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1、立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1直三棱柱 A1B1C1-ABC，BCA=900，点 D1，F1分别是 A1B1和 A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求 BD1与 AF1所成角的余弦值。F1D1B1C1A1BAC 2在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BAD=900，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA面 ABCD，PD 与底面成 300角，（1）若 AEPD，E 为垂足，求证：BEPD；（2）若 AEPD，求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小；ABCDPE 二线面角 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1、CD 的
2、中点，且正方体的棱长为 2，（1）求直线 D1F 和 AB 和所成的角；（2）求 D1F 与平面 AED 所成的角。CDEFD1C1B1A1AB 2在三棱柱 A1B1C1-ABC 中，四边形 AA1B1B 是菱形，四边形 BCC1B1是矩形，C1B1AB，AB=4，C1B1=3，ABB1=600，求 AC1与平面 BCC1B1所成角的大小。B1C1A1BAC 三二面角 1已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点，（1）证明 AB1平面 DBC1；（2）设AB1BC1，求以 BC1为棱，DBC1与 CBC1为面的二面角的大小。DB1C1A1BAC 2ABCD 是直角梯形，ABC
3、=900，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小；（2）求 SC 与面 ABCD 所成的角。BADCS 3已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，A1AC=600，A1AB=450，求二面角 BAA1C 的大小。B1C1BACA1 四 空间距离计算（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 是 BC 的中点，DP 交 AC 于 M，B1P 交 BC1于 N，（1）求证：MN 上异面直线 AC 和 BC1的公垂线；（2）求异面直线 AC 和 BC1间的距离；CDNMPD1
4、C1B1A1AB（点到线，点到面的距离）2点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA面 ABCD，Q 为线段 AP 的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）点 Q 到直线 BD 的距离；（2）点 P 到平面 BDQ 的距离；3边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC=600，PC平面 ABCD，E 是 PA 的中点，求 E到平面 PBC 的距离。（线到面、面到面的距离）4.已知斜三棱柱 A1B1C1-ABC 的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直，ABC=900，BC=2，AC=23，且 AA1A1C，AA1=A1C，（1）求侧棱 AA1与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面 A
5、1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱 B1B和侧面 A1ACC1距离；B1C1BACA1 5正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD、ABFE 互相垂直，点 M在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=NB=a（20 a），（1）求 MN 的长；（2）当 a 为何值时，MN 的长最小；立体几何中的向量问题空间角与距离 基础自测 1.已知两平面的法向量分别为 m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .答案 45或 135 2.二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面，且都垂直
6、于 AB.已知 AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为 .答案 60 3.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于 .答案 515 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCOABCD，AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 .答案 a22 5.（2008理，6）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 .答案 510
7、 例 1 （2008理，18）如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线 BD上,PDA=60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小;(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小.解 如图所示，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz.则DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).连接 BD,BD.在平面 BBDD 中,延长 DP 交 BD于 H.设DH=(m,m,1)(m 0),由已知DH,DA=60,由DADH=|DA|DH|cos DH,DA,可得 2m=122m.解得 m=22,所以DH=（22,22,1）.(1)因为 cosDH,CC=211102
8、2022=22,所以DH,CC=45,即 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是DC=(0,1,0).因为 cosDH,DC=2101122022=21,所以DH,DC=60,可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.例 2 在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=23，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示.求点 B 到平面 CMN 的距离.解 取 AC 的中点 O，连接 OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC，SO平面
9、ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M（1，3，0），N（0，3，2）.CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）.设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量，则020z-x33xnnMNyCM，取 z=1，则 x=2,y=-6,n=（2，-6，1）.点 B 到平面 CMN 的距离 d=324nn MB.例 3 （16 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=1，AD=3，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移
10、动.（1）点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；（3）当 BE 为何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45.（1）解 当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行.在PBC 中，E、F 分别为 BC、PB 的中点，EFPC.又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC，EF平面 PAC.4 分（2）证明 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，21，21），D（3，0，0）.设 BE=x，则 E（x，1，0），PEA
11、F=（x，1，-1）（0，21，21）=0，PEAF.10 分（3）解 设平面 PDE 的法向量为 m=(p,q,1),由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）由00PEPDmm，得 m=1,31,31x.12 分 而AP=（0，0，1），依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45,sin45=22=APAPmm，1313112x=21,14 分 得 BE=x=3-2或 BE=x=3+23（舍去）.故 BE=3-2时，PA 与平面 PDE 所成角为 45.16 分 1.如图所示，AF、DE 分别是O、O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC 是O 的直径，AB
12、=AC=6，OEAD.（1）求二面角 B-AD-F 的大小；（2）求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值.解 （1）AD 与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF 是二面角 BADF 的平面角.依题意可知，ABFC 是正方形，BAF=45.即二面角 BADF 的大小为 45;（2）以 O 为原点，CB、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8），E（0，0，8），F（0，32，0），BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.cosBD,EF=EFBDEFBD =8
13、210064180=-1082.设异面直线 BD 与 EF 所成角为，则 cos=|cosBD,EF|=1082.即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为1082.2.已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 22，侧棱长为 4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点.（1）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；（2）求点 D1到平面 B1EF 的距离.（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0），D1（0，0，4），B1（22，22，4）.EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），1DD=
14、（0，0，4），EFBD=0，EF1DD=0.EFDB，EFDD1，DD1BD=D，EF平面 BDD1B1.又 EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1.（2）解 由（1）知11BD=（22，22，0），EF=（-2，2，0），EB1=（0，-2，-4）.设平面 B1EF 的法向量为 n,且 n=(x,y,z)则 nEF,nEB1 即 nEF=（x，y，z）（-2，2，0）=-2x+2y=0，nEB1=（x，y，z）（0，-2，-4）=-2y-4z=0，令 x=1,则 y=1,z=-42,n=(1,1,-42)D1到平面 B1EF 的距离 d=nn11BD=22242112222=
15、171716.3.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点.（1）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（2）在侧面 PAB 找一点 N，使 NE平面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.解 方法一 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，21，1)，从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.设AC与PB的夹角为，则 cos=PBACPBAC=7
16、23=1473，AC 与 PB 所成角的余弦值为1473.（2）由于 N 点在侧面 PAB，故可设 N 点坐标为（x,0,z）,则NE=（-x，21，1-z），由 NE平面 PAC可得 00ACNEAPNE，即 0)0,1,3(1,21,0)2,0,0(1,21,zzxx,化简得021301xz,163zx 即 N 点的坐标为（63，0，1），从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，63.方法二 （1）设 ACBD=O，连接 OE，AE，BD，则 OEPB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.在AOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，由余弦定理得 c
17、osEOA=1473127245471,即 AC 与 PB 所成角的余弦值为1473.(2)在平面 ABCD 过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则ADF=6.连接 PF,则在 RtADF 中,DF=ADFADcos=332,AF=ADtanADF=33.设 N 为 PF 的中点，连接 NE，则 NEDF.DFAC，DFPA，DF平面 PAC，从而 NE平面 PAC.N 点到 AB 的距离为21AP=1，N 点到 AP 的距离为21AF=63.一、填空题 1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 AB 的中点,则 sin1DB,CM的值等于 .答案 15210 2.正方体 ABC
18、DA1B1C1D1的棱长为 1，O 是 A1C1的中点，则点 O 到平面 ABC1D1的距离为 .答案 42 3.（2008全国理，11）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 的射影为ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于 .答案 32 4.P 是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线 PM、PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角AB的大小为 .答案 90 5.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别为 BB1、CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E 的距离为 .答案 1053 6.如图所示，
19、在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点 E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是 .答案 60 7.如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线AD 与 平面 B1DC 所成角的正弦值为 .答案 54 8.正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC 所成的角是 .答案 30 二、解答题 9.如图所示，在几何体 ABCDE 中，ABC 是等腰直角三角形，ABC=90，BE 和 CD 都垂直于平
20、面 ABC，且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE 的中点.求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.解 以点 B 为原点，BA、BC、BE 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）.设平面 BDF 的一个法向量为 n=（2，a，b），nDF，nBD，00BDDFnn 即0)1,2,0(),2(0)0,2,1(),2(baba 解得 a=1，b=-2.n=（2，1，-2）.设 AB 与平面 BDF 所成的角为
21、，则法向量 n 与BA的夹角为2-，cos（2-）=nnBABA=322,1,20,0,2=32,即 sin=32,故 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为32.10.在五棱锥 PABCDE 中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90.（1）求证：PA平面 ABCDE；（2）求二面角 APDE 的余弦值.（1）证明 以 A 点为坐标原点，以 AB、AE、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则由已知得 A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，
22、0）.AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0），APAB=02a+00+2a0=0，APAB.同理APAE.又ABAE=A，PA平面 ABCDE.（2）解 设平面 PAD 的法向量为 m=(1,y,z),则 mAD=0，得 a+2ay=0，y=-21.又 mAP=0，得 2az=0，z=0.m=（1，-21，0）.再设平面 PDE 的法向量为 n=(x,1,z),而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a），则 nED=0，得 ax=0，x=0.又 nPD=0，得 ax+2a-2az=0，z=1.n=（0，1，1）.令二面角 APDE 的平面角为，则 cos
23、=-nmnm=24521=1010，故二面角 APDE 的余弦值是1010.11.如图所示，在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB=BC=kPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC.（1）若 k=1，试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小；（2）当 k 取何值时，二面角 OPCB 的大小为3？解 OP平面 ABC，又 OA=OC，AB=BC，从而 OAOB，OBOP，OAOP，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.（1）设 AB=a，则 PA=a，PO=22a，A（22a，0，0），B（0，22a，0），C（-22a，0，0），P（0，0，22a）
24、，则 D（-42a，0，42a）.PA=(22a，0，-22a)，BD=(-42a，-22a，42a)，cosPA,BD=BDPABDPA=222234141aaa=-33,则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值的大小为33.（2）设 AB=a，OP=h，OB平面 POC，OB=(0，22a，0)为平面 POC 的一个法向量.不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n=（x，y，z），A(22a，0，0)，B(0，22a，0)，C(-22a，0，0)，P(0，0，h)，BC=(-22a,-22a,0),PC=(-22a,0,-h),由00PCBCnn0220zhaxyx 不妨令 x=1，则 y
25、=-1，z=-ha22，即 n=(1,-1,-ha22),则 cos3=nnOBOB =22222222haaa=212+222ha=4h=21a,PA=22POAO=24121aa=23a,而 AB=kPA,k=332.故当 k=332时,二面角 OPCB 的大小为3.12.(2008模拟)如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱 CC1上的点，且 BEB1C.（1）求 CE 的长；（2）求证：A1C平面 BED；（3）求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.（1）解 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x、y、z 轴
26、建立空间直角坐标系 Dxyz.D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设 E 点坐标为（0，2，t），则BE=（-2，0，t），CB1=（-2，0，-4）.BEB1C，BECB1=4+0-4t=0.t=1，故 CE=1.（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），又CA1=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），CA1BE=4+0-4=0，且CA1DB=-4+4+0=0.CA1DB且CA1BE，即 A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面 BDE.即 A1C平面 BED.（3）解 由（2）知CA1=（-2，2，-4）是平面 BDE 的一个法向量.又BA1=（0，2，-4）,cosCA1,BA1=BACABACA1111=630.A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为630.