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1、019-2020 年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质课堂 探究新人教 B 版选修 探究一利用标准方程研究几何性质 解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根 据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出 a，b的值，并求出c的值，最后按要求写 出椭圆的几何性质.【典型例题 1】求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质.解答本题可先把方 程化成标准形式，然后再写出性质.2 2 解：把已知方程化成标准方程为 16+春=1,所以 a=4,b=3,c=1
2、6 9=7,所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6,离心率e=C=7.a 4 两个焦点坐标分别是(一乙 0),(,7,0),四个顶点坐标分别是(一 4,0),(4,0),(0，3),(0,3).探究二利用椭圆的几何性质求它的方程 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题 2已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为 对称轴，求椭圆的标准方程.2 2 思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为 x)+专=1(m0,n 0)的形式求解.2 2 019-2020 年高中数学第二章圆锥曲线
3、与方程 2.1.2 椭圆的几何性质课堂 解法一：若椭圆的焦点在 x轴上，则设方程为 2+書=1(a b 0).由题意得 a b 2a=3 2 b,a=3,9 0 解得 a2+x=1，b=1.2 X 2 所以椭圆方程为-+y2=1.2 2 若焦点在y轴上，则设方程为 老+b2=1(a b 0).2a=3 2 b,由题意得 0 9 解得 la2+b2=1 k 2 2 所以椭圆方程为备+x=1.81 9 2 2 2 综上所述，椭圆方程为 着+y2=1 或 8+鲁=1.2 2 x y 解法二：设椭圆方程为+=1(m0,n0,n),m n 探究三 与离心率有关的问题 求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程
4、由焦点的位置确定 利用疋乂 e=a求解或构造关于 a,c的齐次方程求解；要确定离心率的取值范围，则需根据 条件建立a,b,c满足的关系式，化为关于 a,c的不等式求解.2 2 x y【典型例题 3】设椭圆 g+合=1(ab0)的两焦点为F1,F2,若在椭圆上存在一点 P,使=0,求椭圆的离心率 e的取值范围.思路分析：由条件=0，知PF丄PF,所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，a=9,I b=3.9=1,m，3 则由题意得 2 術=m=9,解得 d n=1 2 所以椭圆方程为X9+y2=1 或 81+=1.m=9,或 切 n=81.9 _=1,或m，2 n=3 2 m a2,b2,
5、求出a,c的值,利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解.解：如图所示,由题意知点 P 在以 FlF2为直径的圆上，即在圆 2 2 2 r x+y=c 又点 P 在椭圆上,2 2 所以圆x2+y2=c2与椭圆扌+討 有公共点,连接 op 则易知 0V bw cv a,所以 b2w c2v a2,即卩 a2-c2w c2v a2.所以w c2v a2，所以wv 1,所以 e.点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形,它包含着很多关系,题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手,率的取值范围是 0v e v 1.且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心 探究四易错辨析 易错点不能确定焦点
6、在哪个坐标轴上 2 2 i【典型例题 4】若椭圆 k+g=1 的离心率e=2，求k的值.c 1 错解：由已知得 a=k+8,b=9.又因为e=-=：,a 2 2 c 所以e2=a a2 b2 k 1 1 -2-=a k+8 4 解得k=4.错因分析：忽视了椭圆的焦点在 y轴上的情况.正解：（1）若焦点在x轴上，即当k+8 9 时，a2=k+8,b2=9.2 2.2 a b 2=a a k+8 c 1 2 c a b k 1 又因为e=j所以e2=p a 2 a 4 解得k=4.若焦点在y轴上，即当 0 v k+8v 9 时，a2=9,b2=k+8.2 2 2.1 2 c a b 1 k 1 又
7、因为 e=E，所以 e=2=T,解得k=5.综上知，k=4 或k=5.019-2020 年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质(一)教学案新人教 B 版选修 1-1 学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何 条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.戸预习导学全 挑战自我.点点落实 _ 知识链接 2 2 x y 观察椭圆a+寺=1(ab0)的形状，你能从图中看出 x和y的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上有哪些特殊点?答案(1)范围：aw xw a,b y b0)2 2 p+b 1(ab0)范围 aw x a,b y0)
8、的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的方程 mx2+4miy2=1(m0)可转化为 x2 y,2 1 1 1+T=1.m4m,2 2 m 4m 然后根据标准方程判断出椭 要点二由椭圆的几何性质求方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.1(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y轴上，若其离心率为 空，焦距为 8.短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 C 4 1 解 由题意知，2c=8,c=4,.e=-=-,-a=8,a a 2 2 2 从而b2=a2-c2=48,.椭圆的标准方程是 y+X=1.64 48 由已知 a=2c,a c=-j3,二a=
9、23,c=3.从而 b2=9,2 2 2 2.所求椭圆的标准方程为 12+眷=1 或+卷=1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的 形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a,b.跟踪演练 2 椭圆过点(3,0)，离心率e=，求椭圆的标准方程.3 解所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0),点(3,0)为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在 x轴上时，(3,0)为右顶点，则a=3,c 翻 窃 厂 e=a=y,c=Ta=p x 3=6，b2=a2 c2=32 (6)2=9 6=3,椭圆的方程为 9+鲁=1.当椭圆的焦点在 y
10、轴上时，（3,0）c 犬/e=一=c=a,a 3，3，.2 2 2 2 2 2 1 2 b=a c=a a=-a,3 3 2 y_ 27 2 2 2 2 X+=1 或比+X=1 9 十 3 或 27 十 9 要点三求椭圆的离心率 2 2 x y 例 3 设F1,F2分别是椭圆 E g+話=1(ab0)的左、右焦点，过点R的直线交椭圆E于A,B 两点,|AF|=3|F1B|.(1)若|AB=4,A ABF的周长为 16，求|AH|;为右顶点，则b=3,a2=3b2=27,.椭圆的方程为 综上可知，椭圆的标准方程是 3 若 cos/AFB=，求椭圆E的离心率.5 解由|AF|=3|FiB|,I A
11、B=4,得|AF|=3,|FiB|=1.因为 ABF的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF|+|AF|=2a=8.故|AF=2a|AF|=8-3=5.设|FiB|=k,则 k0 且|AF|=3k,|AB=4k.由椭圆定义可得|AB|=2a 3k,|BFJ=2a k.在厶ABF中，由余弦定理可得 I AB 2=|A|2+|B|2 2|AFJ BR|cos/AFB,2 2 2 6 即(4 k)=(2 a 3k)+(2 a k)(2 a 3k)(2 a k),5 化简可得(a+k)(a 3k)=0.而 a+k0,故 a=3k.于是有|AR|=3k=|AF|,|BR|=5k.因此|BR
12、|2=|F2A 2+|AB 2,可得 FiA F2A,故厶AFF2为等腰直角三角形.J2 从而 c=-a,所以椭圆E的离心率e=誓.a 2 规律方法 求椭圆离心率的方法：直接求出a和c,再求e=詈，也可利用e=、y 1 字求解.若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a和c的齐次等式关系，然后整理成c的 a 形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e的方程，进而求解.2 2 跟踪演练 3 设椭圆C：字+缶=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交 于代B两点，F1B与y轴相交于点 D,若ADL F1B,则椭圆C的离心率等于 答案严 3 2 2.2 x y b 解析
13、直线AB x=c,代入+占=1，得y=.a b a A(c,b2 a),Ns b2 a)3b4=4a2c2,3b2=2ac,3e2+2e-3=0,2 4X3 24 e=:J、2+4 2 x3 e=苹=厢=3.F 当堂检测 J 当堂训练.体验成功 1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是（一 10,0），则焦点坐标 A.(13,0)B.(0,10)C.(0，13)D.(0，69)答案 D 解析由题意知椭圆焦点在 y轴上,且 a=13,b=10,则 c=a2 b2=69,故焦点坐标为（0,69）.2.如图，直线I:x 2y+2=0 过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的
14、离心率为（kBF=c-直线BF:令x=0，则 b2-0 a HO,-却,由于ADL BF,b2 a=tL c 2c 2ac.b2 y 0=莎(x+c).b2 y=2a，b2 b2 a 2a 3 b2 c=2ac.3b2=1,2ac kAD=b2 2ac 即 3(a2 c)=2ac,23-）1 2 A.B.-5 5 答案 D 解析/x 2y+2=0,1 二 y=2%+1,3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 4 3 A.5B.5 2 1 CWT 答案 B 解析 由题意有 2a+2c=2(2 b),即 a+c=2b，又 c2=a b2,2 2 消去b整理得 5c=3a
15、 2ac,即 5e+2e 3=0,3 e=或 e=1(舍去).5 2 2 4.设F,F2是椭圆E：笃+y2=1(ab0)的左、右焦点，P为直线 a b 而 C=2，x=2 上一点，F2PF 是底角为 30的等腰三角形，则 E的离心率为(A.一 B.-C.D.答案 C 3 解析 由题意可得|PF|=|FF2|,2(2a c)=2c,.3a=4c,e 课堂那结-1 1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型,用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用 3=4.再定量”，常 顶点，而不能确定类