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1、 第三讲 数轴、绝对值和相反数【课程解读】初中课程解读 初中课程 1.理解数轴的概念，能正确画出数轴；2.会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上已知点所表示的有理数；会用数轴比较有理数的大小；3.能正确说出一个数的绝对值和相反数的意义；会求一个已知数的绝对值和相反数；【知识衔接】初中知识与典例链接 一、数轴 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴原点，正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可 注：数轴的特征：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，三者缺一不可；同一数轴中的单位长度要一致 2、数轴的画法：画一条直线在直线上选取一点为原点，并用这点表
2、示零确定正方向，用箭头表示出来选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为 1,2,3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，【典例分析】例 1.下列所画的数轴中，正确的是（）【答案】D 【解析】根据数轴的定义，数轴需要原点、正方向和单位长度，所以 A 选项缺少原点，错误；B 选项没有规定正方向，错误；C 选项的单位长度不相等，错误，所以 D 正确 思路点拨：牢记数轴的三要素以及上面归纳的数轴的特征：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，三者缺一不可；同一数轴中的单位长度要一致 另外，此题要注意 D 选项中，
3、有些题目会将数轴上的2 与1 进行交换，那么就错了，该问题容易被学生忽视，注意数轴标数时，从原点向左，从每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，例 2：下列图形是数轴的是（）【答案】B【解析】根据数轴的定义，数轴需要原点、正方向和单位长度，所以 A 选项中1，2，3，应该从原点向左，一次标注，错误；B 选项正确；C 选项没有单位长度，错误；D 选项，有原点，正方向，单位长度，但单位长度不一样长，所以错误；故选 B 3、数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上任意一点都表示有理数或无理数.即数轴上的点和有理数、无理数之间存在一一对应关系.注：所
4、有的有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示 0.【典例分析】例 1：画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点 2，-3，211-，0，6.5，5，313【答案】【解析】画数轴时，注意数轴的三要素，不要缺漏 例 2：如图，指出数轴上的点 A，B，C 所表示的数.【答案】A:212；B：0；C：4 4、利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0,；正数大于一切负数
5、 注：根据数轴上表示数的点的位置可以直观形象地比较数的大小：在数轴上越靠右的点表示的数越大，这是有理数比较大小的原则.【典例分析】例 1：在数轴上画出表示下列各数的点，并用号连接 2，-3，211-，0，6.5，5，313【答案】3211-02 31356.5 【解析】先画数轴，再标点，最后依次从左到右排序就行 思路点拨：在数轴上，左边的数小于右边的点，所以从左到右依次排序即可 看清题目要求，用“”连接还是“”连接 例 2：数轴上表示+4 的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度；数轴上表示-4 的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度；数轴上表示到原点距离是 3 个单位长度的点所表示
6、的数是 。数轴上表示 2 与 3 的两个点之间的距离是 个单位长度；0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7-3 211-2 0 6.5 313 5 0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7-3 211-2 0 6.5 313 5 数轴上表示-2 与-5 的两个点之间的距离是 个单位长度；数轴上表示-1 与 4 的两个点之间的距离是 个单位长度；与表示 2 的点相距 3 个单位长度的点所表示的数是 。【答案】右，4；左，4；3 和3；1；3；5；5 或1【解析】正数在数轴的右侧，负数在数轴的左侧；两数之间的距离，先画出数轴，再标上数对应的点，最后计算两点之间的距离 5、绝对值 一个
7、数的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作a，读作a的绝对值 注：因为距离不可能为负数，所以一个数的绝对值也不可能为负0 到原点的距离就是 0 即：任何一个数的绝对值均大于或等于 0（即非负数）绝对值用符号“”表示，我们将数 a 的绝对值记为a【典例分析】例 1：数轴上，表示3 的点与原点的距离是 ，因此3 的绝对值是 ；表示 2 的点与原点的距离是 ，因此 2 的绝对值是 ；表示 0 的点与原点的距离是 ，因此 0 的绝对值是 【答案】3；3；2；2；0；0.【解析】根据概念求解，绝对值就是该数在数轴上所对应的点到原点的距离。例 2：口答：说出数轴上点 A，B，C，D，E
8、所表示的数的绝对值 【答案】A5；B213；C1；D212；E5;F0 6、相反数 从代数角度看，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.从几何角度看，在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数称为相反数 7、判断互为相反数的两种方法：从式子上看，若0ab，则ab与互为相反数；从直观上看aa与是互为相反数【典例分析】例 1：（1）-2 是 的相反数，的相反数是 4.5;（2）2与 互为相反数；0 1 2 4 3-3 6 5-1-2-4-5-6 A E D C B F （3）如果5a，那么a-=.【答案】（1）2；4.5；（2）2；（3）5 8、倒数：乘积为 1 的两个有理数互为倒数
9、 注意：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数，整数的倒数是分数 初中重难点专项链接 一.距离类问题答题技巧：数轴上求两点间距离，用右侧的点所对应的数减去左侧的点对应的数，差为两点之间的距离；（右侧的点大于左侧的点）已知到某点的距离，求满足条件的点所对应的数，注意有两种情况，找到起始点所对应的数，然后分别向左向右数要求的单位长度，得到两个数，即为所求；保证做题的正确率，要画数轴进行解答。1数轴上表示2 与表示 5 的两点间的距离是_ 2数轴上点 A 表示 3，那么到点 A 的距离是 5 个单位长的点表示的数是_ 3如图，点 A 与点 B 的距离是 3 个单位长度的木条，当木条左端 A
10、 点落在4 与3 之间，B 点落在哪两个整数之间。【答案】1.7;2.8 或 2；3.1 和 0 之间【解析】1.如图所示，2 和 5 之间的距离是 7 个单位长度 2.如图所示，在数轴上先标出3，再向左 5 个单位长度得到8，再从3 向右 5 个单位长度得到 2 3.如图所示，将木条移动到4 和3 之间 3 2 5-6-7-8-9 4 3 2 1 0 1 2 8 5 2 0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 A B 4在数轴上，到原点的距离为 5 个单位长度的点有 个，它们表示的数是 【答案】2；5 或5【解析】如图所示，原点即为 0
11、，距离原点 5 个单位长度的往左往右分别数 5 个单位长度得到5 二.多重复号的化简：多重符号的化简结果由“-”的个数决定，有如下规定：把所有的正号去掉；负号的个数是偶数的结果为正数，负号的个数为奇数时，结果为负数.1.化简：（+2），（+2.7），（3），（34），+（-7），-（+1.4），+（+2.5，），-（-2.8）.【答案】（+2）=2；（+2.7）=2.7；（3）3；（34）34；+（-7）7；-（+1.4）1.4；+（+2.5）2.5；-（-2.8）2.8；【解析】不管数字前面的“”号，数“”号的个数，奇数个则结果为负，偶数个则结果为正 2.思考：a 的相反数是 a，a 一定是
12、负数吗？【答案】a 不一定为负数【解析】带号不一定是负数，题目中的a 可以理解为求 a 的相反数，那么当 a 为负数时，则负数的相反数为正数 3.绝对值等于 4 的数是 ；如果一个数的绝对值是，那么这个数是 【答案】4；【解析】4 的绝对值是 4，4 的绝对值也是 4，所以答案是4 思路点拨：绝对值等于负数的数不存在；绝对值等于 0 的数只有一个就是 0 本身；绝对值等于正数的数有两个，就是它和它的相反数。4.若6x，则 x=；若45x，则 x 【答案】6；54 5.绝对值最小的数是 0 5 2-3-4-5-6 1 0 1 2 3 4 5 5 0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 A
13、 B 绝对值不大于 2 的整数有 绝对值等于本身的数是 ；绝对值大于本身的数是 绝对值不大于 2.5 的非负整数是 【答案】0；2、1、0；非负数；负数；0,1,2；【解析】0 的绝对值为 0，其他数的绝对值为正数，所以绝对值最小的数是 0；画数轴可以解决；负数的绝对值为其相反数；0 的绝对值是 0，即使本身，又是其相反数；正数的绝对值是其本身；所以绝对值是本身的数是非负数 理解非负整数，是指零和正整数【经典题型】初中经典题型 1如图，在数轴上 A、B 两点所表示的有理数分别为()A3.5 和 3 B3.5 和3 C3.5 和 3 D3.5 和3【答案】C【解析】数轴上原点左侧的是负数，右侧的
14、是正数 2两个同号的数中，较大的负数所表示的点离原点较_，较大的正数所表示的点离原点较_(填“近”或“远”)【答案】近；远【解析】数轴上，原点往左，依次为-1，-2，-3，所以负数越小，离原点越远；原点往右，依次为 1,2,3，所以正数越大，离原点越远。3数轴上表示+2 的点在表示+1 的点的 边 个单位长度，表示-2 的点在表示-4 的点的 边 个单位长度，表示-3 的点在表示-1 的点的 边 个单位长度.【答案】右，1；右，2；左，2.【解析】数轴如图所示，左右可通过数轴找到，两点之间的距离可用较大数减较小数 4数轴上用点 A 表示-5，那么点 A 到原点的距离是 个单位长度；用点 B 表
15、示 3，那么点 B 到原点的距离是 个单位长度；A、B 两点之间距离是 个单位长度【答案】5,3,8【解析】两点之间的距离用较大数减较小数 5如图，点 A、B、C 为数轴上的 3 点，请回答下列问题：(1)点 A 向右移动 3 个单位长度后，哪个点表示的数最大？(2)点 C 向左移动 6 个单位长度后，点 B 表示的数比点 C 表示的数大多少？【答案】（1）C；（2）1【解析】（1）A 点向右移动 3 个单位长度后到 0，B 为1，C 为 4，所以最大的是 C 点所对应的数；（2）C 点向左 6 个单位长度后到2，B 为1，所以 B 比 C 大 1 6.|-3|=（）A.3 B.-3 C.31
16、 D.31【答案】A 7.式子2|1|x取最小值，x等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】绝对值部分是大于等于零的数，原式要取最小值，只要绝对值部分为零即可，所以就是 022，所以选 C 8.已知3|x，则x的值是 .【答案】3【解析】一个数的绝对值为正数，这个是有两个 9.52-的相反数是（）A.52-B.52 C.25-D.25 0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 【答案】B 10.若一个数的相反数是-7，则这个数是（）A.7 B.-7 C.71 D.71-【答案】A【解析】一个数的相反数，就是在其前面增加一个负号，所以-（-7）7 11.如图，数轴上两点 A
17、，B 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数为（）A.-6 B.6 C.0 D.无法确定 【答案】B【解析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数 12.下列各组数中，互为相反数的是（）A.3 与|-3|B.31-|31-|与 C.31-|31-|-与 D.331-与【答案】B【解析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数 13.利用相反数的意义，化简下列各数：（1）-（-16）；（2）-（+25）；（3）+（-12）；（4）+（+2）；（5）-（+75）；（6）-+（-3.2）.【答案】（1）16；（2）25；（3）12；（4）2；（5）75；（6）3.2【解析】多重符号的化简结果由“-”的个数决定
18、，有如下规定：把所有的正号去掉；负号的个数是偶数的结果为正数，负号的个数为奇数时，结果为负数.真题再现 1.（2019江苏江阴华士第一次月考）数轴上一动点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 B，再向右移动 6 个单位长度到达点 C。若 C 表示的数为 3，则点 A 表示的数为（）A.6 B.0 C.6 D.2【答案】B【解析】B 点到 C 点是向右移动 6，那么 C 到 B 就是向左 6，C 是 3，所以 B 就是3；A 到 B 是向左 3，所以 B 到 A 就是向右 3，所以 A 就是 0，故选 B 思路点拨：数轴上的动点，A 到 B 到 C 到 D 怎么走的，那么倒过来，D 到 C 到
19、B 到 A 就是方向改变，移动距离不变。2.（2019江苏徐州第一次月考）3 的相反数是（）A.3 B.3 C.31 D.31【答案】B【解析】3 的相反数就是-（-3）3 3.（2019江苏靖江第一次月考）有理数 2 的相反数数（）A.2 B.21 C.2 D.2【答案】A【解析】2 的相反数就是-22 4.（2019江苏南通第一次月考）54的相反数是（）A.54 B.54 C.45 D.45【答案】A【解析】5454，然后求54的相反数就是-54，故选 A 5.（2019江苏徐州第一次月考）在数轴上与原点的距离是 6 个单位长度的点表示的数是 。【答案】6【解析】如图所示，原点即为 0，距
20、离原点 6 个单位长度的往左往右分别数 6 个单位长度得到6 6.（2019江苏徐州第一次月考）数轴上，若 A、B 表示互为相反数，A 在 B 的右侧，并且这两点的距离为9，A 点所表示的数是 。【答案】4.5 【解析】两点相距 9 个单位长度，因为 A 在 B 的右侧，所以 AB9，因为 A、B 互为相反数，所以BA，即 2A9，所以 A4.5 7.（2019江苏江阴华士第一次月考）45的绝对值是 ，倒数是 。【答案】45；54 8.（2019江苏江阴华士第一次月考）绝对值不大于 3 的非负整数有 。【答案】3,2,1,0【解析】非负整数是指零和正整数，所以是 3,2,1,0 9.（2019江苏江阴华士第一次月考）已知3x，则 x 的值为 。【答案】3【解析】33，然后求x3，所以 x3 10.（2019江苏徐州第一次月考）如果 m 是有理数，则m的最小值是 。【答案】0【解析】一个数的绝对值是非负数，所以最小就是当 m0 时，m0