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1、正弦定理导学案正弦定理 课题:1.1正弦定理（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【课前预习】1在中，若，则的形态是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形2在中，若，则的形态是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等边三角形3在中，若，则_4在中，则是_三角形 5在中，计算的值【课堂研讨】例1.如图，海中小岛四周海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行海里后，在处测得小岛在船的南偏东，假如此船不变更航向，接着向南航行，有无触礁危急？ 例2.在中，已知，试推断的形态 例3.在中，是的平分
2、线，用正弦定理证明： 【学后反思】课题:1.1正弦定理（2）检测案班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1依据下列条件，推断的形态：（1）；（2） 2已知的外接圆的面积是，求的值 3为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，要测算出，两点间的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，试计算的长 【课后巩固】1在中，已知，则的形态是_2在中，已知，则的取值范围是_3在中，已知，且最长边为，则最短边的长为_4在中，已知，求 5为了测量校内里旗杆的高度，学生们在两处测得点的仰角分别为和，测得的距离为，那么旗杆的高度是多少米？ 6海上有两个小岛相距海里，从岛观测岛与岛成的视角，从岛观测岛和岛成
3、的视角，那么岛与岛之间的距离是多少海里？ 7在中，的外角平分线交的延长线于，用正弦定理证明： 8在中，设，已知，证明为正三角形 正弦定理（一） 班级：小组：姓名：编号：总课题解三角形课题正弦定理（一）主备刘芳审核运用时间学习目标驾驭正弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题学习重点利用正弦定理解决一些简洁的三角形度量问题学习难点利用正弦定理解决一些简洁的三角形度量问题学法建议教学过程反思、总结一、引入新课1如右图，中的边角关系： _； _； _； 边_2随意中的边角关系是否也可以如此？如何证明？ 3正弦定理（内容）：4练习：（1）在中，已知，则_； （2）在中，已知，则_；（3）一个三角形的两
4、个内角分别为和，假如角所对的边长为，那么角所对的边长是_；二、典例赏析例1尝试用其他方法证明正弦定理 例2在中，求， 例3依据下列条件解三角形：（1），；（2），归纳小结：利用正弦定理解以下两类斜三角形：（1）已知两角与任一边,求其他和；（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的（从而进一步求出其他的和）仿照正弦定理的证法一，证明，并运用此结论解决下面问题：（1）在中，已知，求；（2）在中，已知，求和；三、针对训练：1在中，（1）已知，求，；（2）已知，求， 2依据下列条件解三角形：（1），；（2）， 课堂小结利用正弦定理解决一些简洁的三角形度量问题 正弦定理教案 教学设计整体设计教学分析本节
5、内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧学问，使学生驾驭新的有用的学问，体会联系、发展等辩证观点，而且能培育学生的应用意识和实践操作实力，以及提出问题、解决问题等探讨性学习的实力在初中学习过关于随意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着亲密的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系精确量化的表示也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的学问有了新的相识，同时使新学问建
6、立在已有学问的坚实基础上，形成良好的学问结构在学法上主要指导学生驾驭“视察猜想证明应用”这一思维方法，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的运用与近似计算，这是一种基本运算实力，学生基本上已经驾驭了若在解题中出现了错误，则应刚好订正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理三维目标1通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过正弦定理的探究学习，培育学生探究数学规律的思维实力，培育学生用数学的
7、方法去解决实际问题的实力通过学生的主动参加和亲身实践，并胜利解决实际问题，激发学生对数学学习的热忱，培育学生独立思索和勇于探究的创新精神重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用教学难点：正弦定理的探究和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，推断解的个数课时支配1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)老师可先通过直角三角形的特别性质引导学生推出正弦定理形式，如RtABC中的边角关系，若C为直角，则有acsinA，bcsinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinAbsinB，进一步提问，等式能否与边c和C建立联系？从而绽开正弦定理的探究思路2.(情境导入)如图，某农场为了刚好发
8、觉火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生在A处测到火情在北偏西40方向，而在B处测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正东方向10千米处现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在ABC中，已知CAB130，CBA30，AB10千米，求AC与BC的长”这就是一个解三角形的问题为此我们须要学习一些解三角形的必要学问，今日要探究的是解三角形的第一个重要定理正弦定理，由此绽开新课的探究学习推动新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对
9、的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍旧成立？4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？5什么叫做解三角形？6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：老师引导学生阅读本章引言，点出本章数学学问的某些重要的实际背景及其实际须要，使学生初步相识到学习解三角形学问的必要性如老师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不行到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决须要我们进一步学习随意三角形中边与角关系的有关学问让学生明确
10、本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题关于随意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，老师引导学生探究其数量关系先视察特别的直角三角形如下图，在RtABC中，设BCa，ACb，ABc，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有acsinA，bcsinB，又sinC1cc，则asinAbsinBcsinCc.从而在RtABC中，asinAbsinBcsinC.那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立呢？老师引导学生画图探讨分析如下图，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据随意角的三角函数的定义，有CDasinBbsinA，则asinAbsi
11、nB.同理，可得csinCbsinB.从而asinAbsinBcsinC.(当ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的状况，由学生自己完成)通过上面的探讨和探究，我们知道在随意三角形中，上述等式都成立老师点出这就是今日要学习的三角形中的重要定理正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种状况进行证明老师提示学生要驾驭这种由特别到一般的分类证明思想，同时点拨学生视察正弦定理的特征它指出了随意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式正弦定理的重要性在于它特别好
12、地描述了随意三角形中边与角的一种数量关系；描述了随意三角形中大边对大角的一种精确的数量关系因为假如AB，由三角形性质，得ab.当A、B都是锐角，由正弦函数在区间(0，2)上的单调性，可知sinAsinB.当A是锐角，B是钝角时，由于AB，因此BA，由正弦函数在区间(2，)上的单调性，可知sinBsin(A)sinA，所以仍有sinAsinB.正弦定理的证明方法许多，除了上述的证明方法以外，老师激励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法探讨结果：(1)(4)略(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形(6)应用正弦
13、定理可解决两类解三角形问题：已知三角形的随意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”这类问题的解是唯一的已知三角形的随意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”这类问题的答案有时不是唯一的，需依据实际状况分类探讨应用示例例1在ABC中，已知A32.0，B81.8，a42.9cm，解此三角形活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，干脆应用正弦定理可求出边b，若求边c
14、，则先求C，再利用正弦定理即可解：依据三角形内角和定理，得C180(AB)180(32.081.8)66.2.依据正弦定理，得basinBsinA42.9sin81.8sin32.080.1(cm)；casinCsinA42.9sin66.2sin32.074.1(cm)点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易驾驭，假如已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180求出第三个角，再利用正弦定理(2)对于解三角形中的困难运算可运用计算器 变式训练在ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c3，A45，B60，求b；(2)已知b12，A30，B120，求a.解：(1)C180(AB
15、)180(4560)75，bsinBcsinC，bcsinBsinC3sin60sin751.6.(2)asinAbsinB，absinAsinB12sin30sin1206.9. 例2已知ABC，依据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)A60，B45，a10；(2)a3，b4，A30；(3)b36，c6，B120.活动：老师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际状况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清楚流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气
16、解题解：(1)因为C180604575，所以由正弦定理，得basinBsinA10sin45sin6010638.2，casinCsinA10sin75sin6011.2(如图1所示)图1(2)由正弦定理，得sinBbsinAa4sin30323，因此B41.8或B138.2(如图2所示)图2当B41.8时，C1803041.8108.2，casinCsinA3sin108.2sin305.7；当B138.2时，C18030138.211.8，casinCsinA3sin11.8sin301.2(如图2所示)(3)由正弦定理，得sinCcsinBb6sin120366323622，因此C45或
17、C135.因为B120，所以C60.因此C45，A180BC15.再由正弦定理，得absinAsinB36sin15322.2(如图3所示)图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟识已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来推断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会变式训练在ABC中，已知a60，b50，A38，求B(精确到1)和c.(保留两个有效数字)解：ba，BA，因此B也是锐角sinBbsinAa50sin38600.5131，B31.C180(AB)180(3831)11
18、1.casinCsinA60sin111sin3891. 例3如图，在ABC中，A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDDCABAC.活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很简单证得教材支配本例的目的是让学生熟识正弦定理的应用，老师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明证明：如图，在ABD和CAD中，由正弦定理，得BDsinABsin，DCsinACsin180ACsin，得BDDCABAC.点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且留意互补角的正弦值相等这一特别关系式
19、的应用例4在ABC中，A45，BC45，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R及面积S.活动：老师引导学生分析条件BC45，由于ABC180，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，明显其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，老师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可赐予适当点拨解：由ABC180及BC45，可设B4k，C5k，则9k135，故k15，那么B60，C75.由正弦定理，得R102sin755(62)，由面积公式S12bcsinA12c2RsinBsinA75253.点评：求面积时，b未知但可转化为b2RsinB，从而解决问题1.在AB
20、C中，(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a2RsinA，b2RsinB以及结论sin2Asin2Bsin(AB)sin(AB)，由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，(sin2Asin2B)sin(AB)(sin2Asin2B)sinC.(sin2Asin2B)sin(AB)sin(AB)sin(AB)sinC.若sin(AB)0，则AB.若sin(AB)0，则sin2Asin2Bsin2C?a2b2c2.ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.2已知ABC中，ABC123
21、，那么abc等于()A123B321C132D231答案：C知能训练1在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积S的值是()A.2B.31C.12(31)D222在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边长为_3在ABC中，若(3bc)cosAacosC，则cosA_.答案：1B解析：由正弦定理asinAcsinC，得casinCsinA22，B180AC105，ABC的面积S12acsinB12222sin10531.2.53266解析：B105，C15，A60.b为ABC的最长边由正弦定理，得basinBsinA5sin105sin6053266.3.33解析：由正弦
22、定理，知a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为ABC的外接圆半径)(3sinBsinC)cosAsinAcosC，化简，得3sinBcosAsin(AC)sinB.0sinB1，cosA33.课堂小结1先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形须要留意的问题，特殊是两解的状况应怎样理解2我们在推证正弦定理时采纳了从特别到一般的分类探讨思想，以“直角三角形”作问题情境，由此绽开问题的全面探究，正弦定理的证明方法许多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵3通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理
23、的关系但应引起学生留意，R的引入能给我们解题带来极大的便利作业习题11A组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探究、合作沟通，让学生亲身经验提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发觉者”和“创建者”，切身感受创建的欢乐，学问目标、实力目标、情感目标均得到较好的落实本教案的设计时刻留意引导并激励学生提出问题一方面激励学生大胆地提出问题；另一方面留意妥当处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深化依据上述设想，引导学生从感爱好的实际问题到他们所熟识的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的状况，从而形成猜想，激起进一步探
24、究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发觉多种证法，开阔学生视野备课资料一、学问扩展1推断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种状况一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析设已知a、b、A，则利用正弦定理sinBbsinAa，假如sinB1，则问题无解；假如sinB1，则问题有一解；假如求出的sinB1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行推断2利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，经常将正弦定
25、理写成a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC或sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R(R为ABC的外接圆半径)这样可以很便利地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后详细应用3正弦定理的其他几种证明方法(1)三角形面积法如图，已知ABC，设BCa，CAb，ABc，作ADBC，垂足为D.则RtADB中，sinBADAB，ADABsinBcsinB.SABC12aAD12acsinB.同理，可得SABC12absinC12bcsinA.acsinBabsinCbcsinA.sinBbsinCcsinAa，即asinAbsinBcsinC.(2)平面几何法如图，在ABC中，已知BCa，A
26、Cb，ABc，作ABC的外接圆，O为圆心，连结BO并延长交圆于C点，设BC2R，则依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAC90，CC，sinCsinCc2R.csinC2R.同理，可得asinA2R，bsinB2R.asinAbsinBcsinC2R.这就是说，对于随意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式asinAbsinBcsinC.这种证明方法简洁明快在巩固平面几何学问的同时，将随意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R，得到asinAbsinBcsinC2R这一等式，其变式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可以更快捷地实现边角
27、互化特殊是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的精确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利(3)向量法如图，ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC，则j与AB的夹角为90A，j与CB的夹角为90C.由向量的加法原则可得ACCBAB，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面对量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j(ACCB)jAB，由安排律可得jACjCBjAB.|j|AC|cos90|j|CB|cos(90C)|j|AB|cos(90A)asinCcsinA.asinAcsinC.同理，可得csinCbsinB.asinAbsinBcsinC.如图，ABC为
28、钝角三角形，不妨设A90，过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为A90，j与CB的夹角为90C.由ACCBAB，得jACjCBjAB，即acos(90C)ccos(A90)，asinCcsinA.asinAcsinC.同理，可得bsinBcsinC.asinAbsinBcsinC.当ABC为直角三角形时，asinAbsinBcsinC明显成立综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立二、备用习题1在ABC中，A45，B60，a10，则b等于()A52B102C.1063D562ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinB12，sinC32，则abc等于
29、()A132B113C123D213或1133ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2，b6，B120，则a等于()A.6B2C.3D.24在锐角ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且B2A，则ba的取值范围是()A(2,2)B(0,2)C(1，3)D(2，3)5在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积为_6在ABC中，已知a334，b4，A30，则sinB_.7在ABC中，cosA513，cosB35，(1)求sinC的值；(2)设BC5，求ABC的面积参考答案：1D解析：由正弦定理，知bsinBasinA，即bsin6010sin45，解得b56.2D解
30、析：由题意，知C60或120，B30，因此A90或30.故选D.3D解析：由正弦定理得6sin1202sinC，得sinC12，于是有C30或C150(不符合题意，舍去)从而A30.于是ABC是等腰三角形，ac2.4D解析：由正弦定理知basinBsinA，又B2A，basin2AsinA2cosA.ABC为锐角三角形，0B90.02A90.0A45.又0C90，AB90.3A90.A30.30A45.22cosA3，即2ba3.故选D.5.1534解析：由正弦定理，得ABsinCBCsinA，即5sinC7sin120，sinC57325314.因此sinB3314，所以SABC125733
31、141534.6.839解析：由正弦定理，得4sinB334sin30，解得sinB839.7解：(1)由cosA513，得sinA1213.由cosB35，得sinB45，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB1665.(2)由正弦定理，得ACBCsinBsinA5451213133，ABC的面积S12BCACsinC125133166583. 正弦定理、余弦定理的应用1.1.3正弦定理、余弦定理的应用教学目的：1进一步熟识正、余弦定理内容；?2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?3能够利用正、余弦定理推断三角形的形态；?4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等
32、式?教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?教学方法：启发引导式?1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要留意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并留意特别正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形态的推断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一ABC中求证：证：左边=0=右边例2在ABC中，已知，B=45求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590即baA=60或120当A=60时
33、C=75当A=120时C=15解二：设c=x由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：当时从而A=60，C=75当时同理可求得：A=120，C=15例3在ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）ABC的面积解：（1）cosC=cos(A+B)=cos(A+B)=C=120（2）由题设：AB2=AC2+BC22ACBCosC即AB=（3）SABC=例4如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135求BC的长解：在ABD中，设BD=x则即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：例5ABC
34、中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1设三边且C为钝角解得或3但时不能构成三角形应舍去当时2设夹C角的两边为S当时S最大=例6在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不行用此时应留意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?解：设BC边为，则由D为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC
35、又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC?解得，2?,所以，BC边长为2评述：此题要启发学生留意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并留意总结这一性质的适用题型?另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD5，DC3，则由互补角ADC、ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA三、课堂练习：1半径为1的圆内接三角形的面积为025，求此三角形三边长的乘积?解：设ABC三边为a，b，c则ABC又，其中R为三角形外接圆半径,
36、abc4RSABC410251所以三角形三边长的乘积为1?评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式ABC发生联系，对abc进行整体求解2在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB?解：在ADC中，cosC又0C180，sinC在ABC中，AB评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生留意正、余弦定理的综合运用3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值?解：cosAcos45，0A45A90,sinAsinBsin30，0B0B30或150B180若B150，则
37、BA180与题意不符0B30cosBcos（AB）cosAcosBsinAsinB又C180（AB）?cosCcos180（AB）cos（AB）评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应依据已知的三角函数值详细确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特别角的三角函数值进行比较?四、小结通过本节学习，我们进一步熟识了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家留意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解实力五、课后作业：课后记：1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理
38、代入得：sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这肯定理解题，简捷明快，举例:例1在ABC中，已知sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，求B的度数解：由定理得sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，?2sinAsinCcosBsinAsinCsinAsinC0?cosB150例2求sin210cos240sin10cos40的值解：原式sin210sin250sin10sin50在sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，令B10，C50，则A120sin2120sin210sin2502sin
39、10sin50cos120sin210sin250sin10sin50（）2例3在ABC中，已知2cosBsinCsinA，试判定ABC的形态?解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinCsin2A，由定理得sin2Asin2Csin2sin2A，sin2Csin2B?BC故ABC是等腰三角形?2一题多证:例4在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形?证法一：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a2bcosC，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcos
40、CcosBsinC0即sin（BC）0，?BC（）B、C是三角形的内角，?BC，即三角形为等腰三角形?证法二：依据射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC?2bcosCbcosCccosB?bcosCccosB，即又即tanBtanCB、C在ABC中，?BC?ABC为等腰三角形?证法三：cosC化简后得b2c2?bcABC是等腰三角形?第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页