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1、创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 初三数学九上压轴题难题提高题培优题【1】创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 一解答题（共 8 小题）1如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以
2、点 P、A、N 为顶点的三角形与 MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（a0）经过点 A 和 x轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 OM，求 AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，求点 C 的坐标 3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（2，0），B（6，0）两点，交 y 轴于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交
3、于点 D，作D 与 x 轴相切，D 交 y 轴于点 E、F两点，求劣弧 EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线 AC 分为 1：2 两部分？创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），OB=2，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、O、B 三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点
4、 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1），B（4，3）（1）求抛物线的函数解析式；（2）求 tan ABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标 6如图 1，已知抛物线的方程 C1：y=（x+2）（xm）（m0）与 x 轴交于点 B、C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M（2，2），求实数 m
5、 的值；（2）在（1）的条件下，求 BCE 的面积；创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 7如图，已知抛物线 y=x2（b+1）x+（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为，
6、点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO，QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0），C（3，0），D（3，4）以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C 动点 P 从点 A 出发
7、，沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日
8、 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 初三数学九上压轴题难题提高题培优题 参考答案与试题解析 一解答题（共 8 小题）1如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与 MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：由题意
9、可知解得 抛物线的表达式为 y=（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1 点 M 的坐标为（0，1）设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 解得 直线 MA 的表达式为 y=x+1 设点 D 的坐标为（），则点 F 的坐标为（）创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 DF=当时，DF 的最大值为 此时，即点 D 的坐标为（）（3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与 MAO 相似 设 P（m，）在 Rt MAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限 设点
10、 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3AN，即 m2+11m+24=0解得 m=3（舍去）或 m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在 当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MA 上，只能 PN=3AN，即 m2+11m+24=0 解得 m=3 或 m=8此时点 P 的坐标为（8，15）当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则3，即 m2+m6=0 解得 m=3（舍去）或 m=2 当 m=2 时，此时点 P 的坐标为（2，）若 PN=3NA，则，即 m27m30=0 解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，39）综上所述，满足条
11、件的点 P 的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（a0）经过点 A 和 x轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 OM，求 AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，求点 C 的坐标 【解答】解：（1）如图，过点 A 作 ADy 轴于点 D，AO=OB=4，B（4，0）AOB=120，AOD=30，AD=O
12、A=2，OD=OA=2 A（2，2）将 A（2，2），B（4，0）代入 y=ax2+bx，得：，解得：，这条抛物线的表达式为 y=x2x；（2）过点 M 作 MEx 轴于点 E，y=x2x=（x2）2，M（2，），即 OE=2，EM=创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 tan EOM=EOM=30 AOM=AOB+EOM=150（3）过点 A 作 AHx 轴于点 H，AH=2，HB=HO+OB=6，tan ABH=ABH=30，AOM=150，OAM30，OMA30，点 C 不可能在点 B 的左侧，只能在点 B
13、 的右侧 ABC=180 ABH=150，AOM=150，AOM=ABC ABC 与 AOM 相似，有如下两种可能：BAC 与 OAM，BAC 与 OMA OD=2，ME=，OM=，AH=2，BH=6，AB=4 当 BAC 与 OAM 时，由=得，解得 BC=4 C1（8，0）当 BAC 与 OMA 时，由=得，解得 BC=12 C2（16，0）综上所述，如果点 C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，则点 C 的坐标为（8，0）或（16，0）3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（2，0），B（6，0）两创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰
14、年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 点，交 y 轴于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作D 与 x 轴相切，D 交 y 轴于点 E、F两点，求劣弧 EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线 AC 分为 1：2 两部分？【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（2，0），B（6，0），；，解得；抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是 x=4，把 x=4 代入 y=2x，得 y=8，
15、点 D 的坐标为（4，8）；D 与 x 轴相切，D 的半径为 8；连接 DE、DF，作 DMy 轴，垂足为点 M；在 Rt MFD 中，FD=8，MD=4，cos MDF=；MDF=60，EDF=120；劣弧 EF 的长为：；（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b；直线 AC 经过点，创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 解得；直线 AC 的解析式为：；设点，PG 交直线 AC 于 N，则点 N 坐标为，S PNA：S GNA=PN：GN；若 PN：GN=1：2，则 PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解
16、得：m1=3，m2=2（舍去）；当 m=3 时，=；此时点 P 的坐标为；若 PN：GN=2：1，则 PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=12，m2=2（舍去）；当 m=12 时，=；此时点 P 的坐标为；综上所述，当点 P 坐标为或时，PGA 的面积被直线 AC 分成 1：2 两部分 4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），OB=2，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、O、B 三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形
17、？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 【解答】解：（1）由 OB=2，可知 B（2，0），将 A（2，4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线 y=ax2+bx+c，得 解得：抛物线的函数表达式为 答：抛物线的函数表达式为（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线 x=1，且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直平分线，连接 AB 交直线 x=1 于点 M，M 点即为所求 MO=MB，则 MO+MA=MA+MB=AB 作 ACx 轴，垂足为 C，则 AC=4，B
18、C=4，AB=MO+MA 的最小值为 答：MO+MA 的最小值为（3）若 OB AP，此时点 A 与点 P 关于直线 x=1 对称，由 A（2，4），得 P（4，4），则得梯形 OAPB 若 OA BP，设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A（2，4）得，y=2x 设直线 BP 的表达式为 y=2x+m，由 B（2，0）得，0=4+m，即 m=4，直线 BP 的表达式为 y=2x4 由，解得 x1=4，x2=2（不合题意，舍去）当 x=4 时，y=12，点 P（4，12），则得梯形 OAPB 若 AB OP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m，则，解得，AB 的表达式为 y=x2 AB
19、 OP，直线 OP 的表达式为 y=x 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 由，得 x2=0，解得 x=0，（不合题意，舍去），此时点 P 不存在 综上所述，存在两点 P（4，4）或 P（4，12）使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形 答：在此抛物线上，存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形，点 P 的坐标是（4，4）或（4，12）5已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1），B（4，3）（1）求抛物线的函数解析式；创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年
20、1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日（2）求 tan ABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标 【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1），B（4，3），解得，所以，抛物线的函数解析式为 y=x2+x+1；（2）如图，过点 B 作 BCx 轴于 C，过点 A 作 ADOB 于 D，A（0，1），B（4，3），OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB=5，OAD+AOD=90，AOD
21、+BOC=90，OAD=BOC，又 ADO=OCB=90，AOD OBC，=，即=，解得 OD=，AD=，BD=OBOD=5=，tan ABO=；（3）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0，k、b 是常数），创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 则，解得，所以，直线 AB 的解析式为 y=x+1，设点 M（a，a2+a+1），N（a，a+1），则 MN=a2+a+1a1=a2+4a，四边形 MNCB 为平行四边形，MN=BC，a2+4a=3，整理得，a24a+3=0，解得 a1=1，a2=3，MN 在抛物
22、线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线 x=，a=1，12+1+1=，点 M 的坐标为（1，）6如图 1，已知抛物线的方程 C1：y=（x+2）（xm）（m0）与 x 轴交于点 B、C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M（2，2），求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求 BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 创作者（人）：轻秘张
23、 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 【解答】解：（1）将 x=2，y=2 代入抛物线的解析式得：4（2m）=2，解得：m=4，经检验：m=4 是分式方程的解 m 的值为 4（2）y=0 得：0=（x+2）（xm），解得 x=2 或 x=m，B（2，0），C（m，0）由（1）得：m=4，C（4，0）将 x=0 代入得：y=2（m）=2，E（0，2）BC=6，OE=2 S BCE=BCOE=62=6（3）如图 1 所示：连接 EC 交抛物线的对称轴于点 H，连接 BH，设对称轴与 x 轴的交点为 P x=，抛物线的对称轴是直线 x=1
24、 CP=3 点 B 与点 C 关于 x=1 对称，BH=CH BH+EH=EH+HC 当 H 落在线段 EC 上时，BH+EH 的值最小 HP OE，PHC EOC，即解得 HP=创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 点 H 的坐标为（1，）（4）如图 2，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F BF EC，BCE=FBC 当，即 BC2=CEBF 时，BCE FBC 设点 F 的坐标为（x，（x+2）（xm），由，得 解得 x=m+2 F（m+2，0）BCE=FBC，得，解得
25、：又 BC2=CEBF，整理得：0=16此方程无解 如图 3，作 CBF=45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，OE=OB，EOB=90，EBO=45 CBF=45，EBC=CBF，当，即 BC2=BEBF 时，BCE BFC 在 Rt BFF中，由 FF=BF，得（x+2）（xm）=x+2，解得 x=2m F（2m，0）创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 BF=2m+2，BF=2m+2 由 BC2=BEBF，得（m+2）2=2（2m+2）解得 m0，m=2+2 综上所述，点 m 的值为 2+2
26、7如图，已知抛物线 y=x2（b+1）x+（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为（b，0），点 C 的坐标为（0，）（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO，QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如
27、果不存在，请说明理由 【解答】解：（1）令 y=0，即 y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1 或 b，b 是实数且 b2，点 A 位于点 B 的左侧，点 B 的坐标为（b，0），令 x=0，解得：y=，点 C 的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 设点 P 的坐标为（x，y），连接 OP 则 S 四边形 PCOB=S PCO+S POB=x+by=2b，创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年
28、 1 月 8 日 x+4y=16 过 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，PEO=EOD=ODP=90 四边形 PEOD 是矩形 EPD=90 EPC=DPB PEC PDB，PE=PD，即 x=y 由解得 由 PEC PDB 得 EC=DB，即=b，解得 b=2 符合题意 P 的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点 Q，使得 QCO，QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 QAB=AOQ+AQO，QAB AOQ，QAB AQO 要使 QOA 与 QAB 相似，只能 QAO=BAQ=90，即 QAx 轴 b2，ABOA，Q0A ABQ 只能 AOQ=AQB此时 OQB=9
29、0，由 QAx 轴知 QA y 轴 COQ=OQA 要使 QOA 与 OQC 相似，只能 QCO=90或 OQC=90（I）当 OCQ=90时，CQO QOA AQ=CO=由 AQ2=OAAB 得：（）2=b1 解得：b=84 b2，b=8+4 点 Q 的坐标是（1，2+）（II）当 OQC=90时，OCQ QOA，=，即 OQ2=OCAQ 又 OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b 解得：AQ=4，此时 b=172 符合题意，创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 点 Q 的坐标是（1，4）综上可知，存
30、在点 Q（1，2+）或 Q（1，4），使得 QCO，QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0），C（3，0），D（3，4）以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C 动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动 同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，AC
31、G 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值 【解答】解：（1）A（1，4）由题意知，可设抛物线解析式为 y=a（x1）2+4 抛物线过点 C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 抛物线的解析式为 y=（x1）2+4，即 y=x2+2x+3（2）A（1，4），C（3，0），可求直线 AC 的解析式为 y=2x+6 点 P
32、（1，4t）将 y=4t 代入 y=2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x=1+点 G 的横坐标为 1+，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 4 GE=（4）（4t）=t 又 点 A 到 GE 的距离为，C 到 GE 的距离为 2，即 S ACG=S AEG+S CEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1 当 t=2 时，S ACG 的最大值为 1（3）第一种情况如图 1 所示，点 H 在 AC 的上方，由四边形 CQEH 是菱形知 CQ=CE=t，根据 APE ABC，知=，即=，解得 t=208；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2t，MQ=42t 则在直角三角形 EMQ 中，根据勾股定理知 EM2+MQ2=EQ2，即（2t）2+（42t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）综上所述，t=208或 t=创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日 创作者（人）：轻秘张 日 期：贰零贰贰 年 1 月 8 日