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1、 1 探究正方形中的“十字架模型”一、考题研究 在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”二、知识回顾 1、全等三角形的性质与判定 2、相似三角形的性质与判定 3、矩形和正方形的性质与判定 4、图形的变换-轴对称 三、十字架模型【十字架模型】-正方形 第一种情况：过顶点 在正方形 ABCD 中，AEBF，可得 AE=BF，借助于同角的余角相等，证明BAFADE（ASA）所以 AE=BF 第二种情况：不过顶点 在正方形 ABCD 中，E，F，G，
2、H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的点，其中：EGFH，可得 EG=FH 2 也可以如下证明 在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别 AB、BC、CD、DA 边上的点，其中：EGFH，可得 EG=FH 【导入】如图，将边长为 4 的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为_ 【分析】过点G作GHAD于H，根据翻折变换的性质可得GFAE，然后求出GFHD，再利用“角角边”证明ADE和GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GFAE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解【解答】法一：解：如图，过点G作GHAD于H
3、，则四边形ABGH中，HGAB，由翻折变换的性质得GFAE，90AFGDAE，90AEDDAE，AFGAED，四边形ABCD是正方形，ADAB，3 HGAD，在ADE和GHF中，GHFDAFGAEDGHAD ，()ADEGHF AAS，GFAE，点E是CD的中点，122DECD，在Rt ADE中，由勾股定理得，2222422 5AEADDE，GF的长为2 5 故答案为：2 5 【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键 法二：分析：连接 AE，求解 FG 相当于求 AE。线段 AE 是直角ADE 的斜边
4、，运用勾股定理求解即可 解：连接 AE，由对称的性质可得：FGAE 且 FG 平分线段 AE 由十字架模型可得：FG=AE=AD+AE22=+=22422 5【十字架模型】-矩形 在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，其中：AEBF，探究 AE 与 BF 的关系；可证：ADEBAF 所以 AEADb=BFBAa AE=bBFa 4 在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 边上的点，其中：EGFH，探究 EG 与 FH 的关系 【解答】可证：ADNBAM EGANADb=FHBMBAa bEG=FHa 但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那
5、么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，其中 EGFH，探究 EG 与 FH 的关系 5 可证EOHGOF 但是EGFH与ADBA的关系不再相等 四：十字架模型的应用【例 1】（1）如图 1，四边形ABCD为正方形，BFAE，那么BF与AE相等吗？为什么？（2）如图 2，在Rt ABC中，BABC，90ABC，D为BC边的中点，BEAD于点E，交AC于F，求:AF FC的值；（3）如图 3，Rt ACB中，90ABC，D为BC边的中点，BEAD于点E，交AC于F，若3AB，4BC，求CF 【分析】（1）先判断出ABAD，再利用同角的余角相等
6、，判断出ABFDAE，进而得出ABFDAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出ABDCBG，进而得出12CGAB，再判断出AFBCFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，BADCBP，进而判断出ABDBCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出CFPAFB，建立方程即可得出结论【解答】解：（1）BFAE，理由：四边形ABCD是正方形，ABAD，90BADD，90BAEDAE，AEBF，6 90BAEABF，ABFDAE，在ABF和DAE中，90BADADCABADABFDAE ，ABFDAE，BFAE，（2）在（1）十字架模型的启发下，我们补全图形，过点 A
7、、C 分别做 AB、BC 的垂线，交于点 G，延长 BF 交 CG 与 H，那么就可以证明ABD 与BCH 全等，所以 BD=CH 补全图形后，借助八字形相似，即可得出 AF：CF 的值 可证ABFCHF，AFCF=ABCH 点 D 为 BC 边的中点 BD=12BC，又BA=BC CH=BD=12AB AFFC=ABAB12=2 7 （3）思方法同上，补图后，先通过证明两个三角形相似，求出 CH 的长;然后借助“八字型“相似，即可得出 AF:FC9:8;由勾股定理可求 AC5，那么就可以求出线段 CF 的值。CF=817AC=8517=4017【变式】如图 1，在正方形ABCD中，EF分别为
8、BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G（1）求证：AEBF；（2）将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2)，延长FP到BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；（3）将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为 4 时，求四边形GHMN的面积 8 【分析】（1）只要证明Rt ABERt BCF(SAS)，即可推出BAECBF，由90BAEBEA，推出90CBFBEA，推出90BGE；（2）首先证明QFQB，设PFk，则2PBk，在Rt BPQ中，设BQx，可得222()4xxkk，推出52xk，根据sinBPBQ
9、PQB计算即可（3）由/GNHM，推出AGNAHN，推出2()AGNAHMSANSAM，推出22()15AGNS，推出45AGNS，根据四边形GHMN的面积AHMAGNSS计算即可【解答】（1）证明：如图 1 中，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，CFBE，在Rt ABE和Rt BCF中，ABBCABEBCFBECF，Rt ABERt BCF(SAS)，BAECBF，90BAEBEA，90CBFBEA，90BGE，AEBF （2）解：如图 2 中，9 由题意，FPFC，90FPBC，/CDAB，CFBABF，ABFPFB，QFQB，设PFk，则2PBk，在Rt BPQ中，设BQx，
10、222()4xxkk，52xk，24sin552BPkBQPQBk（3）如图 3 中，正方形ABCD的面积为 4，边长为 2，BAEEAM，AEBF，2AHAB，90AHM，/GNHM，AGNAHN，2()AGNAHMSANSAM，22()15AGNS，45AGNS，四边形GHMN的面积41155AHMAGNSS 10 【例 2】【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明 如图 1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证：EFADGHAB；【结论应用】（2）如图
11、 2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若1115EFGH，则BNAM的值为 ；【联系拓展】（3）如图 3，四边形ABCD中，90ABC，10ABAD，5BCCD，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值 【分析】（1）过点A作/APEF，交CD于P，过点B作/BQGH，交AD于Q，如图 1，易证APEF，GHBQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到EFADBNGHABAM，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图 3，易证四边形ABS
12、R是矩形，由（1）中的结论可得DNARAMAB设SCx，DSy，则5ARBSx，10RDy，在Rt CSD中根据勾股定理可得2225xy，在Rt ARD中根据勾股定理可得22(5)(10)100 xy，解就可求出x，即可得到AR，问题得以解决【解答】解：（1）过点A作/APEF，交CD于P，过点B作/BQGH，交AD于Q，如图 1，四边形ABCD是矩形，/ABDC，/ADBC 四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，APEF，GHBQ 又GHEF，APBQ，90QATAQT 四边形ABCD是矩形，90DABD，90DAPDPA，11 AQTDPA PDAQAB，APADBQAB，EFAD
13、GHAB；（2）如图 2，EFGH，AMBN，由（1）中的结论可得EFADGHAB，BNADAMAB，1115BNEFAMGH 故答案为1115；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图 3，则四边形ABSR是平行四边形 90ABC，ABSR是矩形，90RS，10RSAB，ARBS AMDN，由（1）中的结论可得DNARAMAB 设SCx，DSy，则5ARBSx，10RDy，在Rt CSD中，2225xy，在Rt ARD中，22(5)(10)100 xy，由得25xy，解方程组222525xyxy，得 50 xy（舍去），或34xy，58ARx，8
14、4105DNARAMAB 12 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键 五、总结 模型结论：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段若垂直，则相等若相等，则垂直 注意：十字架模型的前提是：对边取点连线，如图：EFGH，但是 GH 并不是对边取点所连线段，所以 EF 不一定等于 GH 在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=b，其中：AEBF，探究 AE 与 BF 的关系；可证：ADEBAF 所以 AEADb=BFBAa AE=bBFa 13 六、课后练习 1.如图，将边长为 6 的正方
15、形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CMx，则CH _或_（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长 【分析】（1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长即可；（2）首先得出EDMMCH，进而求出MC的长，再利用NEGDEM，求出NG的长，再利用勾股定理得出GH的长【解答】解：（1）CMx，6BC，设HCy，则6BHHMy，故222(6)yxy，整理得：21312yx，90HMCMHC，EMDMHC，EDMMCH，EDDMMCCH，36xxHC，解得：2123HCxx，故
16、答案为：21312x或2123xx；14 （2）方法一：四边形ABCD为正方形，90BCD ，设CMx，由题意可得：3ED，6DMx，90EMHB，故90HMCEMD，90HMCMHC，EMDMHC，EDMMCH，EDDMMCCH，即2361312xxx，解得：12x，26x，当2x 时，2CM，4DM，在Rt DEM中，由勾股定理得：5EM，651NEMNEM，NEGDEM，ND，NEGDEM，NENGDEDM，134NG，解得：43NG，由翻折变换的性质，得43AGNG，过点G作GPBC，垂足为P，则43BPAG，6GPAB，当2x 时，2183123CHx，846233PHBCHCBP，在Rt GPH中，2222622 10GHGPPH 当6x 时，则6CM，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处 15 MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长 所以，GH长为6 2 方法二：有上面方法得出2CM，连接BM，可得BMGH，则可得PGHHBM，在GPH和BCM中 HGPCBMGPBCGPHC ，()GPHBCM SAS，GHBM，22622 10GHBM