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.分析利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.解析(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n
21、N+).由n的随意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.说明利用定义法推断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它究竟是一个什么样的数列，这些不再是我们探讨的范畴.1n=1变式应用1试推断数列cn，cn=是否为等差数列.?2n-5n2解析c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).cn+1-cn(n1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.cn不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的
22、应用例2已知数列an为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.分析利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.解析解法一：设数列an的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得a1+4d=11a1=19解得.a1+7d=5d=-2a11=19+(11-1)(-2)=-1.解法二：a8=a5+(8-5)d,d=-2.a11=a8+(11-8)d=5+3(-2)=-1.说明(1)对于解法一，依据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，依据通项公式的变形公式为：am=an+(
23、m-n)d,m,nN+，进一步变形为d=，应留意驾驭对它的敏捷应用.变式应用2已知等差数列an中，a10=29,a21=62,试推断91是否为此数列中的项.a10=a1+9d=29解析设等差数列的公差为d,则有，a21=a1+20d=62解得a1=2,d=3.an=2+(n-1)33n-1.令an3n-1=91,得n=N+.91不是此数列中的项.命题方向等差中项的应用例3已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？分析已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成
24、等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.解析因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.说明本题主要考查等差中项的应用，假如a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式应用3已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(nN,p,q为常数)，且x1、x4、
25、x5成等差数列.求：p,q的值.分析由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.解析由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得325p+5q=25p+8q,由得q=1,p=1.说明若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中常常用到.探究延拓创新命题方向等差数列的实际应用例4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的缘由，利润每年比上一年削减20万元，根据这一规律假如公司不开发新产品，也不调整经营策略，
26、从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n2,nN),每年获利构成等差数列an,且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.若an0,则该公司经销这一产品将亏损，由an-20n2200,解得n11,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用42022年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有许多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第
27、一排有150个座位，从其次排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，an=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,则a10=330,即第10排可坐330人.名师辨误做答例5已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）推断数列an是否为等差数列？说明理由；（2）求an的通项公式.误会（1）an=an-1+2,an-an-1=2(为常数)，an是等差数列.（2）由上述可知，an
28、=1+2(n-1)=2n-1.辨析忽视首项与全部项之间的整体关系，而推断特别数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列an从第2项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数列，an=f(n)应当表示为“分段函数”型.正解（1）当n3时，an=an-1+2,即an-an-1=2.当n=2时，a2-a1=0不满意上式.an不是等差数列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.当n3时，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不满意此式.1(n=1)an=.2n-3(n2)课堂巩固训练一、选择题1.（2022重庆文，
29、1）在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.18答案D?解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.由a2=2,a3=4知d=2.?a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.2D.3?答案C?解析an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公差为2，故选C.3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4?答案C解析设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.其等差中项为=3.二、填空题4.在等差数列an中，a2=3,a4=a2+8,
30、则a6=.?答案19?解析a2=3,a4=a2+8,?a1+d=3a1=-1,解得.a1+3d=a1+d+8d=4a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a0)的图像与x轴的交点有个.答案1或2?解析a、b、c成等差数列，2b=a+c,?又=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.三、解答题6.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.?a1+4d=10a1=2解析由题意得,解得.a1+11d=31d=3an=-2+(n-1)33n-5.课后强化作业一、选择题1.等差数列1，-1，-3，-5，-8
31、9，它的项数为（）A.92B.47C.46D.45?答案C解析a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得n=46.2.假如数列an是等差数列，则（）A.a1+a8a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5?答案B?解析设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,a1+a8=a4+a5.3.已知数列3,9,15,3(2n-1),那么81是它的第（）?A.12项B.13项C.14项D.15项答案C?解析由3(2n-1)=81,解得n=14.4.在等差数列an中，a2
32、=-5,a6=a4+6,则a1等于（）A.-9B.-8C.-7D.-4答案Ba1+d=-5解析由题意，得，a1+5d=a1+3d+6解得a1=-8.5.数列an中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（）A.49B.50C.51D.52答案D解析由2an+1=2an+1得an+1-an=，an是等差数列,首项a1=2,公差d=,an=2+(n-1)=,?a101=52.6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为（）A.B.C.D.答案A解析=.7.设数列an是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（）?A.1B.2C.4D.3答案Ba1+a2+a3=12a1+a
33、3=8解析由题设，,a2=4,a1a2a3=48a1a3=12a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，又a3a1,a1=2.8.an是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，假如an=2022,则序号n等于（）A.1003B.1004C.1005D.1006答案C解析a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,?2n+2=2022,?n=1005.二、填空题9.三个数lg(-),x,lg(+)成等差数列，则x=.答案0解析由等差中项的运算式得x=0.10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=,d=.答案-2,3a5=a1+4d=
34、10a1+4d=10a1=-2解析由题意得,即，.a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=311.等差数列an的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为.答案4解析2(2x+1)=x+(4x+2),x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,a5=a1+4d=4.12.在数列an中，a1=3，且对于随意大于1的正整数n，点（,）在直线x-y-=0上，则an=.?答案3n2解析由题意得-=,?数列是首项为，公差为的等差数列，=n,an=3n2.三、解答题13.在等差数列an中：(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.?a1+
35、(5-1)d=-1a1=-5解析(1)由题意知，解得.a1+(8-1)d=2d=1a1+a1+(6-1)d=12a1=1（2）由题意知，解得，a1+(4-1)d=7，d=2 a9=a1+(9-1)d=1+82=17.14.已知函数f(x)=，数列xn的通项由xn=f(xn-1)(n2,且nN+)确定.(1)求证：是等差数列；(2)当x1=时，求x100.解析(1)xn=f(xn-1)=(n2,nN+)，所以=+，-=(n2,nN+).所以是等差数列；(2)由(1)知的公差为.又因为x1=,即2.所以=2+(n-1)，=2+(100-1)=35.所以x100=.15.已知等差数列an中，a5+a
36、6+a7=15,a5a6a7=45,求数列an的通项公式.分析明显a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.解析设a5=a6-d,a7=a6+d,?则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,a6=5.a5+a7=10a5=1a59由已知可得，解得或a5a7=9a7=9a7=1当a5=1时，d=4,?从而a1=-15,?an=-15+(n-1)4=4n-19.?当a5=9时，d=-4,从而a1=25.an=25+(n-1)（-4）4n+29.所以数列an的通项公式为an=4n19或an=-4n+29.16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典实行，此后每4年
37、实行一次，奥运会如因故不能实行，届数照算.?(1)试写出由实行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2022年北京奥运会是第几届？2050年实行奥运会吗？解析(1)由题意知，实行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN+).（2）假设an=2022，由2022=1892+4n,得n=29.?假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.所以2022年北京奥运会是第29届，2050年不实行奥运会.第2课时等差数列的性质知能目标解读1.驾驭等差数列的项与序号的性质.2.理解等差数列的项的对称
38、性.3.能够娴熟应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导1.等差数列的公差与斜率的关系（1）一次函数f(x)=kx+b(k0)的图像是一条直线，斜率k=(x1x2).当k=0时，对于常数函数f(x)=b,上式仍旧成立.（2）等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率.特殊地，假如已知等差数列an的随意两项an,am,由an=am+(n-m)d,类比直线方程的斜率公式得d=(mn).2.等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为d的等差数列，则（1）an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；（2）奇数项数
39、列a2n-1是公差为2d的等差数列；偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列；（3）若kn是等差数列，则akn也是等差数列.知能自主梳理1.等差数列的项与序号的性质（1）两项关系通项公式的推广：an=am+(m、nN+).(2)多项关系项的运算性质：若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则=ap+aq.特殊地，若m+n=2p(m、n、pN+)，则am+an=.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a(其中n为奇数且n3).3.等差数列的性质（1）若an是公差为d的等差数列，则下列数
40、列：c+an(c为任一常数)是公差为的等差数列；can(c为任一常数)是公差为的等差数列；ank(kN+)是公差为的等差数列.(2)若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列pan+qbn(p、q是常数)是公差为的等差数列.答案1.(n-m)dam+an2ap2.an-1an-k+13.dcdkdpd1+qd2思路方法技巧命题方向运用等差数列性质an=am+(n-m)d(m、nN+)解题例1若数列an为等差数列，ap=q,aq=p(pq)，则ap+q为（）A.p+qB.0C.-(p+q)D.分析本题可用通项公式求解.利用关系式an=am+(n-m)d求解.利用一次函数图像求解.答案B
41、解析解法一：ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,a1+(p-1)d=q?a1+(q-1)d=p-，得（p-q）d=q-p.pq,d=-1.代入，有a1+(p-1)(-1)=q,a1=p+q-1.故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.应选B.解法二：ap=aq+(p-q)d,q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.pq,d=-1.故ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.应选B.解法三：不妨设pq，由于等差数列中，an关于n的图像是一条直线上匀称排开的一群孤立的点，故三点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线
42、.设ap+q=m，由已知，得三点（p,q）,(q,p),(p+q,m)共线（如图）.由ABEBCF，得=.=.1=.得m=0，即ap+q=0.应选B.说明本题采纳了三种方法，第一种方法运用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.其次种方法运用的是通项公式的推广形式an=am+(n-m)d.第三种方法运用的是函数的思想，通过点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用1已知an为等差数列，a15=8,a60=20,求a75.解析解法一：a15=a1+14d,a60=a1+59d,a1+14d
43、=8?，a1+59d=20a1=解得d=a75=a1+74d=+7424.解法二：a60=a15+45d,45d=a60-a15=20-8=12,d=.a75=a60+15d=20+1524.命题方向运用等差数列性质am+an=ap+aq(m、n、p、qN+，且m+n=p+q)解题例2在等差数列an中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.分析要求通项公式，须要求出首项a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21干脆求解很困难，这样促使我们转换思路.假如考虑到等差数列的性质，留意到a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了.解析a2+a5+a8=9，
44、a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5，a3+a7=2a5=6，即a5=3.a3a7=-7，由、解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1,a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.说明本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简洁，达到了事半功倍的效果.变式应用2在等差数列an中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为（）A.20B.30C.40D.50答案C解析a3+a5+a7+a9+a11=100,又a3+a11=a5+a9=2a7,5a7=100,a7=20,3a9-a13
45、=3(a7+2d)-(a7+6d)=3a7+6d-a7-6d=2a7=40.探究延拓创新命题方向等差数列性质的应用例3已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.分析此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为便利，但必需留意这时的公差应为2d.解析解法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,a=1,a2-9d2=-8,d2=1,d=1或d=-1.又知四个数成递
46、增等差数列，d0,d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)，依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,d=2或-2.又知四个数成递增等差数列，d0,d=2,a=-2.故所求的四个数为-2，0，2，4.说明此题设法很重要，一般地有如下规律：（1）若所给等差数列为2n(nN+)项，则可设为：a-(2n-1)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为2n-1(nN+)项,则这个数列可设为