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1、精品文档精品文档三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D 为 ABC 内任一点，求证：BDCBAC 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E， BDC 是 EDC 的外角， BDC DEC 同理： DEC BAC BDC BAC 证法（二）：连结 AD ，并延长交BC 于 F BDF 是ABD 的外角， BDF BAD 同理 CDFCAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 2.有角平
2、分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线且 1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：在 DA 上截取 DN = DB ，连结 NE、NF，则 DN = DC 在 BDE 和NDE 中，DN = DB 1 = 2 ED = ED BDE NDE BE = NE 同理可证： CF = NF 在EFN 中，ENFNEF BECFEF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，且 1 = 2， 3 = 4，求证： BECFEF 证明：延长ED 到 M，使 DM = DE
3、，连结 CM 、FM BDE 和CDM 中，BD = CD 1 = 5 ED = MD BDE CDM CM = BE 又 1 = 2，3 = 4 12 3 4 = 180oFABCDEDCBA4321NFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档 3 2 = 90o即 EDF = 90o FDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MD FDM = EDF DF = DF ED
4、F MDF EF = MF 在 CMF 中， CFCM MF BECFEF （此题也可加倍FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，求证：AB AC 2AD 证明：延长AD 至 E，使 DE = AD ，连结 BE AD 为ABC 的中线BD = CD 在 ACD 和 EBD 中BD = CD 1 = 2 AD = ED ACD EBD ABE 中有 ABBEAE AB AC 2AD 5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.
5、 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：aba b = ca b = c d例：已知，如图，在ABC 中， ABAC ，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证： AB ACPBPC 证明： 截长法： 在 AB 上截取 AN = AC ，连结 PN 在 APN 和 APC 中，AN = AC 1 = 2 AP = AP APN APC PC = PN BPN 中有 PBPCBN MABCDEF1234512EDCBAP12NDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
6、 - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档PBPCAB AC 补短法： 延长 AC 至 M，使 AM = AB ，连结 PM 在 ABP 和AMP 中AB = AM 1 = 2 AP = AP ABP AMP PB = PM 又在 PCM 中有 CM PMPC AB AC PBPC 练习 ：1.已知，在 ABC 中， B = 60o,AD 、CE 是 ABC 的角平分线 ,并且它们交于点O 求证： AC = AE CD 2.已知，如图， AB CD1 = 2 ,3 = 4. 求证： BC = AB CD 6.证明两条线段相等的步骤：观察
7、要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知， BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证： DF = EF 证明： ADF = B 3 AEF = C 4 又 3 = 4 B = C ADF = AEF 在 ADF 和AEF 中ADF = AEF 1 = 2 AF = AF ADF AEF DF = EF 7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 RtABC
8、 中，AB = AC ，BAC = 90o，过 A 作任一条直线AN ，作 BD AN于 D，CEAN 于 E，求证： DE = BD CE 证明： BAC = 90o, BD AN 1 2 = 90o1 3 = 90o 2 = 3 BD AN CEAN BDA = AEC = 90o 在 ABD 和 CAE 中，BDA = AEC ABCD21PM4321FEDCBA321NEDCBA4321EDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - -
9、 - - - - - - 精品文档精品文档2 = 3 AB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AEAD = BD CE DE = BD CE 8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例： AD 为 ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于E 求证： BE = CF 证明： （略）9.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD ，AD AC 于 A，BCBD 于 B 求证： AD = BC 证明：分别延长DA 、CB 交于点 E AD AC BCBD CAE = DBE = 90o 在 DBE 和 CAE 中DBE
10、= CAE BD = AC E =E DBE CAE ED = EC ，EB = EA EDEA = EC EB AD = BC 10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，ABCD，AD BC 求证： AB = CD 证明：连结AC（或 BD）AB CD，AD BC 1 = 2 在 ABC 和 CDA 中，1 = 2 AC = CA 3 = 4 ABC CDA AB = CD 练习 ：已知，如图，AB = DC ，AD = BC ，DE = BF ，21DCBAFEOEDCBA4321DCBAEFDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
11、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档求证： BE = DF 11.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“ 角分垂等腰归 ”.例：已知，如图，在RtABC 中， AB = AC ，BAC = 90o， 1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E 求证： BD = 2CE 证明：分别延长BA、CE 交于 F BECF BEF =BEC = 90o在 BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BE BEF =BEC BEF BEC CE =
12、FE =12CF BAC = 90o , BECF BAC = CAF = 90o1 BDA = 90o1 BFC = 90oBDA = BFC 在 ABD 和 ACF 中BAC = CAF BDA = BFC AB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE 练习：已知，如图，ACB = 3 B，1 =2,CDAD 于 D，求证： AB AC = 2CD 12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC ，AC = BD ，求证： A = D 证明： （连结 BC，过程略）13.当证题缺
13、少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC ， A = D 21EFDCBAOABDC21DCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档求证： ABC = DCB 证明：分别取AD 、BC 中点 N、M，连结 NB、NM 、NC（过程略）14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，1 = 2
14、 ，P 为 BN 上一点，且PDBC 于 D，AB BC = 2BD ，求证： BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 E PDBC， 1 = 2 PE = PD 在 RtBPE 和 RtBPD 中BP = BP PE = PD RtBPERtBPD BE = BD AB BC = 2BD ，BC = CD BD ，AB = BE AE AE = CD PEBE，PDBC PEB =PDC = 90o 在 PEA 和PDC 中PE = PD PEB =PDC AE =CD PEAPDC PCB = EAP BAP EAP = 180o BAP BCP = 180o练习： 1
15、.已知，如图， PA、PC 分别是 ABC 外角 MAC 与 NCA 的平分线，它们交于P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证： BP 为 MBN 的平分线2. 已知，如图，在 ABC 中， ABC =100o，ACB = 20o，CE 是 ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若 CBD = 20o，求 CED 的度数。BADCFMNPBADCEDCBANPEDCBA21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -
16、 精品文档精品文档15.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC ，BD AC 于 D，求证： BAC = 2 DBC 证明： （方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则 1 = 2 = 12BAC 又 AB = AC AEBC 2ACB = 90o BD AC DBC ACB = 90o 2 = DBC BAC = 2 DBC （方法二）过A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，D 为 BC 中点， DEAB 于
17、E，DFAC 于 F，求证： DE = DF 证明：连结AD. D 为 BC 中点，BD = CD 又 AB =AC AD 平分 BAC DEAB，DFAC DE = DF 将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中， AB = AC ，在 BA 延长线和AC 上各取一点E、F，使 AE = AF，求证： EFBC 证明：延长BE 到 N，使 AN = AB, 连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC B ACB ACN ANC = 180o2BCA 2ACN = 180o BCA ACN = 90o即 BCN = 90o NCBC AE
18、= AF AEF = AFE 又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANC BAC =2 AEF = 2 ANC AEF = ANC EFNC 21EDCBAFEDCBANFECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档EFBC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中， AB = AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 延长线上，且BD = CE ，连结 D
19、E 交 BC 于 F 求证： DF = EF 证明： （证法一）过D 作 DN AE，交 BC 于 N，则 DNB = ACB ， NDE = E，AB = AC ， B = ACB B =DNB BD = DN 又 BD = CE DN = EC 在 DNF 和 ECF 中1 = 2 NDF = E DN = EC DNF ECF DF = EF （证法二）过E 作 EMAB 交 BC 延长线于M,则 EMB = B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中， AB =AC ，E 在 AC 上， D 在 BA 延长线上，且AD = AE ，连结 DE 求证： DE
20、BC 证明： （证法一） 过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE = B AEF =C AB = AC B =C AFE =AEF AD = AE AED = ADE 又 AFE AEF AED ADE = 180o2AEF2AED = 90o即 FED = 90oDEFE 又 EFBC DEBC （证法二）过点D 作 DNBC 交 CA 的延长线于N， （过程略）（证法三）过点A 作 AM BC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形- 等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC ，BAC = 80o,P 为形内一点， 若 PBC = 10o
21、PCB = 30o求PAB 的度数 . 解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE 则BAE = ABE = 60o21NFEDCBA21MFEDCBANMFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档AE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC = ACB AEC = ACE EAC = BAC BAE = 80o60o = 20oACE = 12(180o EAC)= 8
22、0oACB= 12(180o BAC)= 50oBCE = ACE ACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCE ABC = ACB = 50o, ABE = 60oEBC = ABE ABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC 在PBC 和EBC 中PBC = EBC BC = BC PCB = BCE PBCEBC BP = BE AB = BE AB = BP BAP = BPA ABP = ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180o ABP)= 70o解法二：以AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三
23、：以BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC ， BEC =EBC = 60oEB = EC E 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是BC 的中垂线EABC AEB = 12BEC = 30o =PCB PECBAPECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档由解法一知：ABC = 50o ABE = EBCABC = 10o =PBC
24、ABE = PBC,BE = BC, AEB = PCB ABE PBC AB = BP BAP = BPA ABP = ABC PBC = 50o10o = 40oPAB = 12(180o ABP) = 12(180o40o)= 70o 16.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中， 1 = 2， ABC = 2 C，求证： AB BD = AC 证明：延长AB 到 E，使 BE = BD ，连结 DE 则 BED = BDE ABD = E BDE ABC =2 E ABC = 2 C E = C 在 AED 和 ACD 中E =
25、 C 1 = 2 AD = AD AED ACD AC = AE AE = AB BE AC = AB BE 即 AB BD = AC 平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中， BDAC 于 D，BAC = 2 DBC 求证： ABC = ACB 证明：作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则 BAE = CAE = DBC BD AC CBD C = 90o CAE C= 90o AEC= 180o CAE C= 90oAEBC ABC BAE = 90o CAE C= 90oBAE = CAE ABC = ACB 加倍小角21EDCBADECBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎
26、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档例：已知，如图，在ABC 中， BDAC 于 D，BAC = 2 DBC 求证： ABC = ACB 证明：作 FBD = DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）17.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. 例：已知，如图，ABC 中，AB = AC ，BAC = 120o， EF 为 AB 的垂直平分线， EF 交 BC 于 F，交AB 于 E 求证： BF =12FC 证明
27、：连结AF，则 AF = BF B =FAB AB = AC B =C BAC = 120o B =CBAC =12(180oBAC) = 30o FAB = 30o FAC =BAC FAB = 120o30o =90o又 C = 30oAF = 12FC BF =12FC 练习：已知，如图，在ABC 中， CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点 D，DM AB 于 M，DN AC 延长线于 N 求证： BM = CN 18. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC 中， B =2C，AD BC 于 D 求证： CD = AB BD 证明： （一）在CD 上
28、截取 DE = DB ，连结 AE，则 AB = AE B =AEB FDCBAFECBANMEDCBAEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档 B = 2C AEB = 2 C 又 AEB = C EAC C =EAC AE = CE 又 CD = DE CE CD = BD AB （二）延长CB 到 F，使 DF = DC ，连结 AF 则 AF =AC （过程略）（三）19.有中点时常
29、构造垂直平分线. 例：已知，如图，在ABC 中， BC = 2AB, ABC = 2 C,BD = CD 求证： ABC 为直角三角形证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE ， C =EBC ABC = 2 C ABE = EBC BC = 2AB ，BD = CD BD = AB 在 ABE 和 DBE 中AB = BD ABE = EBC BE = BE ABE DBE BAE = BDE BDE = 90o BAE = 90o即 ABC 为直角三角形20.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. 例：已知，如图，在ABC 中，
30、A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线求证： BE2AE2 = AC2证明：连结CE，则 BE = CE A = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2练习：已知，如图，在ABC 中， BAC = 90o，AB = AC ，P 为 BC 上一点求证： PB2PC2= 2PA2FDCBAEDCBAEDCBAPCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档21
31、.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在ABC 中， B = 45o， C = 30o，AB =2，求 AC 的长 . 解：过 A 作 AD BC 于 D BBAD = 90o， B = 45o， B = BAD = 45o，AD = BD AB2 = AD2BD2，AB =2AD = 1 C = 30o，AD BC AC = 2AD = 2 DCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -