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1、 平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=x+x,y+y.a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：a+b+c=a+b+c.2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0.0 的反向量为 0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=x,y b=x,y 则 a-b=x-x,y-y.4、数乘向量 实数和向量 a 的乘积是一个向量,记作a,且a=a.当0 时,a 与 a 同方向；当0 时,a 与 a 反方向；当=0 时,a=0,方向任意.当 a=0 时,对于任意实数,都有
2、a=0.注：按定义知,如果a=0,那么=0 或 a=0.实数叫做向量 a 的系数,乘数向量a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩.当1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向0 或反方向0 上伸长为原来的倍；当1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向0 或反方向0 上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：ab=ab=ab.向量对于数的分配律第一分配律：+a=a+a.数对于向量的分配律第二分配律：a+b=a+b.数乘向量的消去律：如果实数0 且a=b,那么 a=b.如果 a0 且a=a,那么=.3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b.作 OA=a,OB
3、=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作 ab.若 a、b 不共线,则 ab=|a|b|cosa,b；若 a、b 共线,则 ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba 交换律；ab=ab 关于数乘法的结合律；a+bc=ac+bc 分配律；向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab=ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：abcabc；例如：ab2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=
4、ac a0,推不出 b=c.3、|ab|a|b|4、由|a|=|b|,推不出 a=b 或 a=-b.4、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积外积、叉积是一个向量,记作 ab.若 a、b 不共线,则 ab 的模是：ab=|a|b|sina,b；ab 的方向是：垂直于 a和 b,且 a、b 和 ab 按这个次序构成右手系.若 a、b 共线,则 ab=0.向量的向量积性质：ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律 ab=-ba；ab=ab=ab；a+bc=ac+bc.注：向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的.向量的三角形不
5、等式 1、a-ba+ba+b；当且仅当 a、b 反向时,左边取等号；当且仅当 a、b 同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b.当且仅当 a、b 同向时,左边取等号；当且仅当 a、b 反向时,右边取等号.定比分点 定比分点公式向量 P1P=向量 PP2 设 P1、P2 是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点.则存在一个实数,使 向量 P1P=向量 PP2,叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比.若 P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则有 OP=OP1+OP21+；定比分点向量公式 x=x1+x2/1+,y=y1+y2/1+.定比分点坐标公式 我们把上面的式子
6、叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC=OA+OB,且+=1,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中,若 GA+GB+GC=O,则 G 为ABC 的重心 向量共线的重要条件 若 b0,则 a/b 的重要条件是存在唯一实数,使 a=b.a/b 的重要条件是 xy-xy=0.零向量 0 平行于任何向量.向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0.ab 的充要条件是 xx+yy=0.零向量 0 垂直于任何向量.1、线性运算 a+b=b+a a+b+c=a+b+c a=a.+a=a+a.ab=ab a,b 共线b=a 2、坐标运算,其中 ax1,y1,b
7、x2,y2 a+b=x1+x2,y1+y2 a-b=x1-x2,y1-y2 a=x1,y1 点 Aa,b,点 Bc,d,则向量 AB=c-a,b-d 点 Aa,b,点 Bc,d,则向量 BA=a-c,b-d 3、数量积运算 ab=abcos ab=ba 交换律 ab=ab=a b 结合律,注意向量间无结合律 abc=acbc 分配律 若 ab-c=0,则 b=c 或 a 垂直于 b-c ab2=a22ab+b2 a+ba-b=a2-b2 ax1,y1,bx2,y2,则 ab=x1x2+y1y2,a2=x2+y2,a=x2+y2 a 垂直于 bx1x2+y1y2=0；一般地,a 与 b 夹角满足如下条件：cos=ab/ab=x1x2+y1y2/x12+y12x22+y22