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1、精品文档 振动力学习题集（含答案）1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图 E1.1 所示。求系统的固有频率。图 E1.1 解：系统的动能为：222121x Il xmT 其中I为杆关于铰点的转动惯量：2102120131lmdxxlmxdxlmIll 则有：221221223616121xlmmxlmxmlT 系统的势能为：2121212414121 cos12cos1glxmmglxmmglxxlgmxmglU 利用xxn和UT 可得：lmmgmmn113223 m l m1 x 精品文档 1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动
2、的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。图 E1.2 解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121mRmRmRITB 222212aRkaRkU 利用n和UT 可得：mkRaRmRaRkn343422 k k A C a R 精品文档 1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图 E1.3 所示。求系统的固有频率。图 E1.3 解：系统的动能为：221JT 2k和3k相当于串联，则有：332232 ,kk 以上两式联立可得：32233232 ,kkkkkk 系统的
3、势能为：232323212332222121212121kkkkkkkkkkU 利用n和UT 可得：3232132kkJkkkkkn k1 k2 k3 J 精品文档 1.4 在图 E1.4 所示的系统中，已知bamiki ,3,2,1 和，横杆质量不计。求固有频率。图 E1.4 答案图 E1.4 解：对m进行受力分析可得：33xkmg，即33kmgx 如图可得：22221111 ,kbamgakFxkbamgbkFx mgkkbakbkabaxxaxxxx212221212110 mgkmgkkkbakbkaxxx0321222123011 则等效弹簧刚度为：2123223123212kkba
4、kkbkkakkkbake 则固有频率为：222132212321bkakkbakkmbakkkmken mgbaaF2 mg a b x1 x2 x0 x mgbabF1 k2 k1 a b k3 m 精品文档 1.7 质量1m在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量2m，如图 E1.7 所示。确定系统由此产生的自由振动。图 E1.7 答案图 E1.7 解：对1m由能量守恒可得（其中1v的方向为沿斜面向下）：211121vmghm，即ghv21 对整个系统由动量守恒可得：02111vmmvm，即ghmmmv22110 令2m引起的静变形为2x，则有：22sinkxgm，即kgmxsin
5、22 令1m+2m引起的静变形为12x，同理有：kgmmxsin2112 得：kgmxxxsin12120 则系统的自由振动可表示为：txtxxnnnsincos00 其中系统的固有频率为：21mmkn 注意到0v与x方向相反，得系统的自由振动为：x0 x2 x x12 h k m1 m2 精品文档 tvtxxnnnsincos00 1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图 E1.9 所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？图
6、 E1.9 答案图 E1.9 解：利用动量矩定理得：llcaakI，231mlI 033222kaclml，223mlkan nmlcl2322，32 1123mklacmcn aaklmg02，202kamgl 1.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于薄板的阻尼力为SvFd2，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T，在粘性流体中自由振动的周期为dT。求系数。ak lc k a c O 精品文档 图 E1.12 解：平面在液体中上下振动时：02kxxSxm 02Tmkn，dndT212 nnmSmS 22，kS
7、222 kSk2221 2020220222TTTSTmkSkTTddd 2.1 图 E2.2 所示系统中，已知m，c，1k，2k，0F和。求系统动力学方程和稳态响应。精品文档 图 E2.1 答案图 E2.1(a)答案图 E2.1(b)解：等价于分别为1x和2x的响应之和。先考虑1x，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：xcxkxccxkkxm 112121 tAcAkkxxcxm1111111cossin （1）21ccc，21kkk，mkkn21（1）的解可参照释义（2.56），为：22211111222111121cos21sinsstkAcsstkAktY （2）其中
8、：ns1，21112sstg 212122122122112121kkcckkkkcs 21212212212122112122121222 121kkccmkkkkcckkmss 故（2）为：211212212212121212112122122121111111111sincossintccmkkckAccmkktActAktx m xm xk2 xc 2 11xxk 11xxc k2 c2 k1 c1 m x1 c1 c2 k1 k2 x2 x1 m 精品文档 mkkcctgkkmkkctgsstg2121121121212111211112 11112kctg 考虑到tx2的影响，则叠
9、加后的tx为：iiiiiiiiiiiiikctgmkkcctgtccmkkckAtx12212112122212221222sin 2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图 T 2-1 所示。已知，30，m=1 kg，k=49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。图 T 2-1 答案图 T 2-1 解：0sinkxmg，1.049218.91sin0kmgxcm 70110492mknrad/s ttxxn70cos1.0cos0cm mg x0 x m k 精品文档 2.2 如图 T 2-2 所示，重物1W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W从
10、高度为h处自由下落到1W上而无弹跳。求2W下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。图 T 2-2 答案图 T 2-2 解：222221vgWhW，ghv22 动量守恒：122122vgWWvgW，ghWWWv221212 平衡位置：11kxW，kWx11 1221kxWW，kWWx2112 故：kWxxx21120 2121WWkggWWkn 故：tvtxtxtxxnnnnnnsincos sincos12000 x x0 x1 x12 平衡位置 k h W2 W1 精品文档 2.4 在图 E2.4 所示系统中，已知m，1k，2k，0F和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。图 E
11、2.4 答案图 E2.4 解：取坐标轴1x和2x，对连接点A列平衡方程：0sin012211tFxxkxk 即：tFxkxkksin022121 （1）对m列运动微分方程：1222xxkxm 即：12222xkxkxm （2）由（1），（2）消去1x得：tkkkFxkkkkxmsin2120221212 （3）故：21212kkmkkn 由（3）得：tFsin0 m 11xk 122xxk 2xm 122xxk k2 m k1 tFsin0 x1 x2 精品文档 ttkkmkFtxnnnsinsin2221202 2.5 在图 E2.3 所示系统中，已知m，c，k，0F和，且t=0 时，0 x
12、x，0vx，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。图 E2.3 解：tAtDtCetxddtcossincos0 2220211sskFA，2112sstg cos cos000AxCACxx tAtDtCetDtCetxddddtddtsincossin sincos000 dddACvDADCvxsin sin00000 求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图 E2.7 所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为tmesin2。已知偏心重W=125.5
13、 N，偏心距e=15.0 cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7 c k m tFcos0 精品文档 N/cm，测得垂直方向共振振幅cmXm07.1，远离共振时垂直振幅趋近常值cmX32.00。求支承阻尼器的阻尼比及在min300 r运行时机器的垂直振幅。图 E2.7 解：tsssMmetxsin212222，2112sstg s=1 时共振，振幅为：cmMmeX07.1211 （1）远离共振点时，振幅为：cmMmeX32.02 （2）由（2）2XmeM 由（1）15.02212112121XXXXmemeXMme min300 r，Mk0，10s 故：msssMmeX32222108.321
14、 tmesin2 221me 221me 精品文档 2.7 求图 T 2-7 中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k及3k，悬臂梁的质量忽略不计。图 T 2-7 答案图 T 2-7 解：1k和2k为串联，等效刚度为：212112kkkkk。（因为总变形为求和）12k和3k为并联（因为12k的变形等于3k的变形），则：2132312132121312123kkkkkkkkkkkkkkkk 123k和4k为串联（因为总变形为求和），故：424132312143243142141234123kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkke 故：mken 无质量 m k1 k2 k3 k4 m
15、 k1 k2 k3 k4 精品文档 2.9 如图 T 2-9 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。图 T 2-9 答案图 T 2-9 解：（1）保持水平位置：mkkn21 （2）微幅转动：mgkkllklklmgkkllkl lklllklmgkkllklkllllkllmglmgklllkllllllkllmgllllxxkFxxx2122122212121221221121212221212211211121212
16、122211211121221112111 故：mglllF2112mg l1 l2 x1 x2 x x mglllF2121k2 k1 m l1 l2 精品文档 22212121221klklkkllke mken 2.10 求图 T 2-10 所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。图 T 2-10 答案图 T 2-10 解：m的位置：AAxkmgxxx22 aFmgl1，amglF 1，11akmglx laxxA1，1221kamglxlaxA mgkkaklkamgkalkkamglkmgxxxA2122212122212222 1 2212212klkakkake，mken 2.
17、11 图 T 2-11 所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚F1 mg x1 xA k1 k2 m a l 精品文档 度为2k。（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质量m为 0.9 kg 时，测得频率 nf为 1.5 Hz，m为 1.8 kg 时，测得频率为 0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？图 T 2-1 答案图 T 2-11(1)答案图 T 2-11(2)解：（1）2222121mlIT 222222212121 cos121212mglkamglkamglakU 利用maxmaxUT，maxmaxn 122222mglk
18、alglgmlkamlmglkan-（2）若取下面为平衡位置，求解如下：2222121mlIT mglmglkamglmglkamglkamglakU222222222212121 2sin2121cos21212 0UTdtd，02222 mglkaml 022mglkaml 零平衡位置 cosl 零平衡位置 a l m k/2 k/2 精品文档 22mlmglkan 2.17 图 T 2-17 所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？图 T 2-17 解：kkkkkkkk
19、kkkkkkkk213224123412312342312311233223（1）01234xkmg，kmgx20（2）txtxncos0，kmgxx420max 2.19 如图 T 2-19 所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。k1 k2 k3 k4 m 精品文档 图 T 2-19 解：系统动能为：22222122222222121 2321 2121212121xmxmRImrxrmxmRxIxmTe 系统动能为：2222211222112221 21 2121xkxRRkkxRRkxkV
20、e 根据：maxmaxVT，maxmaxxxn 2221222112223mRImRRkkn 2.20 如图 T 2-20 所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。m1 m2 I R2 R1 k2 k1 r x 精品文档 图 T 2-20 解：系统动能为：22221022212021 212121lmamIlmamIT 系统动能为：223222123222121 212121bklkakbklkakV 根据：maxmaxVT，maxmaxn 222102322212lmamIbklkakn 2.24 一长度为l、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图 T
21、2-24 所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。图 T 2-24 答案图 T 2-24 ak lc k a l c O k3 k2 m2 m1 k1 a b l 精品文档 解：利用动量矩方程，有：llcaakJ，231mlJ 033222kaclml 223mlkan nmlcl2322，1 323323222mklamlkammcn 2.25 图 T 2-25 所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。图 T 2-25 答案图 T 2-25 解：0bbkaacllm 0222kbcaml mklbmlkbn22 nmlca222
22、，kmmlbcamlcan22222 42222222422421411acbkmlmlkmblmacmklbnd a b l bk ac lm k a l b c m 精品文档 由mkablc221 2.26 图 T 2-26 所示的系统中，m=1 kg，k=144 N/m，c=48 Ns/m，l1=l=0.49 m，l2=0.5 l，l3=0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n及阻尼。图 T 2-26 答案图 T 2-25 解：受力如答案图 T 2-26。对O点取力矩平衡，有：0223311llkllcllm 0222321klclml 041161kcm 36412mkn sra
23、dn/6 nmc2161 m O 2lk 1lm 3lc l1 m k c l2 l3 精品文档 25.02116nmc 4.7 两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图 E4.7 所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。图 E4.7 答案图 E4.7(1)解：ly111sin，lyy1222sin，ly233sin 根据1m和2m的自由体动力平衡关系，有：1212121112sinsinyylFlyyFlyFFFym 2121232222sinsinyylFlyFlyyFFFym 故：021
24、2121211200yylFyymm 当1m=2m时，令：tYysin11，tYysin22，Fml2 代入矩阵方程，有：0212112YY 0311221122 3,12,1 F F F y1 y2 F F 1 2 3 m m l l l 精品文档 mlFmlF121，mlFmlF3222 根据0221YY得：1211121YY，1212221YY 第一振型 第二振型 答案图 E4.7(2)4.11 多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态ix和jx及自然数n证明：01jTiMxMKx，01jTiKxKMx 解：jjjMxKx2，等号两边左乘1KM jjjjjKxMxKMKx
25、KM2121，等号两边左乘Tix 021jTijjTiKxxxKKMx，当ji 时 重复两次：jjjKxKxKM21，等号两边再左乘1KM jjjxKKMKxKMKM1211，等号两边左乘Tix 01221jTijjTixKKMxKxKMx，当ji 时 重复n次得到：01jnTiKxKMx jjjMxKx2，等号两边左乘1MK jjjMxMKKxMK121 1.0-1.0 1.0 1.0 精品文档 故：jjjMxMKMx12，等号两边左乘Tix 012jTijjTixMMKxMxx，当ji 时 即0jTiMxx，当ji 时 重复运算：jjjMxMKMxMK2121 02121jTijjTiMx
26、MKxMxMKx，当ji 时 重复n次。2.10 图 T 4-11 所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。图 T 4-11 解：先求刚度矩阵。令1，0 x，得：22212111akbkaakbbkk akk221 令0，1x，得：akk212 222kk 答 k1 k2 m1 b a m2 k21 m2 m1 k11 bk1 ak2 x 答案图 T 4-11(1)k22 m2 m1 k12 12k 答案图 T 4-11(2)精品文档 则刚度矩阵为：2222221kakakakbkK 再求质量矩阵。令1，0 x ，得：211131amm，021m 令0，1x ，得：012m，222mm
27、则质量矩阵为：2210031mamM 故频率方程为：02MK 5.1 质量m、长l、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为 3.515(EI/ml3)1/2，在梁自由端放置集中质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。解：31515.3mlEI，3123lmEI 3355.1211113222121mmEIl lmmEIl11355.123088.6 5.2 不计质量的梁上有三个集中质量，如图 E5.2 所示。用邓克利法计算横向振动的基频。l/4 l/4 l/4 l/4 m m 3m m21 m2 m1 m11 答案图 T 4-11(3)精品文档 图 E5.2 解：当系统中三个集中质量分别单独存在时：E
28、Ilf124/9311，EIlf124/16322，EIlf124/9333 EImlmfmfmf1921331111333221123222121 lEIl843.31 5.3 在图 E5.3 所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。图 E5.3 解：近似选取假设模态为：T5.25.11 系统的质量阵和刚度阵分别为：mmmdiag2M，kkkkkkkK032023 由瑞利商公式：2175.115.2mkRTTMK mk461.01 k 2k m k 2m m 精品文档 5.9 在图 E5.9 所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。图 E5.9 解：两端边界条件
29、为：固定端：1000RRTX，自由端：0122RRTX。kJkkJJkRR2220111110111XSX kJkJkJkJkkJkkJJkRR22222222122121221121211XSX 由自由端边界条件得频率方程：01212222kJkJkJ Jk765.01，Jk848.12 代入各单元状态变量的第一元素，即：222121kJkk 得到模态：T414.11)1(，T414.11)2(k k J J/2 1 2(1)(2)精品文档 5.10 在图 E5.10 所示系统中，已知GIpi(i=1,2)，li(i=1,2)和Ji(i=1,2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。图 E
30、5.10 解：两自由端的边界条件为：0111LLTX，0122RRTX。1212111101101JJLPRXSX 12112121115.15.1111011JkJJkRFLRXSXX 221222141214212112121122222225.12211111JJkJJkJJkJkJJkJkJJkRRXSX 其中：111lGIkp，222lGIkp。由自由端边界条件得频率方程：0221222141214JJkJJkJJ01，12212121212lIlIJJJJIGIpppp 代入各单元状态变量的第一元素，即：2121122111kJkJ 得到模态：J1 GIp1 J2 l1 l2 GI
31、p2 精品文档 T11)1(，TJJ21)2(1 5.11 在图 E5.11 所示系统中悬臂梁质量不计，m、l和EI已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图 E5.11 解：引入无量纲量：lyy，EIMlM，EIlFFSS2，EIml23 定义无量纲的状态变量：TSFMyX 边界条件：左端固结：TSRFM000X，右端自由：TRy001X 根据传递矩阵法，有：RFPR0111XSSX 其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：1000100001000011PS，10001100211106121111FS 得：0161210SSFMFM 利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：0131161
32、2111 m EI l(1)(0)精品文档 3 mlEIl31 5.12 在图 E5.12 所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k=6EI/l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图 E5.12 解：引入无量纲量：lyy，EIMlM，EIlFFSS2，EIml23 定义无量纲的状态变量：TSFMyX 边界条件：左端铰支：TSRF000X，右端自由：TRy001X 根据传递矩阵法，有：SSSSRRFLFFFF216110001100211106121110015.0XXSX 在支承弹簧处：TSSSSRFFFF21615.0X k l EI m l(1)(0.5)(0)精品文档
33、RRR5.05.01116121110021110612111XXSX 202SSSSFFFF 注意到上式中为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：EIlFlyS63 因此有：23662lEIFFlEIlkyFSSS 62EIlFFSS 432SSFF mlEIl321 6.3 图 E6.3 所示阶梯杆系统中已知m，S，E和k。求纵向振动的频率方程。图 E6.3 解：模态函数的一般形式为：axCaxCxcossin21 题设边界条件为：0,0tu，tlkuttlumxtluES,22 k m ES 精品文档 边界条件可化作：00，lklmlES2 导出C2=0 及频率方程：kmaESal2ta
34、n，其中Ea 6.4 长为l、密度为、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图 E6.4 所示。求系统扭振的频率方程。图 E6.4 解：模态函数的一般形式为：axCaxCxcossin21 题设边界条件为：22,0,0ttJxtGIp，tlkxtlGIp,边界条件可化作：002JGIp，lklGIp 以上两式联立消去C1和C2得频率方程：kJaIGJkaGIalpp2222tan，其中Ga 6.5 长为l、单位长度质量为l的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图 E6.5 所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡位置在y=0 处。弦线微幅振动，弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。G,Ip k l 精品文档 图 E6.5 解：模态函数的一般形式为：axCaxCxcossin21 题设边界条件为：0,0ty，tlkyttlymxtlyF,22 边界条件可化作：00，lklmlF2 导出C2=0 及频率方程：kmaFal2tan，其中lFa k m l,l x y