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1、2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1已知tan2，则22sinsincos2cos A.43 B.54 C.34 D.45 2若幂函数 f xx的图象经过点3,3
2、，则的值为（）A.2 B.2 C.12 D.12 3已知22321xfxx，则13f（）A.29 B.14 C.5 D.-5 4已知集合25,0AxxBx x，则AB（）A.05xx B.0 x x C.2x x D.5x x 5已知函数 f(x)=log3(x+1)，若 f(a)=1，则 a 等于（）A.0 B.1 C.2 D.3 6若mn、表示空间中两条不重合的直线，、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.若/,mn n，则/m B.若,/mn，则/mn C.若,mnmn，则 D.若,mn，则mn 7过点(3,2)M 且与直线290 xy平行的直线方程是（）A.280 x
3、y B.270 xy C.240 xy D.210 xy 8七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传某同学用边长为 4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括 5 个等腰直角三角形，1 个正方形和 1 个平行四边形若该同学从 5 个三角形中任取出 2 个，则这 2 个三角形的面积之和不小于另外 3 个三角形面积之和的概率是（）A.12 B.15 C.25 D.310 9已知直线:220lxy，圆22:(1)(1)4Cxy点P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线,PA PB，切点分别为,A B当
4、四边形PACB面积最小时，直线AB方程是（）A.210 xy B.210 xy C.210 xy D.210 xy 10函数 2log10f xxx的零点所在区间为()A.5,6 B.6,7 C.7,8 D.8,9 11所有与角的终边相同的角可以表示为360kkZ，其中角（）A.一定是小于 90的角 B.一定是第一象限的角 C.一定是正角 D.可以是任意角 12已知直线1:10lxy 和直线2:30lxy，则1l与2l之间的距离是（）A.2 B.22 C.2 D.2 2 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）13如图，在空间四边形ABCD中，平面A
5、BD 平面BCD，90BAD，90BCD，且ABAD，则AC与平面BCD所成角的度数为_ 14若函数 sin06f xx在区间,2上没有最值，则的取值范围是 _.15函数 21214f xaxax的值域为0,，则实数 a的取值范围是_ 16已知函数 2logf xx，正实数m，n满足mn，且 f mf n，若 f x在区间2,m n上的最大值为2，则mn_.三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17如图：PA平面 ABCD，ABCD 是矩形,PA=AB=1，AD=，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动 （）求三棱锥
6、E-PAD 的体积;（）当点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；（）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PEAF 18已知函数 21log1axf xx（a为常数）是奇函数.（1）求a的值与函数 f x的定义域.（2）若当1,x时，2log1f xxm恒成立.求实数m的取值范围.19溶液酸碱度是通过 pH 计量的.pH 的计算公式为pHlg H，其中H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知胃酸中氢离子的浓度为2H2.5 10 摩尔/升，计
7、算胃酸的pH.（精确到0.001）（参考数据：lg20.301）20已知函数 22log3fxxaxa（1）若 f x的定义域为 R，求 a的取值范围；21已知圆C：222440 xyxy，（1）若过定点2,0的直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若过定点1,0且倾斜角为30的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；（3）问是否存在斜率为 1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l的方程；若不存在，请说明理由.22如图，已知圆心在 x轴正半轴上的圆 C与直线 5x+12y+210 相切，与 y轴交于 M，N 两点且MCN120.
8、（1）求圆 C的标准方程；（2）求过点 P（0，3）的直线 l与圆 C交于不同的两点 D，E，若|DE|23，求直线 l的方程.参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】22222222sinsin cos2costantan24sinsin cos2cossincostan15 考点：同角间三角函数关系 2、C【解析】由已知可得 33f，即可求得的值.【详解】由已知可得 123333f，解得12.故选：C.3、C【解析】令1213xx，代入直接计算即可.【详解】令12
9、13xx，即1x，则 2121353f，故选：C.4、C【解析】根据并集的定义计算【详解】由题意|2ABx x 故选：C 5、C【解析】根据()1f a，解对数方程，直接得到答案.【详解】33()log(1)1log 3f aa,a+1=3，a=2.故选：C.点睛】本题考查了解对数方程，属于基础题.6、C【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断【详解】对于 A，若 n平面，显然结论错误，故 A 错误；对于 B，若 m，n，则 mn 或 m，n 异面，故 B 错误；对于 C，若 mn，m，n，则，根据面面垂直的判定定理进行判定，故 C 正确；对于 D，若，m，n，则 m，n
10、位置关系不能确定，故 D错误 故选 C【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题 7、D【解析】先由题意设所求直线为：20 xym，再由直线过点(3,2)M，即可求出结果.【详解】因为所求直线与直线290 xy平行，因此，可设所求直线为：20 xym，又所求直线过点(3,2)M，所以340 m，解得1m ，所求直线方程为：210 xy.故选 D【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.8、D【解析】先逐个求解所有 5 个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，ADO，ABO，GHO，BEF，MCF的面积分别为14 444ADOABO
11、SS，114 4144GHOBEFSS，114 4242MCFS 将ADO，ABO，GHO，BEF，MCF分别记为1S，2S，3S，4S，5S，从这 5 个三角形中任取出 2个，则样本空间 12131415232425343545,S SS SS SS SS SS SS SS SS SS S，共有 10 个样本点 记事件N表示“从 5 个三角形中任取出 2 个，这 2 个三角形的面积之和不小于另外 3 个三角形面积之和”，则事件N包含的样本点为12,S S，15,S S，25,S S，共 3 个，所以 310P N 故选：D 9、B【解析】求得点 C 到直线 l 的距离 d，根据2222222
12、4PACBPACSSPAPCrd，等号成立时CPl，求得点 P，进而求得过,P A C B的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.【详解】设点 C 到直线 l 的距离为2 1255d，由222222242PACBPACSSPAPCrd，此时CPl，12CPk，CP方程为11(x 1)2y，即1122yx，与直线l联立得(1,0)P，因为,P A C B共圆，其圆心为1(0,)2，半径为52，圆的方程为2210 xyy,与联立22(1)(1)4xy，化简整理得210 xy，答案：B 10、C【解析】要判断函数 2log10f xxx的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函
13、数值，然后根据连续函数在区间,a b上零点，则 f a与 f b异号进行判断【详解】27log 77 100f，28log 8 8 100f，故函数 2log10f xxx的零点必落在区间7,8 故选C【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，解答的关键是零点存在定理：即连续函数在区间,a b上 f a与 f b异号，则函数在区间,a b上有零点 11、D【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为360kkZ适用于任意角，所以D 正确，故选：D.12、A【解析】利用平行线间的距离公式计算即可【详解】由平行线间的距离公式得22|1 3|21
14、(1)d 故选：A 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）13、45【解析】首先利用面面垂直转化出线面垂直，进一步求出线面的夹角，最后通过解直角三角形求出结果.【详解】取 BD 中点 O，连接 AO，CO.因为 AB=AD，所以AOBD，又平面ABD 平面BCD，所以AO 平面BCD.因此，ACO即为 AC 与平面BCD所成的角，由于90BAD，90BCD，所以1AOOC2BD,又AOOC，所以ACO45【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题型.14、11 20,63 3【解析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由 f
15、 x在区间,2上没有最值可知,23k，进而可知3k或23k，解不等式并取k的值，即可确定的取值范围.【详解】函数 sin,06fxx，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足,62xkkZ，解得,3kxkZ，由题意可知，f x在区间,2上没有最值，则,23k，kZ，所以3k或23k，因为0，解得13k或1162k，当0k 时，代入可得13或16，当1k 时，代入可得43或23，当2k 时，代入可得73或76，此时无解.综上可得106或1233，即的取值范围为11 20,63 3.故答案为：11 20,63 3.【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，由三角函数的最值情况求参数，注意解不
16、等式时的特殊值取法，属于难题.15、10,1,)4【解析】分0a，0a，0a 三类，根据一次函数和二次函数的性质可解.【详解】当0a 时，14f xx，易知此时函数()f x的值域为0,；当0a 时，二次函数21214axayx图象开口向下，显然不满足题意；当0a 时，函数 21214f xaxax的值域为0,，2210aa，解得104a或1a，综上，实数 a的取值范围是10,1,)4，故答案为：10,1,)4.16、52【解析】先画出函数图像并判断01mn，再根据范围和函数单调性判断2x=m时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数2()log xf x 的图象 得01mn，所
17、以201mm结合函数图象，易知当2x=m时()f x在2,m n上取得最大值，所以 222log2fmm 又01m，所以12m，再结合()()f mf n，可得2n，所以21522mn.故答案为：52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（）3,6（）平行，（）详见解析【解析】(1)三棱锥EPAD的体积V13PAADES13PA1()2AD AB36.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行 在PBC中，,E F分别为BC、PB的中点，/
18、EFPC，又EF平面PAC，PC平面PAC，/EF平面PAC(3)证明ABCD：PA平面ABCD，BE平面ABCD，BEPA，又BEAB，ABPAA，,AB PA 平面PAB，BE平面PAB.又AF 平面PAB，AFBE.又1PAAB，点F是PB的中点，PBAF，又PBBEB,PB BE 平面PBE，AF平面PBE.PE 平面PBE，AFPE.考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥 18、（1）1a，定义域为1x x 或1x；（2）,1.【解析
19、】（1）根据函数是奇函数，得到 fxf x，求出1a，再解不等式101xx，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出 2log1f xx的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数 21log1axf xx是奇函数，所以 fxf x，所以2211loglog11axaxxx ，即2211loglog11axxxax，所以1a，令101xx，解得1x 或1x，所以函数的定义域为1x x 或1x；（2）22log1log1f xxx，当1x 时，所以12x ，所以22log1log 21x.因为1,x，2log1f xxm恒成立，所以1m，所以m的取值范围是,1.【点睛】本题主要
20、考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.19、（1）溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强（2）1.602【解析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；（2）由已知公式计算【小问 1 详解】根据对数的运算性质，有pHlg H 1lg H1lgH.在0,上，随着H的增大，1H减小，相应地，1lgH也减小，即pH减小，所以，随着H的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.【小问 2 详解】当H22.5 10时，2pHlg2.5 10 2lg 211.602.20、（1）2,6（2）,2 22【解析】（1）转化为，可得答案；（2）转化为2,
21、3x时211xax，利用基本不等式对2121211 xxxx求最值可得答案【小问 1 详解】由题意得230 xaxa恒成立，得2430aa，解得26a，故 a的取值范围为2,6【小问2 详解】由 22log31fxxaxa，得210 xaxa，即211xa x，因为2,3x，所以211xax，因为10 x，所以 2112122122122 221111xxxxxxxxx，当且仅当211xx，即21x 时，等号成立 故2 22a，a的取值范围为,2 22 21、（1）2x 或512100 xy（2）1331,22（3）存在，10 xy 或40 xy【解析】（1）首先设直线l的方程为：2xmy，与
22、圆的方程联立，令0，即可求解m的值；（2）设直线l的方程为：31xy，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；（3）方法一，设直线l：yxb，与圆的方程联立，利用韦达定理表示0OE OF，即可求解b；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线yxb，以及圆经过原点，即可求解参数.【小问 1 详解】根据题意，设直线l的方程为：2xmy 联立直线与圆的方程并整理得：2214640mym y 22048mm所以220480mm，10m，2125m 从而，直线l的方程为：2x 或512100 xy；【小问 2 详解】根据题意，设直线l的方程为：31xy 代入圆C方程得：244 1310yy，显然0，设11,
23、A x y，22,B xy，则123 1yy，1213xx 所以点P的坐标为1331,22【小问 3 详解】假设存在这样的直线l：yxb 联立圆的方程并整理得：22222440 xbxbb 当24690,33 23 23bbb 设33,E x y，44,F xy，则341xxb，2341442x xbb 所以2341242y ybb 因为以EF为直径的圆经过原点，所以33,OEx y，44,OFxy，0OE OF 34440 x xy y，即2340bb 均满足3 3 23 23b.11b，24b 所以直线l的方程为：10 xy 或40 xy.（3）法二：可以设圆系方程222440 xyxyx
24、yb 则圆心坐标24,22，圆心在直线yxb上，得4222b 且该圆过原点，得40b 由，求得14b或41b 所以直线l的方程为：10 xy 或40 xy.22、（1）（x1）2+y24；（2）y433x 或 x0【解析】（1）由题意设圆心为(,0)C a，且0a，再由已知求解三角形可得|2CMa，于是可设圆C的标准方程为222()4xaya，由点C到直线512210 xy的距离列式求得a值，则圆C的标准方程可求；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx，即30kxy，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得k，可得直线方程，验证当0 x 时满足题意，则答案可求【详解】解：（1）由题意设圆心为(,0)C a，且0a，由120MCN，可得Rt MCO中，60MCO，|OCa，则|2CMa，于是可设圆C的标准方程为222()4xaya，又点C到直线512210 xy的距离|521|213ada，解得1a 或2131a （舍去）故圆C的标准方程为22(1)4xy；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx，即30kxy 则由题意可知，圆心C到直线l的距离1d 故2|3|11kk，解得43k 又当0 x 时满足题意，故直线l的方程为433yx 或0 x 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题