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1、2012 届高考数学二轮复习 专题六 立体几何【重点知识回顾】稳定中有所创新,由知识立意转为能力立意（1）考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查 （2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系（3）使用，“向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题
2、、填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是 2012 年高考命题的重点（4）支持新课改，在重叠部分做文章,在知识交汇点处命题 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线面平行的判定：线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角，090 （2）直线与平面所成的角，090 （三垂线定理法：A作或证 AB于
3、B，作 BO棱于 O，连 AO，则 AO棱l，AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，则：（1）点 C 到面 AB1C1的距离为_；（2）点 B 到面 ACB1的距离为_；（3）直线 A1D1到面 AB1C1的距离为_；（4）面 AB1C 与面 A1DC1的距离为_；（5）点 B 到直线 A1C1的距离为_。
4、你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱 正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：它们各包含哪些元素？球有哪些性质？（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R：r3：1。【典型例题】1，空间几何体及三视图 例 1用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体，图 1 为其俯视图，图 2 为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm
5、3 图 1（俯视图）图 2（主视图）例 2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体A CDEF 的体积为 38 例 4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有 个5 例 5如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是2420 2cm。例 6.矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 6125 例 7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+42 2.平行与
6、垂直 例 8.已知：正方体1111ABCD-A B C D，1AA=2，E 为棱1CC的中点 求证：11B DAE；求证：/AC平面1B DE；求三棱锥1BADE的体积 证明：连结BD，则BD/11B D，ABCD是正方形，ACBD CE 面ABCD，CEBD 又CACCE，BD 面ACE AE 面ACE，BDAE，11B DAE 证明：作1BB的中点 F，连结AFCFEF、EF、是1BB1CC、的中点，CE1B F，主视图 俯视图 左视图 2 俯视图 主视图 左视图 2 1 2 四边形1B FCE是平行四边形，1CF/B E ,E F是1BB1CC、的中点，/EF BC，又/BC AD，/E
7、FAD 四边形ADEF是平行四边形，AF/ED，AFCFC，1B EEDE，平面/ACF面1B DE 又AC 平面ACF，/AC面1B DE 例 9.多面体ABCDE中，1AEACBCAB，2CD，ABCAE面，CDAE/。（1）求证：BCDAE面/；（2）求证：BCDBED面面 证明：（1）CDAE/BCDAE面/（2）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN MN是BCD的中位线 CDMN/又CDAE/MNAE/ABCMN面 ANMN ABC为正 BCAN BCDAN面 又1 MNAE，MNAE/A B C D E M N A B C D E 四边形ANME为平行四边形 BCDEN面
8、BCDBED面面 例 10如图四边形ABCD是菱形，PA 平面ABCD，Q为PA的中点.求证：PC平面QBD；平面QBD 平面PAC.解：证：设 ACBD=0,连OQ ABCD为菱形，O为AC中点，又Q为PA中点。OQPC 又PC 平面QBD,OQ 平面QBDPC平面QBD ABCD为菱形，BDAC,又PA 平面ABCD，BD平面ABCD PA BD 又 PAACD BDP 平面 AC 又BD平面QBD P平面QBD 平面 AC 3.距离与角 例 11已知DBC和ABC所在的平面互相垂直，且，0120DBCCBA，求：直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小；直线 AD 与直线 BC 所成角的
9、大小；二面角 A-BD-C 的余弦值 B A C D P Q O RHABCD如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45 BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为 90 过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=2,23aBHa,在HDB中，HR=43a，tanARH=HRAH=2 故二面角ABDC的余弦值的大小为55 【点评】:本题着眼于让
10、学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，则有2或2（如图）特别地 0时，2，l；2时，0，l或/l。用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，利用BCDP三垂线定理证，利用对称性定义法作二面角【变式与拓展】如图，BCD 是等腰直角三角形，斜边
11、CD 的长等于点 P 到 BC 的距离，D 是 P 在平面 BCD 上的射影.求 PB 与平面 BCD 所成角；.求 BP 与平面 PCD 所成的角.【解法】.PD平面 BCD，BD 是 PB 在平面 BCD 内的射影，PBD 为 PB 与平面 BCD 所成角,BDBC，由三垂线定理得 BCBD，BP=CD，设 BC=a，则 BD=a，BP=CD=2a在 RtBPD 中，cosDBP=22 DBP=45,即 PB 与平面 BCD 所成角为 45.过 B 作 BECD 于 E，连结 PE，PD平面 BCD 得 PDBE，BE平面 PCD，BPE 为 BP 与平面 PCD 所成的角,在 RtBEP
12、 中，BE=22a,BP=2a,BPE=30 即 BP 与平面 PCD 所成角为 30 例 12.在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，设 PA=AB=a，BC=2a，求二面角 B-PC-D 的大小 解析 1.定义法 过 D 作 DE PC 于 E，过 E 作 EF PC 于 F，连接 FD，由二面角的平面角的定义可知DEF是所求二面角B-PC-D 的平面角。求解二面角 B-PC-D 的大小只需解DEF 即可【解法一】过 D 作 DE PC 于 E，过 E 作 EF PC 于 F，连接 FD，由二面角的平面角的定义可知DEF是所求二面角 B-PC-D的平面角
13、 在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD 且 ABCD 为矩形，ADB D P C A B D P C A 解析一 B D P C A 解析三 E F G B D P C A 解析二 DCPDDC PA=a，AD=BC=2a，PD=a5,PC=a6,DE=630aPCDCPD,CE=662aCPCD 同理在 RtPBC 中，aBCPBECEFECEFBCPB63，在 RtEFC 中,FC=a21,在 RtDFC 中,DF=a25,在DEF 中由余弦定理 cosDEF=5102222EDEFDFEDEF 所求二面角 B-PC-D 的余弦值为510 解析 2.垂面法 易证面 PAB面 P
14、BC，过 A 作 AM BP 于 M，显然 AM 面 PBC，从而有 AM PC，同法可得 AN PC，再由AM 与 AN 相交与 A 得 PC 面 AMN。设面 AMN 交 PC 于 Q，则MQN为二面角 B-PC-D 的平面角；再利用三面角公式可解【解法二】略 解析 3.利用三垂线求解 把四棱锥 P-ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB-EDC，显然二面角 E-PC-D 与二面角 D-PC-B 互补，转化为求二面角 E-PC-D。易证面 PEDA PDC，过 E 作 EF PD 于 F，显然 PF 面 PDC，在面 PCE 内，过 E 作 EG PC 于 G，连接 GF，由三垂线得 GF
15、PC 即EGF为二面角 E-PC-D 的平面角，只需解EFG 即可 解析 4.在面 PDC 内，分别过 D、B 作 DE PC 于 E，BF PC 于 F，连接 EF 即可。利用平面知识求 BF、EF、DE 的长度，再利用空间余弦定理求出 即可【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（2）三垂线求解,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（3）垂面法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析 B D P C A 解析四 用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图(1).利用三垂线定理及其逆定理，图(2).最常用。作棱的垂面
16、，图(3).【模拟演练】一、选择 1已知正方体外接球的体积是3243，那么正方体的棱长为（）A2 3 B3 3 C3 D3 2一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形,根据图中尺寸(单位:cm),可知这个几何体的体积是（）A.360 cm B.350 cm C.330 cm D.30 4已知、m是不重合的直线，、是两两不重合的平面，给出下列命题：若,lmla ma则a；若lm/，,m则l;若，ll则,；若./,/,lmlm则其中真命题的序号为 （）A B C D 5.在正三棱锥ABCD中，,E F分别为AB、CD的中点，若EF与BD所成的角为6，则EF与AC所成的角为（）A.6
17、B.4 C.3 D.2 7已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段1AC上，则MP与平面1BCN的位置关系是 A O B M N A O P A B O P (1)(2)(3)（）A垂直 B平行 C相交但不垂直 D 要依P点的位置而定 11.如图所示，设地球半径为R，点,A B在赤道上，O为地心，点C在北纬 30的纬线（O为其圆心）上，且点,A C D，O，O共面，点D、O、O共线 若90AOB，则异面直线AB与CD所成角的正弦值为 （）A.46 B.46 C.104 D.104 二、填空 13.已知一个正四棱柱内接于球，该正四棱柱高为 3，体
18、积为 24，则这个球的表面积是 。14若直线l与平面所成角为4，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是 。三解答题 17（本题满分 12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ACAB，PA 平面ABCD，点E是PD的中点。（1）求证：平面PAB 平面PAC；（2）求证：ACEO。18.（本小题满分 12 分）如图所示，矩形ABCD中，G是对角线AC，BD的交点，ABEAD平面，F为CE上的点，且ACEBF平面，连接FG.求证：ACEBCE平面平面；求证：AE/BFG平面；求三棱锥BGFC 的体积.FGADCBE 19如图,四棱锥PABCD
19、的底面为直角梯形，/,ADBC,90ABC 平面PAABCD,4,2,2 3,6PAa ADa ABa BCa。()求证:;PACBD平面()求二面角A-PC-D的大小 专题训练答案 1B 解析：由正方体对角线得到直径可知，34324,333RR，所以棱长为3 33 33。2.A 解析：由三视图可知该几何体的底面是底边为 6，高是 4 的等腰三角形，该几何体的高为 5，所以156 42V （）=60。4D 解析：只有、m相交才正确，所以错误；正确；l还需与、的交线垂直，错误；由平面与平面平行的性质定理可知正确，选 D.5C 解析：由正三棱锥ABCD的对应棱互相垂直，得ACBD。取BC的中点H，
20、连,EH FH，则/,/EHAC FHBD，所以EFH是直角三角形，EF与BD所成的角为6，就是EFH6，从而EFH3，即EF与AC所成的角为3，故选 C。7B 解析：由题设知B1MAN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NCAMC1，MP平面AMC1，MP平面B1NC。11.C 解析：分别以,OB OA OD所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，易得 A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，)21,23RR，D（0，0，R），,46223,cos),21,23,0(),0,(22
21、RRCDABCDABCDABRRCDRRAB所以2610sin,1()44AB CD，故选 C。13.1256 解析：正四棱柱高为 3，体积为 24，底面积为 8，正方形边长为 22，正四棱柱的对角线长即球的直径为 5，球的半径为52，球的表面积是1256。14 42，；解析：因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于4；又因为异面直线所成的角不大于2.17、证明：（1）PA 平面ABCD，AC 平面ABCD，PAAC。2 分 又,ABAC PAACA，PA 平面PAB，AB 平面PAB，AC平面PAB，AC 平面
22、PAC，平面PAB 平面PAC。6 分（2）连结BD交AC于点O，并连结EO，四边形ABCD为平行四边形 O为BD的中点，又E为PD的中点。8分 在PDB中EO为中位线，PBEO/，AC 平面PAB，PB平面PAB，ACPB，ACEO。12 分 18、解：（1）证明：ABEAD平面，BCAD/ABEBC平面，BCAE，2 分 又ACEBF平面，BFAE，4 分 又BBFBC BCEAE平面.，AEACE 平面，ACEBCE平面平面。5 分 证明：ACEBF平面，BFCE，又BEBC F是EC的中点，又易知G是AC的中点，在AEC中，AEFG/，又BFGFG平面，BFGAE平面 BFGAE平面/
23、.9分 由知AEFG/且121AEFG，BCEAE平面.BCEFG平面BCFFG平面，又ACEBF平面，CEBF，在BCERt中，221CECFBF。在12221CFBS，在3131FGSVVCFBBCFGBFGC。12 分 解析：（）如图，建立坐标系，则(0 0 0)A，(2 3 0 0)Ba，(2 3 6 0)Ca a，(0 2 0)Da，(0 0 4)Pa，(0 0 4)APa，(2 3 6 0)ACa a，(2 3 2 0)BDa a，0BD AP，0BD AC 2 分 BDAP，BDAC，又PAACA，BD平面PAC 6 分（）设平面PCD的法向量为(1)xy，n，则0CDn，0PDn，又(2 34 0)CDaa，(0 24)PDaa，2 340240 xyy，解得4 332xy，4 3213，n。8分 平面PAC的法向量取为2 3 2 0BDa a，m，cos m，3 9331m nnm n。二面角APCD的大小为3 93arccos31。12 分.精品资料。欢迎使用。