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1、 第四讲 绝对值和相反数提升【课程解读】初中课程解读 初中课程 1.掌握互为相反数的两个数的绝对值的关系；2.会用绝对值比较两个负数的大小；3.经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的联系；【知识衔接】初中知识与典例链接 1.数 a 的绝对值的意义 几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离 数 a 的绝对值记作|a|强调：表示 0 的点与原点的距离是 0，所以|0|0表示“距离”的数是非负数，所以绝对值是一个非负数 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值还是 0指出：绝对值的代数定义可以作为求一个数的绝对值的方法【典例分析
2、】例 1：已知数轴上的两点 A、B 分别表示有理数 a，1，那么 A、B 两点之间的距离是（）A.a（1）B.1a C.1a D.1a【答案】C【解析】数轴上两个点的距离等于右侧点所对应的数减去左侧点所对应的数，本题两个点的左右不知道，所以可以用一个点所对应的数减去另一个点多对应的数，然后在结果上加绝对值 思路点拨：距离是一个非负数，所以两个点已知左右的时候，有右侧的点减去左侧的点，因为数轴上右侧的点大于左侧的点；若两个点不知道左右的时候，可以用一个点减去另一个点，然后在结果上加绝对值，注意要带符号计算 例 2：若032yx，则 2xy1 。【答案】13【解析】因为绝对值是非负数，所以绝对值的
3、最小值是 0，因为032yx所以2x0，2y0，则 x2，y3，所以 2xy113 例 3：绝对值是3.1 的数是_；绝对值小于 4 的整数是_；绝对值不大于 3 的整数是_；绝对值不大于 5 的非正整数是_；【答案】3.1；3、2、1、0；3、2、1、0；5、4、3、2、1、0；【解析】已知一个数的绝对值，注意要两个答案；区分小于、不大于；区分非正整数、非负整数 例 4：若x5，则 x_ ；若x7，则 x_；【答案】5；7【解析】已知一个数的绝对值，注意要两个答案 2.数 a 的绝对值的表示 _(0)_(0)_(0)aaaa 总结：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；
4、0 的绝对值是 0.注：绝对值等于 0 的数只有一个，就是 0；绝对值等于一个正数的数有两个，他们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等，即丨a丨=丨-a丨；若丨a丨=丨 b 丨，则a=b 或a=-b（a与 b 互为相反数）。【典例分析】例 1：一个数的绝对值是它本身，这个数是 ()A正数 B0 C非负数 D非正数【答案】C【解析】一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值是 0.例 2：一个数的绝对值是它的相反数，这个数是 ()A负数 B0 C非负数 D非正数【答案】D【解析】一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值是 0.例
5、 3：绝对值是 4 的数有_个，是_；绝对值是 0 的数有_个，是_有没有绝对值是1 的数?【答案】2、4；1、0；没有【解析】已知一个数的绝对值，注意要两个答案；0 的绝对值只有 0，任意有理数的绝对值都是非负数 例 4：化简 3；)5.7(；)7(【答案】3；7.5；7【解析】本题先求绝对值部分，任意非零的数的绝对值都是正数，不管绝对值中有几个负号，最后都是正的，然后再看绝对值外面的符号，负就是负，正就是正。3、比较有理数大小法则（1）首先化简所需要比较的数 根据正数大于负数和 0，负数小于正数和 0 的法则（2）当两个数同正或同负时 同正两数比较大小，绝对值大的那个数大；同负两数比较大小
6、，绝对值大的那个数反而小；【典例分析】例 1：比较9.5 与1.75 的大小【答案】9.51.75【解析】两个有理数比较大小，先看符号，如果异号，正数大于零大于负数，如果同正，则绝对值大的那个数大，如果同负，则绝对值大的那个数反而小。例 2：比较下面有理数的大小（1）0.7 与1.7 （2）43与54 （3）113与 0.273 （4）5 与 0【答案】（1）0.71.7 （2）4354 （3）1130.273 （4）50【解析】两个有理数比较大小，先看符号，如果异号，正数大于零大于负数，如果同正，则绝对值大的那个数大，如果同负，则绝对值大的那个数反而小。初中重难点专项链接 1.若|x|=3，
7、|y|=2，且 xy，则 xy 的值为 。【答案】1 或 5【解析】|x|3，x3，|y|=2，y2，xy，x3，y2 或 x3，y2，xy321 或 xy3（2）5 2.绝对值等于本身的数是 相反数等于本身的数是 ，绝对值最小的负整数是 ，绝对值最小的有理数是 的绝对值比它本身大，的相反数比它本身小【答案】非负数、0；1、0；负数、正数；【解析】一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值是 0；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0.3.化简4 ，3 。【答案】4；3【解析】先判断绝对值中的数的符号，是正，则直接去绝对值；若绝对值中的数为负，
8、则取相反数 4.已知丨a丨=丨 b 丨，则 a 和 b 的关系为 。【答案】相等或互为相反数【解析】绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数 5.如图，数轴上有四个点 A、B、C、D，分别表示有理数 a、b、c、d，请用“”号连接 a、b、c、d、a、b、c、d。【答案】adcbbcda【解析】如图所示画出所有数在数轴上对应的点，然后从左到右依次排序 6.（1）a、b、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则ccbbaa 。（2）已知 a、b、c 为不等于 0 的有理数，则ccbbaa的值可能是 。（3）已知4a8b=0，则abba的值。【答案】（1）1；（2）3，1；（3）83；【解析】（1
9、）aa，所以aaaa1，bb，所以bbbb1，cc，所以cccc1，所以原式1111；a 0 c b 0 c b d a A B C D 0 A B C D a bc b d a c d （2）当 a0，b0，c0（三个都为正数），则原式1113 当 a0，b0，c0（两正一负），则原式1111 当 a0，b0，c0（两负一正），则原式1111 当 a0，b0，c0（三个都为负），则原式1113 综上，答案可能为3，1（3）因为绝对值是非负数，所以绝对值的最小值是 0，因为084ba所以4a0，8b0，则 a4，b8，所以abba848483 7.数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值 数
10、轴上表示3 和9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和8 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 x 和2 的两点 A 和 B 之间的距离是 ；如果|AB|=4，那么 x 为 ；当代数式|x+1|+|x2|+|x3|取最小值时，相应的 x 的值是 【答案】6,10；x2或2x，-6 或 2；2【解析】法一：通过数轴；法二：（-3）（-9）6；2（-8）10 两点之间的距离，等于两点所对应的数的差的绝对值，已知到一个点的距离时，注意答案有两个 ba的几何意义是 a 与 b 两个数对应的点的距离，所以1x代表的是 x 与1 的距离，2-x代表的是x 与 2 的距离，3-x代表的是 x 与 3 的距离
11、，所以原式的最小值就是 x 取中间点的时候，即 x 等于 2 时，原式取最小。8.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 （1）表示3 和 2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于nm如果32 a，那么 a=（2）若数轴上表示数 a 的点位于4 与 2 之间，则24aa的值为 ；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得52xx7，这些点表示的数的和是 （4）当 a=时，413aaa的值最小，最小值是 .【答案】（1）5，5 或 1；（2）6；（3）1,7【解析】（1）2（3）5，2a代表的是 a 到2 的
12、距离，由题可知，到2 的距离是 3 的点有两个，一个5，一个 1；（2）2（4）6；（3）ba的几何意义是 a 与 b 两个数对应的点的距离，所以3a代表的是 a 与3 的距离，1-a代表的是 a 与 1 的距离，4-a代表的是 a 与 4 的距离，所以原式的最小值就是 a 取中间点的时候，即 a 等于 1时，原式取最小。【经典题型】初中经典题型 1.在2，2，2，21，2，21中，负数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】22，为负；22，为正；22，为负；2121，为正；22，为正；2121，为负；综上，共有负数 3 个，故选 C 2下列说法：有理数的绝对值一定是正
13、数；一个数的绝对值的相反数一定是负数；互为相反数的两 个数，必然一个是正数，一个是负数；互为相反数的绝对值相等；的相反数是314；任何一个数都有它的相反数其中正确的个数有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】C【解析】0 的绝对值为 0，不是正数，错误；0 的绝对值的相反数还是 0，不是负数，错误；0 的相反数是 0,0 既不是正数也不是负数，错误；正确；的相反数是，错误；正确；综上，正确的有 2个，故选 C 3若aa，则 a 是 （）A0 B正数 C负数 D负数或 0【答案】D【解析】由题可知，等式的意思就是一个数的绝对值是其相反数，则这个数是非正数，故选 D 4 下列说法:如果
14、 a=13，那么a=13，如果 a=1，那么a=1，如果 a 是非负数，那么a 是正数，如果 a 是负数，那么a+1 是正数，其中正确的是 （）A B C D【答案】D【解析】正确；a1，则a（1）1，错误；当 a0 时，则a0,0 不是正数，错误；正确，所以正确的是，故选 D 5 一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会有相应的变化若点 A 先从原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，这时该点所对应的数的相反数是（）A2 B2 C8 D8【答案】A【解析】移动后的 A 对应的数是2，它的相反数是 2，故选 A 6已知2a，5b，求a、b的值。【答案】5b2a，5b2
15、a，5b2a，5b2a【解析】因为2a，a2，因为5b，所以 b5，所以5b2a，5b2a，5b2a，5b2a，真题再现 1.（2019江苏江阴第一次月考）下列比较大小正确的是（）A.2121 B.3282110 C.327327 D.5465【答案】D【解析】A.（21）21，（21）21，2121 所以应该是（21）（21），A 错误 B.21102110，2110328，所以应该是2110328，B 错误 C.327327，（327）327，所以327（327），C 错误 D.正确，故选 D 2.（2019江苏江阴第一次月考）对于任意有理数 a，下列结论正确的是（）A.a是正数 B.a
16、是负数 C.a是负数 D.a不一定是负数【答案】D【解析】A 当 a0 时，a0，错误；B 当 a 是负数时，a 是正数，错误；C 当 a 0 时，a0,0 不是负数，错误；D 正确 3.（2019江苏江阴第一次月考）已知 a 是任意有理数，则aa 的值是（）A.必大于零 B.必小于零 C.必不大于零 D.必不小于零【答案】D 【解析】aa，一个数的绝对值大于等于本身，所以aa0，即原式答案是个非负数，故选 D 4.（2019江苏南通第一次月考）如果aa，下列各式成立的是（）A.a0 B.a0 C.a0 D.a0【答案】C【解析】因为aa，可知一个数的绝对值是本身，则这个数是非负数，所以 a0
17、，故选 C 5.（2019江苏南通第一次月考）若 ab0，则bbaa的值不可能是（）A.0 B.1 C.2 D.2【答案】B【解析】当 a0，b0，则原式112,；当 a0，b0，则原式110；当 a0，b0，则原式110；当 a0，b0，则原式112；所以答案可能是2 和 0，没有 1，故选 B 6.（2019江苏江阴第一次月考）（3）的相反数是 。【答案】3【解析】（3）-3，3 的相反数是 3 7.（2019江苏江阴第一次月考）若a4，则 a ；若xx，则 x 。【答案】4；0【解析】a4，则a4，所以 a 4；xx 指的是一个数的相反数是本身，只有 0 的相反数是本身，则 x0，8.（2019江苏南通第一次月考）当 x 时，325x有最大值。【答案】23 【解析】325x的最大值，则减号后面数要越小越好，因为32 x0，所以32 x最小为 0，则325x最大就是 505，此时32 x0，即 x23