《八年级'数学三角形辅助线资料大全(精简.全面-).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级'数学三角形辅助线资料大全(精简.全面-).doc（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、三角形作辅助性方法大全三角形作辅助性方法大全1.在利用在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出证明角的不等关系时，如果直接证不出 来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位 置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角， BDCDEC 同理：DECBACBD
2、CBAC 证法 （二）：连结 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角， BDFBAD 同理CDFCADBDFCDFBADCAD 即：BDCBAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1 = 2，3 = 4， 求证：BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则DN = DC在BDE 和NDE 中， DN = DB1 = 2 ED = EDBDENDE BE = NE 同理可证：CF = NF 在EFN 中，ENFNEFBECFEF3. 有以线
3、段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF 证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5 ED = MDBDECDM CM = BEFABCDEDCBA432 1NFEDCBA又1 = 2，3 = 4123 4 = 180o 3 2 = 90o 即EDF = 90oFDM = EDF = 90o EDF 和MDF 中 ED = MDFDM = EDF DF = DFEDFMDF
4、 EF = MF 在CMF 中，CFCM MF BECFEF （此题也可加倍 FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD 证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线 BD = CD 在ACD 和EBD 中 BD = CD 1 = 2 AD = EDACDEBD ABE 中有 ABBEAE ABAC2AD5.截长补短作辅助线的方法截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；截长法：在较长的线段上
5、截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：有下列情况之一时用此种方法：ab ab = c ab = cd 例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点， 求证：ABACPBPC 证明：截长法：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN 在APN 和APC 中， AN = AC1 = 2 AP = APAPNAPCMABCDEF1234 512EDCBAP
6、12NDCBAPC = PN BPN 中有 PBPCBN PBPCABAC 补短法：补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM 在ABP 和AMP 中 AB = AM 1 = 2 AP = APABPAMP PB = PM 又在PCM 中有 CM PMPCABACPBPC 练习练习：1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O 求证：AC = AECD 2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 6.证明两条线段相等的步骤：证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这
7、两个三角形全等。观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所 在的三角形全等在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C4 又3 = 4B = C ADF = AEF 在ADF 和AEF 中ADF = AEF 1 = 2 AF = AFAD
8、FAEF DF = EF7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作BDAN 于 D，CEAN 于 E，求证：DE = BDCE 证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o 13 = 90o 2 = 3 BDAN CEAN BDA =AEC = 90oABCD21PM4321FEDCBA4321EDCBA在ABD 和CAE 中，BDA =AEC 2 = 3 AB = ACABD
9、CAE BD = AE 且 AD = CE AEAD = BDCE DE = BDCE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E 求证：BE = CF证明：（略）9.条件不足时延长已知边构造三角形条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD，ADAC 于 A，BCBD 于 B 求证：AD = BC 证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBD CAE = DBE = 90o 在DBE 和CAE 中DBE =CAE BD = ACE
10、 =E DBECAE ED = EC，EB = EA EDEA = EC EB AD = BC10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，ABCD，ADBC求证：AB = CD证明：连结 AC（或 BD）ABCD，ADBC 1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDA321NEDCBA2 1DCBAFEOEDCBA4321DCBAEFDCBAAB = CD 练习练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF11.有和角平分
11、线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归角分垂等腰归”. 例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD 的延长 线于 E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长 BA、CE 交于 FBECF BEF =BEC = 90o 在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BEC BEFBECCE = FE =CF1 2 BAC = 90o , BECF BAC = CAF = 90o 1BDA = 90o 1BFC = 90o BDA = BFC 在ABD 和ACF
12、 中BAC = CAF BDA = BFC AB = ACABDACF BD = CF BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D， 求证：ABAC = 2CD12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD， 求证：A = D 证明：（连结 BC，过程略）21EFDCBAOABDC21D CBA13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件当证题缺少线段相等的条
13、件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取 AD、BC 中点 N、M， 连结 NB、NM、NC（过程略）14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平做垂线，利用角平 分线上的点到角两边距离相等证题分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD， 求证：BAPBCP = 180o 证明：过 P 作 PEBA 于 EPDBC，1 = 2 PE = PD 在 RtBPE 和 RtBPD
14、 中 BP = BP PE = PDRtBPERtBPD BE = BD ABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAE AE = CD PEBE，PDBC PEB =PDC = 90o 在PEA 和PDC 中 PE = PDPEB =PDC AE =CDPEAPDC PCB = EAP BAPEAP = 180o BAPBCP = 180o 练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是
15、ACB 的平分线， D 是 AC 上一点，若CBD = 20o，求CED 的度数。BADCFMNPBADCEDCBANPED CBA2115.有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线，底边中线，底边高线作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D， 求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC1 2 又AB = ACAEBC 2ACB = 90o BDAC DBCACB = 90o 2 = DBC BAC = 2DBC （方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过
16、程略） （方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略） 有底边中点时，常作底边中线有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F， 求证：DE = DF 证明：连结 AD.D 为 BC 中点， BD = CD 又AB =ACAD 平分BAC DEAB，DFAC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC 证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,
17、连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANC BACBACNANC = 180o 2BCA2ACN = 180o BCAACN = 90o 即BCN = 90oNCBC AE = AF AEF = AFE 又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANC BAC =2AEF = 2ANC21EDCBAFEDCBANFECBAAEF = ANC EFNC EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE
18、 交 BC 于 F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB = ACB，NDE = E， AB = AC， B = ACB B =DNB BD = DN 又BD = CE DN = EC 在DNF 和ECF 中1 = 2 NDF =E DN = EC DNFECF DF = EF （证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B（过程略） 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE 求
19、证：DEBC 证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE =B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED =ADE 又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE 又EFBCDEBC （证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略） （证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略） 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形等边三角形 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o
20、 ,P 为形内一点，若PBC = 21 NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCBA10o PCB = 30o 求PAB 的度数. 解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE 则BAE =ABE = 60o AE = AB = BEAB = AC AE = AC ABC =ACB AEC =ACE EAC =BACBAE= 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80o1 2ACB= (180oBAC)= 50o1 2 BCE =ACEACB= 80o50o = 30oPCB = 30o PCB = BCE ABC =ACB = 50o, ABE = 60o EB
21、C =ABEABC = 60o50o =10o PBC = 10o PBC = EBC 在PBC 和EBC 中PBC = EBC BC = BCPCB = BCE PBCEBC BP = BE AB = BE AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o1 2 解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = EC E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是
22、BC 的中垂线 EABCAEB = BEC = 30o =PCB1 2 由解法一知：ABC = 50oPECBAPECBAABE = EBCABC = 10o =PBC ABE =PBC,BE = BC,AEB =PCB ABEPBC AB = BP BAP =BPA ABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o1 21 216.有二倍角时常用的辅助线有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2
23、C， 求证：ABBD = AC 证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE 则BED = BDEABD =EBDE ABC =2E ABC = 2C E = C 在AED 和ACD 中E = C 1 = 2 AD = ADAEDACD AC = AE AE = ABBE AC = ABBE 即 ABBD = AC 平分二倍角平分二倍角 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB 证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE = CAE = DBCBDAC CBD C = 90o CAEC= 90o AEC= 180
24、oCAEC= 90o AEBC ABCBAE = 90o CAEC= 90o BAE = CAE ABC = ACB 加倍小角加倍小角 例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC 求证：ABC = ACB21EDCBADECBA证明：作FBD =DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）17.有垂直平分线时常把垂直平分线上有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 120o，EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F，交 AB 于 E求证：BF =FC1 2 证明：连
25、结 AF，则 AF = BFB =FAB AB = AC B =C BAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30o1 2 FAB = 30o FAC =BACFAB = 120o30o =90o 又C = 30oAF = FC1 2BF =FC1 2 练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D，DMAB 于 M，DNAC 延长线于 N 求证：BM = CN18. 有垂直时常构造垂直平分线有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC 中，B =2C，ADBC 于 D 求证：CD = ABBD 证明：（一）在 CD
26、 上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AEB =AEB B = 2C AEB = 2C 又AEB = CEACC =EAC AE = CE 又CD = DECEFDCBAFECBANM EDCBAEDCBAFDCBACD = BDAB（2）延长 CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略）（3） 19.有中点时常构造垂直平分线有中点时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC 中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD 求证：ABC 为直角三角形 证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE，C =EBC
27、 ABC = 2C ABE =EBC BC = 2AB，BD = CD BD = AB 在ABE 和DBE 中 AB = BDABE =EBC BE = BEABEDBE BAE = BDE BDE = 90o BAE = 90o 即ABC 为直角三角形 20.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在ABC 中，A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线 求证：BE2AE2 = AC2 证明：连结 CE，则 BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2 AE2AC2= BE2 BE2AE2 = AC2 练习：已知，如图，在ABC 中，BAC = 90o，AB = AC，P 为 BC 上一点 求证：PB2PC2= 2PA221.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC 中，B = 45o，C = 30o，AB =，求 AC 的长. 2解：过 A 作 ADBC 于 DBBAD = 90o， B = 45o，B = BAD = 45o， AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =2EDCBAEDCBADCBAPCBAAD = 1 C = 30o，ADBC AC = 2AD = 2