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1、拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！福建省龙岩高级中学 2018-2019 学年高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合A=x|2 x 4，B=2,1，2，4，则A B=()A.1,2 B.1,4 C.1,2 D.2,4【答案】A【解析】解：集合A=x|2 x 4，B=2,1，2，4，则A B=1,2 故选：A 直接利用交集的定义求解即可 本题考查交集的运算法则的应用，是基础题 2.“sin=12“是“=30”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：当=150，满足sin=
2、12，但=30不成立 若=30，满足sin=12，“sin=12“是“=30”的必要不充分条件 故选：B 根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础 3.复数z=cos(32)+isin(+)，(0,2)的对应点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】解：复数z=cos(32)+isin(+)=cos isin，复数z=cos(32)+isin(+)，(0,2)的对应点(cos,sin)在第三象限 故选：C 利用诱导公式化简，求出复数 z 对应点的坐标即可得到
3、结果 本题考查诱导公式以及复数的几何意义，是基础题 4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移12个单位，得到函数y=g(x)的图象，则它的一个对称中心是()A.(24,0)B.(6,0)C.(6,0)D.(12,0)【答案】D 第 2 页，共 11 页【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移12个单位，则函数变为y=sin2(x 12)=sin(2x6)；考察选项不难发现：当x=12时，sin(2 126)=0；(12,0)就是函数的一个对称中心坐标 故选：D 由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可 本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的
4、对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型 5.在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前 11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176【答案】B【解析】解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，S11=11(a1+a11)2=88，故选：B 根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=11(a1+a11)2运算求得结果 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，属于中档题 6.已知角的终边经过点P(x,3)(x 0)且cos=1010 x，则 x等于()A.1 B.13
5、 C.3 D.223【答案】A【解析】解：已知角的终边经过点P(x,3)(x 0)所以OP=x2+9，由三角函数的定义可知：cos=1010 x=xx2+9，x 0,0,0 0,0,0 )的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，所以A=12，T=2，因为T=2，所以=，函数是偶函数，0 ，所以=2，函数的解析式为：f(x)=12sin(x+2)，所以f(16)=12sin(6+2)=34 故选：D 通过函数的图象，利用 KL以及KML=90求出求出 A，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解f(16)的值 本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，
6、考查学生识图能力、计算能力 9.若 O 为 ABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC)(OB+OC 2OA)=0，则ABC 一定是()A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B 第 4 页，共 11 页【解析】解：(OB OC)(OB+OC 2OA)=(OB OC)(OB OA)+(OC OA)=(OB OC)(AB+AC)=CB (AB+AC)=(AB AC)(AB+AC)=|AB|2|AC|2=0|AB|=|AC|，ABC为等腰三角形 故选：B 利用向量的运算法则将等式中的向量OA，OB，OC 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状
7、 本题考查三角形的形状判断，着重考查平面向量的数量积及应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题 10.正项等比数列an中的a1、a11是函数f(x)=13x3 4x2+6x 3的极值点，则log6a5a6=()A.1 B.2 C.2 D.1【答案】B【解析】解：f(x)=13x3 4x2+6x 3，f(x)=x2 8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3 4x2+6x 3的极值点，a1、a11是x2 8x+6=0的两个实数根，a1 a11=6 log6a5a6=log6(a1a11)=l66=2 故选：B f(x)=x2 8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3 4x2+6x
8、3的极值点，可得a1、a11是x2 8x+6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出 本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11.函数f(x)=xx2+a的图象可能是()A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】解：f(x)=xx2+a，可取a=0，f(x)=xx2=1x，故(4)正确；f(x)=ax2(x2+a)2，拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！当a 0时，函数f(x)0，f(x)=0，解
9、得x=a，当f(x)0，即x (a,a)时，函数单调递增，当f(x)0，a 0时，xlnx f(x)0成立的 x 的取值范围是()A.(2,0)(0,2)B.(,2)(2,+)C.(2,0)(2,+)D.(,2)(0,2)【答案】D【解析】解：根据题意，设()=()，(0)，其导数()=()f()+()=1()+()，又由当 0时，()()，即 ()1()，则有()=1()+()0，又由 0，则()0，在区间(1,+)上，()=()0，则()0，则()在(0,1)和(1,+)上，()0，(2 4)()0 ()0240或()0240，解可得：2或0 0)，对()求导，利用导数与函数单调性的关系分
10、析可得()在(0,+)上为减函数，分析()的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+)上，都有()0，进而将不等式变形转化，解可得 x 的取值范围，即可得答案 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0与()1)，其前 n 项和为，2+8=6，46=8，则10=_【答案】35【解析】解：2=1+1，(,1)，数列为等差数列，又2+8=6，25=6，解得：5=3，又46=(5)(5+)=9 2=8，2=1，解得：=1或=1(舍去)=5+(5)1=3+(5)=2 1=1，10=101+1092=35 故答案为：35 由2=1+1，(,1)，知列为等
11、差数列，依题意可求得其首项与公差，继而可求其前 10 项和10 本题考查数列的求和，判断出数列为等差数列，并求得=2 1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题 16.对函数()=2(12+6)1()，有下列说法：()的周期为4，值域为3,1；()的图象关于直线=23对称；()的图象关于点(3,0)对称；()在(,23)上单调递增；将()的图象向左平移3个单位，即得到函数=212 1的图象 其中正确的是_.(填上所有正确说法的序号)【答案】拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！【解析】解：对函数()=2(12+6)1()，他的周期为212=4，值域为3,1，故正确 当=23时，()=1，为最大
12、值，故()的图象关于直线=23对称，故正确 当=3时，()=1，不是函数的最值，故故()的图象不关于直线=23对称，故错误 在(,23)上，12+6(3,2)，故()=2(12+6)单调递增，故()在(,23)上单调递增，故正确 将()的图象向左平移3个单位，即可得到函数=212(+3)+6=2(12+3)的图象，故错误，故答案为：由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数=(+)的图象变换规律，从而得出结论 本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数=(+)的图象变换规律，属于基础题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知2=1
13、3，=3,=6(1)求 a的值；(2)若角 A为锐角，求 b 的值及 的面积【答案】解：(1)o2=1 22=13，且 0 ，=63 =3,=6，由正弦定理=，得=6 =6 3=32(2)由=63,0 2得=33 由余弦定理2=2+2 2，得2 2 15=0 解得=5或=3(舍负)=12=522【解析】(1)由二倍角余弦公式求出的值，再由正弦定理即可求出 a的值；(2)由的值求出的值，再由余弦定理即可求出 b的值及 的面积 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题 18.已知向量 与 的夹角为120，且|=2，|=4()计算：|4 2|；()当 k 为何值时，(
14、+2)()第 8 页，共 11 页【答案】解：()向量 与 的夹角为 120，且|=2，|=4 由已知得，=2 4 (12)=4|+|2=2+2 +2=4+2 (4)+16=12，|+|=23|4 2|2=16 2 16 +4 2=16 4 16 (4)+4 16=192，|4 2|=83()(+2)()，(+2)()=0，2+(2 1)2 2=0，即16 16(2 1)2 64=0，=7 即=7时，+2 与 垂直【解析】()求出 =2 4 (12)=4.由此能求出|4 2|()由(+2)()，得(+2)()=0，由此能求出=7时，+2 与 垂直 本题考查向理的模的求法，考查满足向量垂直的实数
15、值的求法，考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19.函数()=2+3(1)求函数()的递增区间；(2)当 0,2时，求()的值域【答案】解：(1)()=2+3=12x2+322=(2 6)+12(2分)令22 2 6 2+2解得6 +3(5分)()的递增区间为6,+3()(6分)(2)0 2，6 2 656(8分)12(2 6)1，0 (2 6)+1232(10分)()的值域是0,32(12分)【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简，然后通过正弦函数的单调增区间求解即可(2)求出相位的范围，利用正弦函数的有界性，求解函数的值域即可 本题考查
16、两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力 20.已知数列的前 n 项和和通项满足=12(1 )(1)求数列的通项公式并证明12；拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！(2)设函数()=13，=(1)+(2)+()，若=11+12+13+1.求【答案】解：(1)当 2时，1=12(11)，=1，=12(1)12(11)=12+121，整理得：2=+1，1=13，当=1时，1=1=12(11)，解得：1=13，数列是首项1=13，公比为13的等比数列，=13(13)1=(13)，证明：由等比数列前 n项公式可知：=131(13)113=121(13)，1(13)1，1
17、21(13)12，12(2)()=13，=131+132+13=13(12)=13(13)1+2+，=1+2+=(1+)2 1=2(1+)=2(11n+1)，=11+12+1=2(112)+(1213)+(11+1)=2+1，=2+1【解析】(1)由当 2时，1=12(11)，=1，整理得：2=+1，1=13，当=1时，1=13，数列是首项1=13，公比为13的等比数列，即可求得=13(13)1=(13)，由等比数列前 n项和公式可知：=131(13)113=121(13)，由1(13)1，则121(13)12，即可证明 1)，当 0时，()0，函数()在区间(1,+)上单调递增；当 0时，令
18、11 0，则1 1+1，函数()在区间(1,1+1)上单调递增；令11 1+1，函数()在区间(1+1,+)上单调递减 综上，当 0时，函数()单调递增区间为(1,+)；当 0时，函数()单调递增区间为(1,1+1)，单调递减区间为(1+1,+)(2)由(1)知：当 0时，函数()的最大值为：(1+1)=1=()0恒成立，1【解析】本题(1)先求出函数的导函数，利用导函数值的正负，研究函数的单调性，注意要分类研究；(2)要使()0恒成立，就要求函数的最大值小于 0，利用(1)的结论，得到求出函数最大值，得到相应的不等关系，解不等式，得到本题结论 本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题，
19、本题难度不大，属于基础题 22.在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为y=2+tsinx=1+tcos(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位)，且以原点 O为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，圆 C的方程为=6sin(1)求圆 C的直角坐标方程；(2)若点P(1,2)，设圆 C 与直线 l交于点 A，B，求|PA|+|PB|的最小值【答案】解：()由=6sin得2=6sin，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y 3)2=9()将 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得t2+2(cos sin)t 7=0 由=(2cos 2sin)2+4 7 0，故
20、可设t1，t2是上述方程的两根，所以t1 t2=7t1+t1=2(cossin)，又直线 l过点(1,2)，故结合 t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1 t2|=(t1+t2)2 4t1t2=4(cos sin)2+28=32 4sin2 32 4=27 所以|PA|+|PB|的最小值为27 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期！【解析】(I)利用x=cos，y=sin可将圆 C极坐标方程化为直角坐标方程；(II)先根据(I)得出圆 C的普通方程，再根据直线与交与交于 A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值 此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度