《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质第1课时课件新人教B版选修2_1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质第1课时课件新人教B版选修2_1.ppt（110页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.4.2抛物线的几何性质第1课时抛物线的几何性质【自我预习自我预习】抛物线的几何性质抛物线的几何性质标准标准方程方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)图象图象 标准方程标准方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)性质性质范围范围_对称轴对称轴_轴轴_轴轴顶点顶点_x0,x0,yRyRx0,x0,yR
2、yRxR,xR,y0y0 xR,xR,y0y0 x xy yO(0,0)O(0,0)标准方程、标准方程、y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)性质性质焦点焦点_ _ _ _准线准线_ _ _ _离心率离心率e=_e=_pF(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2px2 px2py2 py21 1【思考思考】思考下列问题思考下列问题: :(1)(1)抛物线抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)有几条对称轴有几条对称轴? ?是否是
3、中心对称是否是中心对称图形图形? ?提示提示: :有一条对称轴即有一条对称轴即y y轴轴, ,不是中心对称图形不是中心对称图形. .(2)(2)影响抛物线开口大小的量是什么影响抛物线开口大小的量是什么? ?是如何影响的是如何影响的? ?提示提示: :影响抛物线开口大小的量是参数影响抛物线开口大小的量是参数p.pp.p值越大值越大, ,抛物抛物线的开口越开阔线的开口越开阔, ,反之反之, ,开口越扁狭开口越扁狭. .【自我总结自我总结】1.1.抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦如图如图,AB,AB是过抛物线是过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点焦点F F的一条弦的一条弦, ,设设A
4、(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),AB),AB的中点的中点M(xM(x0 0,y,y0 0),),相应的准线为相应的准线为l. .(1)(1)以以ABAB为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线l相切相切. .(2)|AB|=2(2)|AB|=2 ( (焦点弦长与中点关系焦点弦长与中点关系).).(3)|AB|=x(3)|AB|=x1 1+x+x2 2+p.+p.(4)A,B(4)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值, ,即即x x1 1x x2 2= = ,y,y1 1y y2 2=-p=-p2 2. .0p(x)22
5、p42.2.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y y2 2=ax=ax一次项为一次项为x x项项,x,x轴轴为对称轴为对称轴a0a0时时, ,焦点在焦点在x x轴正轴正半轴上半轴上, ,开口向右开口向右a0a0a0时时, ,焦点在焦点在y y轴正轴正半轴上半轴上, ,开口向上开口向上a0a0)(p0)的范围是的范围是x0,yR,x0,yR,故此说法错误故此说法错误. .(3).(3).抛物线抛物线y y2 2= =2px(p0)2px(p0)的对称轴为的对称轴为x x轴轴, ,抛物线抛物线x x2 2= =2py(p0)2py(p0)的对称轴为的对
6、称轴为y y轴轴, ,故此说法正确故此说法正确. .p2p22.2.顶点在原点顶点在原点, ,对称轴为对称轴为y y轴轴, ,顶点到准线的距离为顶点到准线的距离为4 4的的抛物线方程是抛物线方程是( () )A.xA.x2 2=16y=16yB.xB.x2 2=8y=8yC.xC.x2 2= =8y8yD.xD.x2 2= =16y16y【解析解析】选选D.D.由题意可设抛物线的方程为由题意可设抛物线的方程为x x2 2=2ay,=2ay,又顶又顶点到准线的距离为点到准线的距离为4,4,故故|a|=8, |a|=8, 所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2= =16y.16y.3.3.过
7、抛物线过抛物线y y2 2=8x=8x的焦点作倾斜角为的焦点作倾斜角为4545的直线的直线, ,则被则被抛物线截得的弦长为抛物线截得的弦长为( () )A.8A.8 B.16B.16C.32C.32 D.61D.61【解析解析】选选B.B.由抛物线由抛物线y y2 2=8x=8x的焦点为的焦点为(2,0),(2,0),得直线的得直线的方程为方程为y=x-2.y=x-2.代入代入y y2 2=8x,=8x,得得(x-2)(x-2)2 2=8x,=8x,即即x x2 2-12x+4=0.-12x+4=0.所以所以x x1 1+x+x2 2=12,=12,弦长弦长=x=x1 1+x+x2 2+p=1
8、2+4=16.+p=12+4=16.4.4.若双曲线若双曲线 (p0)(p0)的左焦点在抛物线的左焦点在抛物线y y2 2=2px=2px的准线上的准线上, ,则则p=p=.222x16y13p【解析解析】双曲线的方程可化为双曲线的方程可化为 所以双曲线的左焦点为所以双曲线的左焦点为 又因为抛物线的准线为又因为抛物线的准线为x=- ,x=- ,222xy1p316，2p(30)16，p2所以由题意得所以由题意得 解得解得p=4.p=4.答案答案: :4 42pp3162，类型一由抛物线几何性质求标准方程类型一由抛物线几何性质求标准方程【典例典例】1.1.顶点在原点顶点在原点, ,对称轴是对称轴
9、是y y轴轴, ,并且顶点与焦点并且顶点与焦点的距离等于的距离等于3 3的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是( () )A.xA.x2 2= =3y3yB.yB.y2 2= =6x6xC.xC.x2 2= =12y12yD.xD.x2 2= =6y6y2.2.已知拋物线的焦点已知拋物线的焦点F F在在x x轴上轴上, ,直线直线l过过F F且垂直于且垂直于x x轴轴, ,l与拋物线交于与拋物线交于A,BA,B两点两点,O,O为坐标原点为坐标原点, ,若若OABOAB的面积等的面积等于于4,4,求此拋物线的标准方程求此拋物线的标准方程. .【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的焦点位
10、置是否明确中的焦点位置是否明确? ?提示提示: :不明确不明确. .需分焦点在需分焦点在y y轴的正负两个半轴分别求解轴的正负两个半轴分别求解. .2.2.典例典例2 2中弦中弦|AB|AB|等于多少等于多少? ?OABOAB的面积如何表示的面积如何表示? ?提示提示: :|AB|=2p, |AB|=2p, OABOAB的面积为的面积为 |AB| .|AB| .12p2【解析解析】1.1.选选C.C.依题意知抛物线方程为依题意知抛物线方程为x x2 2= =2py(p0)2py(p0)的形式的形式, ,又又 =3,=3,所以所以p=6,2p=12,p=6,2p=12,故抛物线的标准方程故抛物线
11、的标准方程为为x x2 2= =12y.12y.p22.2.由题意由题意, ,设拋物线方程为设拋物线方程为y y2 2=ax(a0).=ax(a0).焦点焦点F ,F ,直线直线l:x= ,:x= ,所以所以A,BA,B两点的坐标分别为两点的坐标分别为 所以所以AB=|a|,AB=|a|,因为因为OABOAB的面积为的面积为4,4,所以所以 |a|=4, |a|=4,所以所以a=a=4 ,4 ,所以拋物线的标准方程为所以拋物线的标准方程为y y2 2= =4 x.4 x.a(0)4，a4a aaa() ()4 242， ， ，12a|422【方法技巧方法技巧】用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
12、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)(1)定位置定位置: :根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向上及开口方向. .(2)(2)设方程设方程: :根据焦点和开口方向设出标准方程根据焦点和开口方向设出标准方程. .(3)(3)寻关系寻关系: :根据条件列出关于根据条件列出关于p p的方程的方程. .(4)(4)得方程得方程: :解方程解方程, ,将将p p代入所设方程为所求代入所设方程为所求. .【变式训练变式训练】过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的直线与抛物线交于的焦点的直线与抛物线交于A,BA,B两点两点,|
13、AB|=3,|AB|=3,且且ABAB的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为 , ,求求p p的值的值. .12【解析解析】设直线方程为设直线方程为x=my+ ,x=my+ ,代入抛物线方程得代入抛物线方程得y y2 2-2mpy-p-2mpy-p2 2=0,=0,则则 又又|AB|= |AB|= 故故 p2AB2AByy2mp1,y yp , 2222ABAB1myy4yy1m14p，222mp1,35p.41m14p3,解得类型二抛物线的实际应用类型二抛物线的实际应用【典例典例】1.1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分的一部分, ,灯口所在的圆面与
14、反射镜的轴垂直灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直, ,灯泡位灯泡位于抛物线焦点处于抛物线焦点处, ,已知灯口的直径是已知灯口的直径是24 cm,24 cm,灯深灯深10 cm,10 cm,那么灯泡与反射镜顶点那么灯泡与反射镜顶点( (即截得抛物线顶点即截得抛物线顶点) )间的距离间的距离是是.2.2.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔, ,已知上部呈已知上部呈抛物线形抛物线形, ,跨度为跨度为2020米米, ,拱顶距水面拱顶距水面6 6米米, ,桥墩高出水面桥墩高出水面4 4米米. .现有一货船欲过此孔现有一货船欲过此孔, ,该货船水下宽度不超过该货船水下宽度不超
15、过1818米米, ,目前吃水线上部中央船体高目前吃水线上部中央船体高5 5米米, ,宽宽1616米米, ,且该货船在现且该货船在现有状况下还可多装有状况下还可多装1 0001 000吨货物吨货物, ,但每多装但每多装150150吨货物吨货物, ,船体吃水线就要上升船体吃水线就要上升0.040.04米米. .若不考虑水下深度若不考虑水下深度, ,问问: :该该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔? ?为什么为什么? ?【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中灯泡与反射镜顶点间的距离实中灯泡与反射镜顶点间的距离实际上是求抛物线中的哪个值际上是求抛物线
16、中的哪个值? ?提示提示: :焦点到顶点间的距离焦点到顶点间的距离, ,即即 . .p22.2.典例典例2 2中如何求抛物线的方程中如何求抛物线的方程? ?如何判断货船在现在如何判断货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔状况下能否直接或设法通过该桥孔? ?提示提示: :利用条件利用条件“跨度为跨度为2020米米, ,拱顶距水面拱顶距水面6 6米米, ,桥墩高桥墩高出水面出水面4 4米米”求抛物线的方程求抛物线的方程; ;通过验证点通过验证点(8,y)(8,y)中中y y与与船体高船体高5 5米间的关系米间的关系, ,判断该货船在现在状况下能否直判断该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔接
17、或设法通过该桥孔. .【解析解析】1.1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x x轴轴, ,抛抛物线的顶点为坐标原点物线的顶点为坐标原点, ,建立直角坐标系建立直角坐标系xOy,xOy,如图所示如图所示. .因灯口直径因灯口直径|AB|=24,|AB|=24,灯深灯深|OP|=10,|OP|=10,所以点所以点A A的坐标是的坐标是(10,12).(10,12).设抛物线的方程为设抛物线的方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),由点由点A(10,12)A(10,12)在抛物在抛物线上线上, ,得得12122 2=2p=2p10,10,所以所以p=7.2.
18、p=7.2.所以抛物线的焦点所以抛物线的焦点F F的坐标为的坐标为(3.6,0).(3.6,0).因此灯泡与反射因此灯泡与反射镜顶点间的距离是镜顶点间的距离是3.6 cm.3.6 cm.答案答案: :3.6 cm3.6 cm2.2.如图所示如图所示, ,以拱顶为原点以拱顶为原点, ,过拱顶的水平直线为过拱顶的水平直线为x x轴轴, ,竖直直线为竖直直线为y y轴轴, ,建立直角坐标系建立直角坐标系. .因为拱顶距水面因为拱顶距水面6 6米米, ,桥墩高出水面桥墩高出水面4 4米米, ,所以所以A(10,-2).A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是设桥孔上部抛物线方程是x x2 2=-2py
19、(p0),=-2py(p0),则则10102 2=-2p(-2),=-2p(-2),所以所以p=25,p=25,所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2=-50y,=-50y,即即y=- xy=- x2 2. .150若货船沿正中央航行若货船沿正中央航行, ,船宽船宽1616米米, ,而当而当x=8x=8时时, ,y=- y=- 8 82 2=-1.28,=-1.28,即船体在即船体在x=x=8 8之间通过之间通过,B(8,-1.28),B(8,-1.28),此时此时B B点距水面点距水面6+(-1.28)=4.72(6+(-1.28)=4.72(米米).).而船体高为而船体高为5 5米米
20、, ,所以无法通行所以无法通行. .150又因为又因为5-4.72=0.28(5-4.72=0.28(米米),0.28),0.280.04=7,0.04=7,1501507=1 050(7=1 050(吨吨),),所以若船通过增加货物通过桥孔所以若船通过增加货物通过桥孔, ,则要增加则要增加1 0501 050吨吨, ,而而船最多还能装船最多还能装1 0001 000吨货物吨货物, ,所以货船在现有状况下不所以货船在现有状况下不能通过桥孔能通过桥孔. .【方法技巧方法技巧】求解抛物线实际应用题的五个步骤求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)(1)建系建系: :建立适当的坐标系建立适当的坐标系.
21、.(2)(2)假设假设: :设出合适的抛物线标准方程设出合适的抛物线标准方程. .(3)(3)计算计算: :通过计算求出抛物线标准方程通过计算求出抛物线标准方程. .(4)(4)求解求解: :求出所要求出的量求出所要求出的量. .(5)(5)还原还原: :还原到实际问题中还原到实际问题中, ,从而解决实际问题从而解决实际问题. .【变式训练变式训练】如图是抛物线形拱桥如图是抛物线形拱桥, ,当水面在当水面在l时时, ,拱顶离水面拱顶离水面2 m,2 m,水水面宽面宽4 m,4 m,水位下降水位下降1 m1 m后后, ,水面宽水面宽m.m. 【解题指南解题指南】解答本题首先建系解答本题首先建系,
22、 ,转化成抛物线的问题转化成抛物线的问题, ,再利用解抛物线的方法解决问题再利用解抛物线的方法解决问题. .【解析解析】以抛物线的顶点为原点以抛物线的顶点为原点, ,对称轴为对称轴为y y轴建立直轴建立直角坐标系角坐标系. .设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),则点则点(2,-2)(2,-2)在抛物线上在抛物线上, ,代入可得代入可得p=1,p=1,抛物线方程为抛物线方程为x x2 2=-2y.=-2y.当当y=y=-3-3时时,x,x2 2=6,=6,所以水面宽为所以水面宽为2 m.2 m.答案答案: :2 2 66【补偿训练补偿训练】一辆卡车高一
23、辆卡车高3 m,3 m,宽宽1.6 m,1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧欲通过断面为抛物线型的隧道道, ,已知拱口宽恰好是拱高的已知拱口宽恰好是拱高的4 4倍倍, ,若拱口宽为若拱口宽为a m,a m,求使求使卡车通过的卡车通过的a a的最小整数值的最小整数值. .【解析解析】以隧道顶点为原点以隧道顶点为原点, ,拱高所在直线为拱高所在直线为y y轴建立轴建立直角坐标系直角坐标系, ,则点则点B B的坐标为的坐标为 , ,如图所示如图所示. .aa,24（）设隧道所在抛物线方程为设隧道所在抛物线方程为x x2 2=my,=my,则则 =m ,=m ,所以所以m=-a.m=-a.即抛物线方程
24、为即抛物线方程为x x2 2=-ay.=-ay.将将(0.8,y)(0.8,y)代入抛物线方程代入抛物线方程, ,得得0.80.82 2=-ay,=-ay,2a2（ ）a4（）即即y=- .y=- .欲使卡车通过隧道欲使卡车通过隧道, ,应有应有y- 3,y- 3,即即 3.3.因为因为a0,a0,所以所以a12.21.a12.21.所以所以a a应取应取13.13.20.8aa4（）2a0.84a类型三焦点弦问题类型三焦点弦问题【典例典例】已知抛物线方程为已知抛物线方程为y y2 2=2px(p0),=2px(p0),过此抛物线过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于的焦点的直线与抛物线交于A,B
25、A,B两点两点, ,且且|AB|=|AB|= p,p,求求ABAB所在直线的方程所在直线的方程. .52【解题探究解题探究】本例中本例中|AB|AB|如何表示如何表示? ?提示提示: :|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p.+p.【解析解析】如图所示如图所示, ,抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线为的准线为x=- ,A(xx=- ,A(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),设设A,BA,B到准线的距离分别为到准线的距离分别为d dA A,d,dB B, ,由抛物线的定义知由抛物线的定义知, ,|AF|=d|AF|=dA A
26、=x=x1 1+ ,|BF|=d+ ,|BF|=dB B=x=x2 2+ ,+ ,于是于是|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p= p,x+p= p,x1 1+x+x2 2= p.= p.p2p2p25232当当x x1 1=x=x2 2时时,|AB|=2p p,|AB|=2p0),AB=2px(p0),AB的方的方程为程为x=my+ .x=my+ .消去消去x x得得y y2 2-2mpy-p-2mpy-p2 2=0.=0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则y y1 1y y2 2=-p=-p2 2. .又又 2p1112ppp
27、A (y )B (y )F(0)222，所以所以 =(p,-y=(p,-y1 1), =(p,-y), =(p,-y2 2),),则则 =p=p2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即A A1 1FBFB1 1=90=90. .1A F1B F11A F B F 方法二方法二: :如图所示如图所示, ,因为因为|AA|AA1 1|=|AF|,|=|AF|,|BB|BB1 1|=|BF|,|=|BF|,所以所以1=2,5=6.1=2,5=6.又因为又因为AAAA1 1BBBB1 1xx轴轴, ,所以所以1=3,6=4,1=3,6=4,所以所以2=3,4=5,2=3,4=5,所以所以2+3
28、+4+5=2(3+4)=1802+3+4+5=2(3+4)=180, ,所以所以3+4=903+4=90, ,即即A A1 1FBFB1 1=90=90. .【方法技巧方法技巧】1.1.抛物线的焦半径抛物线的焦半径定定义义抛物线的焦半径是指以抛物抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段为端点的线段. .焦焦半半径径公公式式P(xP(x0 0,y,y0 0) )为抛物线上一点为抛物线上一点,F,F为焦点为焦点. .(1)(1)若抛物线若抛物线y y2 2=2px(p0),=2px(p0),则则|PF|=x|PF|=x0 0+ ;+ ;(2)(2)若抛物
29、线若抛物线y y2 2=-2px(p0),=-2px(p0),则则|PF|= -x|PF|= -x0 0; ;(3)(3)若抛物线若抛物线x x2 2=2py(p0),=2py(p0),则则|PF|=y|PF|=y0 0+ ;+ ;(4)(4)若抛物线若抛物线x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),则则|PF|= -y|PF|= -y0 0. .p2p2p2p22.2.过焦点的弦长的求解方法过焦点的弦长的求解方法设过抛物线设过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的弦的端点为的焦点的弦的端点为A(xA(x1 1, ,y y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2
30、 2),),则则|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p,+p,然后利用弦所在直线方然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元程与抛物线方程联立、消元, ,由根与系数的关系求出由根与系数的关系求出x x1 1+x+x2 2即可即可. .【补偿训练补偿训练】ABAB是过抛物线是过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点焦点F F的一条弦的一条弦, ,且且|AF|=1,|AF|=1,|BF|=|BF|= , ,求抛物线的方程求抛物线的方程. .13【解析解析】设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|AF|=x|AF|=x1
31、1+ ,|BF|=x+ ,|BF|=x2 2+ ,+ ,则则|AF|+|BF|=x|AF|+|BF|=x1 1+x+x2 2+p= ,+p= ,所以所以x x1 1+x+x2 2= -p,= -p,因为因为|AF|BF|,|AF|BF|,p2p24343所以过焦点所以过焦点 的直线斜率存在且不为的直线斜率存在且不为0,0,则可设则可设ABAB的的方程为方程为y=k .y=k .又因为又因为A,BA,B两点是直线两点是直线ABAB与抛物线的交点与抛物线的交点, ,则则p( ,0)2p(x)22222pyk(x),2ppx(p)x0,2k4y2px所以所以x x1 1xx2 2= .= .由由|A
32、F|BF|=x|AF|BF|=x1 1xx2 2+ (x+ (x1 1+x+x2 2)+ = ,)+ = ,得得 即即 , ,所以所以p= ,p= ,抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=x.=x.2p4p22p4132pp41(p),22332p13312【延伸探究延伸探究】在本题条件不变的情况下在本题条件不变的情况下, ,求直线求直线ABAB的的方程方程. .【解析解析】设直线设直线ABAB的倾斜角为的倾斜角为, ,又根据两点间的距离公式得又根据两点间的距离公式得|AB|AB|2 2=(y=(y2 2-y-y1 1) )2 2+(x+(x2 2-x-x1 1) )2 2=(tan=(tan
33、2 2+1)(x+1)(x2 2-x-x1 1) )2 2, ,由于直线由于直线ABAB过点过点 设直线设直线ABAB的方程为的方程为y=tan y=tan , ,与抛物线方程联立与抛物线方程联立p(0)2，p(x)2得到得到:tan:tan2 2x x2 2-(tan-(tan2 2+2)px+ p+2)px+ p2 2tantan2 2=0,=0,那么那么(x(x2 2-x-x1 1) )2 2=(x=(x2 2+x+x1 1) )2 2-4x-4x1 1x x2 2 =4p=4p2 2(tan(tan2 2+1)+1) , ,那么那么|AB|AB|2 2=(tan=(tan2 2+1)(
34、x+1)(x2 2-x-x1 1) )2 2142222tan2p(p)4tan4 41tan =(tan=(tan2 2+1)+1)4p4p2 2(tan(tan2 2+1)+1) 所以所以|AB|= ,|AB|= ,由由|AB|= ,|AB|= ,得得sinsin2 2= ,= ,所以所以sin sin = = , ,所以所以=60=60或或120120, ,得得k=tan k=tan = = , ,24414p.tansin22psin 22p4sin334323所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y=y= 13(x).4类型四最值类型四最值( (范围范围) )问题问题【典例典例】1
35、.1.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,抛物线抛物线y y2 2=2x=2x的焦点的焦点为为F,F,若若M M是抛物线上的动点是抛物线上的动点, ,则则 的最大值为的最大值为.|MO|MF|2.2.已知已知P P是抛物线是抛物线y y2 2=4x=4x上任意一点上任意一点, ,点点A(a,0),A(a,0),试求当试求当|PA|PA|最小时最小时P P点的坐标点的坐标. .【解题探究解题探究】1.1.如何求典例如何求典例1 1中中 的最大值的最大值? ?|MO|MF|提示提示: :设出点设出点M M的坐标的坐标, ,建立建立 的表达式的表达式, ,借助函数知借助函数知识求最
36、值识求最值. .|MO|MF|2.2.典例典例2 2中抛物线上的点有何特点中抛物线上的点有何特点? ?提示提示: :抛物线上的点的横坐标抛物线上的点的横坐标x0.x0.【解析解析】1.1.设设M(xM(x0 0,y,y0 0),),则则y y0 02 2=2x=2x0 0, ,|MF|=x|MF|=x0 0+ =x+ =x0 0+ ,+ , 令令t= (xt= (x0 00),0),p21222220000002000 xyx2xx2x|MO|,111|MF|xx(x)22220020 x2x1(x)2 = =x x0 02 2+2x+2x0 0, ,(t-1) (t-1) x x0 02 2
37、+(t-2)x+(t-2)x0 0+ t=0,+ t=0,t=1t=1时时,x,x0 0= ,= ,t1t1时时, ,方程有解方程有解0,(t-2)0,(t-2)2 2-4(t-1)-4(t-1) t0, t0,t ,t ,201t(x)214141443所以所以t tmaxmax= = 即即x x0 0=1,=1,当当x x0 0=1=1时时, , 的最大值为的最大值为 . .答案答案: : 43max|MO|42 3(),|MF|33|MO|MF|2 332 332.2.设设P(x,y),P(x,y),则则|PA|= |PA|= 因为因为x0,aR,x0,aR,所以需分类讨论如下所以需分类
38、讨论如下: :(1)(1)当当a-20a-20即即a2a2时时,|PA|,|PA|的最小值为的最小值为|a|,|a|,此时此时P(0,0).P(0,0).222xayxa4x2xa24a4.(2)(2)当当a-20a-20即即a2a2时时, ,则则x=a-2x=a-2时时,|PA|,|PA|取得最小值为取得最小值为2 ,2 ,此时此时P(a-2,P(a-2,2 ).2 ).综上所述综上所述,|PA|,|PA|最小时最小时,P,P点的坐标为点的坐标为:a2:a2时时, ,P(0,0);a2P(0,0);a2时时,P(a-2,P(a-2,2 ).2 ).a1a2a2【方法技巧方法技巧】与抛物线有关
39、的最值问题的求解策略与抛物线有关的最值问题的求解策略与抛物线有关的最值问题与抛物线有关的最值问题, ,一般先建立某个变量的一般先建立某个变量的函数函数, ,然后转化为函数最值问题求解然后转化为函数最值问题求解. .需特别注意引入需特别注意引入参数的自带范围参数的自带范围. .【变式训练变式训练】定长为定长为3 3的线段的线段ABAB的端点的端点A,BA,B在抛物线在抛物线y y2 2=x=x上移动上移动, ,求求ABAB中点到中点到y y轴距离的最小值轴距离的最小值, ,并求出此时并求出此时ABAB中点中点M M的坐标的坐标. . 【解析解析】如图如图, ,设设F F是抛物线是抛物线y y2
40、2=x=x的焦点的焦点,A,B,A,B两点到准两点到准线的垂线分别是线的垂线分别是AC,BD,MAC,BD,M点到准线的垂线为点到准线的垂线为MN,NMN,N为垂足为垂足, ,则则|MN|= (|AC|+|BD|),|MN|= (|AC|+|BD|),根据抛物线定义得根据抛物线定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以所以|MN|= (|AF|+|BF|) |MN|= (|AF|+|BF|) 1212|AB|3.22设设M M点的横坐标为点的横坐标为x,x,则则|MN|=x+ ,|MN|=x+ ,所以所以x=|MN|- x=|MN|- 等号成立的
41、条件是弦等号成立的条件是弦ABAB过点过点F,F,由于由于|AB|2p=1,|AB|2p=1,1413154244 ，所以所以ABAB过焦点是可能的过焦点是可能的, ,此时此时M M点到点到y y轴的最短距离轴的最短距离是是 , ,即即ABAB的中点横坐标为的中点横坐标为 . .5454当当F F在在ABAB上时上时, ,设设A,BA,B的纵坐标分别为的纵坐标分别为y y1 1,y,y2 2, ,则则y y1 1y y2 2=-p=-p2 2= =- ,- ,从而从而(y(y1 1+y+y2 2) )2 2= =y y1 12 2+y+y2 22 2+2y+2y1 1y y2 2=2=2 -
42、=2, - =2,所以所以y y1 1+y+y2 2= = , ,所以所以M M点的坐标为点的坐标为 时时,M,M到到y y轴距轴距离的最小值为离的最小值为 . .145412252()42，54【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示, ,线段线段ABAB为抛物线为抛物线y=xy=x2 2上的动弦上的动弦, ,且且|AB|=a(a|AB|=a(a为为常数常数, ,且且a1),a1),求弦的中点求弦的中点M M到到x x轴的最近距离轴的最近距离. .【解析解析】如图所示如图所示, ,设点设点A,M,BA,M,B的纵坐标为的纵坐标为y y1 1,y,y2 2,y,y3 3, ,点点A,M,BA,M,
43、B在抛物线在抛物线y=xy=x2 2的准线上的射影分别为的准线上的射影分别为A,M,A,M,B,B,由抛物线的定义由抛物线的定义, ,得得|AF|=|AA|AF|=|AA|=y|=y1 1+ ,+ ,|BF|=|BB|BF|=|BB|=y|=y3 3+ ,+ ,所以所以y y1 1=|AF|- ,=|AF|- ,y y3 3=|BF|- .=|BF|- .14141414又又M M是线段是线段ABAB的中点的中点, ,所以所以y y2 2= (y= (y1 1+y+y3 3) )= (|AF|+|BF|- ) = (|AF|+|BF|- ) = (2a-1),= (2a-1),12121211
44、(AB)2214当且仅当线段当且仅当线段ABAB过焦点过焦点F F时等号成立时等号成立, ,即当定长为即当定长为a a的弦的弦ABAB过焦点过焦点F F时时, ,点点M M到到x x轴的距离最近轴的距离最近, ,最近距离为最近距离为 (2a-1).(2a-1).14【易错误区案例易错误区案例】 抛物线性质的应用抛物线性质的应用【典例典例】直线直线l过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点, ,与抛物线交于与抛物线交于A,BA,B两点两点, ,若若|AB|=8,|AB|=8,求直线求直线l的方程的方程. .【错解案例错解案例】因为抛物线因为抛物线y y2 2=4x=4x的焦点坐标为的
45、焦点坐标为(1,0), (1,0), 所以可设所求直线所以可设所求直线l的方程为的方程为y=k(x-1).y=k(x-1).由由 得得k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2=0,=0,则由根与系数的关系则由根与系数的关系, ,得得x x1 1+x+x2 2= = 2yk x1y4x,，222k4.k又又ABAB过焦点过焦点, ,由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p=+p= +2=8,+2=8,所以所以 =6,=6,解得解得k=k=1.1.所以所求直线所以所求直线l的方程为的方程为x+y-1=0 x+y-1=0
46、或或x-y-1=0.x-y-1=0.222k4k222k4k错误原因错误原因防范措施防范措施思维不严密思维不严密, ,步骤不严谨步骤不严谨设直线的斜截式方程时必须先设直线的斜截式方程时必须先考虑斜率不存在时的情况是否考虑斜率不存在时的情况是否符合题意符合题意【正解正解】因为抛物线因为抛物线y y2 2=4x=4x的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0),(1,0),若若l与与x x轴垂直轴垂直, ,则则|AB|=4,|AB|=4,不符合题意不符合题意, ,所以可设所求直线所以可设所求直线l的方程为的方程为y=k(x-1).y=k(x-1).由由 得得k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4
47、)x+k+4)x+k2 2=0,=0,则由根与系数的关系则由根与系数的关系, ,得得x x1 1+x+x2 2= = . .2yk x1y4x,，222k4k又又ABAB过焦点过焦点, ,由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p=+p= +2=8,+2=8,所以所以 =6,=6,解得解得k=k=1.1.所以所求直线所以所求直线l的方程为的方程为x+y-1=0 x+y-1=0或或x-y-1=0.x-y-1=0.222k4k222k4k【即时应用即时应用】过点过点P(0,-1)P(0,-1)的直线与抛物线的直线与抛物线x x2 2=-2y=-2y公共公共点的个数为点的个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.1D.1或或2 2【解析解析】选选D.D.由题意可知点由题意可知点P P在抛物线在抛物线x x2 2=-2y=-2y内部内部, ,当当直线为直线为y y轴时轴时, ,直线与抛物线直线与抛物线x x2 2=-2y=-2y有一个交点有一个交点, ,当过点当过点P P且直线的斜率存在时且直线的斜率存在时, ,直线与抛物线直线与抛物线x x2 2=-2y=-2y有有两个公共点两个公共点, ,故选故选D.D.