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1、平面解析几何直线与圆的位置关系 一、选择题 1已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是()A(2 2，2 2)B(2，2)C(24，24)D(18，18)答案 C 解析 设 l 的方程 yk(x2)，即 kxy2k0.圆心为(1,0)由已知有|k2k|k211，24k24.2直线 xsinycos2sin 与圆(x1)2y24 的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 答案 B 解析 圆心到直线的距离 d|sin2sin|sin2cos22.所以直线与圆相切 3平移直线 xy10 使其与圆(x2)2(y1)21 相切，则平
2、移的最短距离为()A.21 B2 2 C.2 D.21 与 21 答案 A 解析 如图，圆心(2,1)到直线 l0：xy10 的距离 d|211|2 2，圆的半径为 1，故直线 l0与 l1的距离为21，平移的最短距离为21，故选 A.4已知圆 O1：(xa)2(yb)24；O2：(xa1)2(yb2)21(a，bR)，那么两圆的位置关系是()A内含 B内切 C相交 D外切 答案 C 解析 由两圆方程易知其圆心坐标分别为 O1(a，b)、O2(a1，b2)，经计算得：O1O2 5，由于 Rr1O1O2 5Rr3，故两圆相交 5函数 yf(x)的图象是圆心在原点的单位圆在、象限内的两段圆孤，如图
3、，则不等式 f(x)213，两圆相离 把所给的轨迹方程化简得 4x3y70 显然线段 O1O2的中点不在直线 4x3y70 上，排除 A、C，由计算知，到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线 4x3y70.8已知圆 C：x2y21，点 A(2,0)及点 B(2，a)，从 A 点观察 B 点，要使视线不被圆 C 挡住，则 a 的取值范围是()A(，1)(1，)B(，2)(2，)C(，433)(433，)D(，4)(4，)答案 C 解析 解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决 过 A、B 两点的直线方程为 ya4xa2，即 ax4y2a0，则 d|2a|a2161，
4、化简后，得 3a216，解得 a4 33.再进一步判断便可得到正确答案为 C.解法二：设 AB1直线方程为 ykx2x2y21(1k2)x24k2x4k210，0，k33，直线 AB1方程为 y33(x2)，直线 AB2方程为 y33(x2)，可得 B1(2，4 33)，B2(2，4 33)，要使从 A 看 B 不被圆挡住，B 纵坐标即实数 a 的取值范围为(，4 33)(4 33，)9若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是()A(4,6)B4,6)C(4,6 D4,6 答案 A 二、填空题 10已知直线 xya 与圆 x2y
5、24 交于 A，B 两点，且|OAOB|OAOB|(其中 O 为坐标原点)，则实数 a 等于_ 答案 2 解析 由|OAOB|OAOB|知 OAOB，所以由题意可得|a|2 2，所以a2.11过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x2)2y29 分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线 l 的方程为_ 答案 x2y30 解析 设圆心为 N(2,0)，由圆的性质得直线 lMN 时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线 l 的方程为 x2y30.12(2010江西卷，理)直线 ykx3 与圆(x3)2(y2)24 相交于 M，N两点，若|MN|2 3，则 k 的取值范围是_ 答案 34，0 解析 如图，记题中圆
6、的圆心为 C(3,2)，作 CDMN 于 D，则|CD|3k1|1k2，于是有|MN|2|MD|2|CM|2|CD|2249k26k11k223，即 49k26k11k23，解得34k0.13若直线yxb 与曲线 x 1y2恰有一个公共点，则 b 取值范围是_ 答案 1b1 或 b 2 解析 x1y2x2y21(x0)方程 x2y21(x0)所表示的曲线为半圆(如图)当直线与圆相切时或在 l2与 l3之间时，适合题意 三、解答题 14已知圆 C：x2y22x4y30.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程 解析 切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜率是1
7、.设切线方程为 yxb 或 yxc，分别代入圆 C 的方程得 2x22(b3)x(b24b3)0 或 2x22(c1)x(c24c3)0，由于相切，则方程有等根，即 b3 或 b1，c5 或 c1.故所求切线方程为：xy30，xy10，xy50，xy10.15(2011北京海淀区期末)已知圆 C 经过点 A(2,0)，B(0,2)，且圆心 C 在直线 yx 上，又直线 l：ykx1 与圆 C 相交于 P、Q 两点(1)求圆 C 的方程；(2)若OPOQ2，求实数 k 的值；(3)过点(0,1)作直线 l1与 l 垂直，且直线 l1与圆 C 交于 M、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值 解
8、 设圆心 C(a，a)，半径为 r.因为圆 C 经过点 A(2,0)，B(0,2)，所以|AC|BC|r，易得 a0，r2，所以圆 C 的方程是 x2y24.(2)因为OPOQ22cosOP，OQ2，且OP与OQ的夹角为POQ，所以 cosPOQ12，POQ120，所以圆心到直线 l：kxy10 的距离 d1，又 d1k21，所以 k0.(3)设圆心 O 到直线 l，l1的距离分别为 d，d1，四边形 PMQN 的面积为 S.因为直线 l，l1都经过点(0,1)，且 ll1，根据勾股定理，有 d21d21.又易知|PQ|24d2，|MN|24d21，所以 S12|PQ|MN|，即 S1224d224d212164d21d2d21d2212d21d22 12d21d2222 12147，当且仅当 d1d 时，等号成立，所以 S 的最大值为 7.