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1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-2020 年春四川省棠湖中学高一期中考试 数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R，集合13Axx,21Bx xx 或,则UAC B（）A.11xx B.23xx C.23xx D.21x xx 或【答案】A【解析】【分析】进行交集、补集的运算即可【详解】UC Bx|2x1；A（UC B）x|1x1 故选A【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算 2.在ABC中，a、b分别为内角A、B的对边，如果30B，105C，4a，则b（）A.2
2、 2 B.3 2 C.6 D.5 6【答案】A【解析】分析】先求出45,A 再利用正弦定理求解即可.【详解】30B，105C，45A，由正弦定理可得4sin 45sin 30b，解得1422 222b，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3.已知向量1331ab，则a与b夹角的大小为()A.6 B.2 C.23 D.56【答案】D【解析】【分析】。分别求出a，b，a b，利用cos|a bab即可得出答案.【详解】设a与b的夹角为 2222|1(3)2,|(3
3、)12ab 1(3)(3)12 3a b 2 33cos2 22|a bab 0,56 故选：D【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.4.设等比数列 na的公比2q，前n项和为nS，则52Sa（）A.2 B.4 C.172 D.312【答案】D【解析】【分析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-设首项为1a，利用等比数列的求和公式与通项公式求解即可.【详解】设首项为1a，因为等比数列 na的公比2q，所以515211 2311 222aSaa，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.5.在ABC中，2
4、BDDC，则AD（）A.1233ABAC B.1233ABAC C.2133ABAC D.2133ABAC【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则进行转化求解即可【详解】2BDDC，23ADABADBCBB，又BCACAB 则1233ADABAC 故选：B【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.6.已知等比数列 na中，31174a aa，数列 nb是等差数列，且77ba，则311bb（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【解析】【分析】由等比数列的性质求得74a，再
5、由等差数列的性质可得结果.【详解】因为 na等比数列，且31174,a aa 27740aa，解得74a，数列 nb是等差数列，则31177228bbba，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa（2pqmnr）.7.设ABC的内角,A B C所对边的长分别为,a b c，若2,3sin5sinbcaAB,则角C=（）A.3 B.23 C.34 D.56【答案】B【解析】【详解】试题分析：3sin5sinAB，由正弦定理可得35ab即53ab；因为2bca，所以73cb，所以22222222549151
6、999cos51022233bbbabcCabb，而(0,)C，所以23C，故选 B.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.8.已知向量3,1a，3,3b ，则向量b在向量a方向上的投影为（）A.3 B.3 C.-1 D.1【答案】A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【解析】【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可【详解】解：3,1a，3,3b ，向量b在向量a方向上的投影cos,a bba ba 22333 131 3，故选：A【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题 9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差
7、数列，a，b，c依次成等比数列，则ABC的形状为（）A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角边不相等的直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据a，b，c依次成等差数列，a，b，c依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知2aacc，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果【详解】由a，b，c依次成等差数列，有 2b=a+c(1)由a，b，c成等比数列,有bac(2)，由(1)(2)得2aacc，又根据2aacc，当a=c时等号成立，可得a=c，2=bacaa，综上可得a=b=c，所以ABC为等边三角形.故选：A.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源
8、网 -1-【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.10.已知定义域R的奇函数 f x的图像关于直线1x 对称，且当01x时，3f xx，则52f（）A.278 B.278 C.18 D.18【答案】D【解析】【分析】根据函数 f x的图像关于直线1x 对称可得 2f xfx，再结合奇函数的性质即可得出答案【详解】解：函数 f x的图像关于直线1x 对称，11fxfx，2f xfx，奇函数 f x满足，当01x时，3f xx，55222ff1122ff 31128 ，故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对
9、称性的综合应用，属于基础题 11.若,2,且2 5sin5,10sin10,则sin（）A.7 210 B.22 C.12 D.110【答案】B【解析】【分析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-利用两角和差的正弦公式将-()进行转化求解即可【详解】-()，2，2，2，22，sin（）1010 0，20，则 cos（）2210903 1011()1010010sin，sin2 55，cos222 55511()5255sin ，则 sinsin-()sincos（）-cossin（）2 53 1055105（1010）30 25 225 2250502，故选 B【点睛】本
10、题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将-()进行转化是解决本题的关键，是基础题 12.设函数()sin(0)3f xwxw，若()4f xf对任意的实数x都成立，则w的最小值为（）A.12 B.23 C.34 D.1【答案】B【解析】【分析】()4f xf对任意的实数x都成立，说明三角函数f（x）在4x时取最大值，利用这个信息求的值 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【详解】由题意，当4x时，()f x取到最大值，所以2()432kkZ，解得28()3kkZ，因为0，所以当0k 时，取到最小值23.故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的图象及性质，三角
11、函数的单调区间、对称轴、对称中心、最值等为常考题，本题属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知sin 2sin，0,2a，则tan_【答案】3【解析】【分析】由二倍角求得，则tan可求【详解】由sin2=sin，得 2sincos=sin，0,2,sin0,则12cos,即3.3tan.故答案为：3.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.14.设等差数列 na的前n项和为nS，若23a ，510S ，则nS的最小值为_【答案】10【解析】【分析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-用基本量法
12、求出数列的通项公式，由通项公式可得nS取最小值时的n值，从而得nS的最小值 【详解】设数列公差为d，则由已知得2151351010aadSad ，解得141ad，1(1)4(1)5naandnn ，5 0nan，5n，又50a，、nS的最小值为5410SS 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值 首项为负且递增的等差数列na，满足0na 的最大的n使得nS最小，首项为正且递减的等差数列na，满足0na 的最大的n使得nS最大，当然也可把nS表示为n的二次函数，由二次函数知识求得最值 15.设数列 na满足1226aa，且21122nnnnnaaaba，则数列 nb的前 n 项
13、和nS _.【答案】1nn【解析】令1112,62442(1)22nnnnnncaaccccnn 1(22)22(2)(22)42(1)2nnnnnaanannn n 11111(1)111nnnbSn nnnnn 16.在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP的坐标为_【答案】(1 sin1,1cos1)【解析】【分析】设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP 过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设BCP=，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cos，1+sin），
14、再根据圆的圆高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-心从（0，1）滚动到（1，1），算出312，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为(1 sin1,1cos1)，即为向量OP的坐标【详解】设滚动后的圆的圆心为C，切点为(1,0)A，连接CP，过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于(2,1)B，设BCP，C的方程为22(1)(1)1xy，根据圆的参数方程，得P的坐标为(1cos,1sin)，单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，圆滚动到圆心位于(1,1)，1ACP，可得312，可得3coscos1sin12，3sinsin1cos12，代入上面所得的式子，得到P的坐标为(1
15、 sin1,1cos1)，所以OP的坐标是(1 sin1,1cos1).故答案为：(1 sin1,1cos1).【点睛】本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.三.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在梯形ABCD中，ABCD，1ADCD，3AB，（）若ACABBD，求实数值；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-（）若ADBC，求数量积AC BD的值【答案】（）43（）3【解析】【分析】（）根据平面向量基本定理求解，（）根据向量数量积定义求解.【详解】（）因为ACABBD，所以
16、ADDCABBAAD,1 03ABABAB,因此43，（）222223?33.AC BDADDCBCCDADCDDC BCCDADBC CD CDABBCCDBC CD CDCDCD CDCDCD 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.18.设 na是等比数列，公比大于 0，其前n项和为*nSnN nb是等差数列，已知2433315732,4,3aaaabb abb(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设数列nnSb的前n项和为*nTnN，求nT.【答案】(1)12nna，nbn；(2)21222nnnnT【解析】【分析】先根据等差数列、等比数
17、列的概念求出通项公式，再求出nnSb的通项公式，然后利用分组求和法及公式法即可求出nT.【详解】解：（1）设 na的公比为q，nb的公差为d，22a，22432244202aaa qa qqqq或1q （舍）2122nnnaaq 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-由331115731213341,abbbdbabbbdd，111nbnn na的通项公式为12nna，nb的通项公式为nbn（2）111211 21 22211 2nnnnnSaaa 21nnnSbn 212 1 201221 222nnnnnnnT.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和问题，属中
18、等难度题.19.已知函数()3sin 22sin cos6f xxxx（1）求()f x的最小正周期；（2）当,4 4x 时，求()f x的值域【答案】（1）T；（2）11,2【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域【详解】(1)31()3sin2cos2sin222f xxxx 13sin 2cos222xx sin 23x，T；(2)44x，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-52636x，11sin 232x，()f x的值域为11,2.【点睛】本题考查两角和
19、与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.20.已知数列 na的前n项和为nS，且12nn nS，*nN.（1）求证：数列 na的通项公式；（2）设11nnnba a，12nnTbbb，求nT.【答案】（1）nan；（2）1nnTn【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn即可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案【详解】解：（1）12nn nS，当1n 时，111aS，当2n 时，1nnnaSS1122n nn nn，nan，*nN；（2）11nnnba a11n n111nn
20、，11111122334nT11.1nn111n 1nn 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-【点睛】本题主要考查数列已知nS求na，考查裂项相消法求和，属于中档题 21.设 na是一个公比为q的等比数列，且14a，23a，32a成等差数列.（1）求q；（2）若数列 na前 4 项的和415S，令2nnbna（nN），求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）2q，1q （2）11 22nnTn或1514nTn n【解析】【分析】（1）根据14a，23a，32a成等差数列，得到2320qq，解得答案.（2）讨论2q和1q 两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1
21、）因为 na是一个公比为q的等比数列，所以11nnaa q.因为14a，23a，32a成等差数列，所以213642aaa即2320qq.解得2q，1q.（2）若2q，又它的前 4 和415s，得411151aqq，解得11a 所以12nna，因为22nnnbnan，（nN），231 2223 22nnTn ，234121 22 23 2122nnnTnn ，23122222nnnTn，1112221 2212nnnnTnn 若1q，又它的前 4 和415s，即1415a，1154a 因为2nnbna，（nN），所以15151 23124nTnn n.【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法
22、，意在考查学生对于数列公式方法的综合高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-应用.22.已知函数6()4f xxx（1）若不等式(ln)ln0fxax在21,1e上恒成立，求a的取值范围；（2）若函数22222log49log4yfxbx 恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点【答案】（1）52a （2）6b,函数的三个零点分别为0,2,2【解析】【分析】（1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得a的取值范围.（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解
23、代入即可求得b的值,再将b的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.【详解】（1）令lntx,由21,1ex可得2,0t 则不等式(ln)ln0fxax在21,1e上恒成立,可化为()0f tat在2,0t 上恒成立 即640tatt,变形可得2641att 所以2115633at 因为2,0t,则11,2t 所以根据二次函数的图像与性质可知 实数a满足22max115115566332332at 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-所以实数a的范围为52a （2）令22log4mx,则由对数的性质可知2m 函数22222log49log4yfxbx 的三个零点需满
24、足0y 所以22222log490log4fxbx,化简可得 290f mbm 即62490bmmm 化简可得25260mmmb 因为22222log490log4fxbx 恰好有三个实数根 则必有一根为0 x（否则根据函数的对称性可知会有四个根）即2log042m 代入方程25260mmmb可解得6b 则方程可化为2560mmm,解方程可得2m 或3m 当3m时,即22log43x,解得2x 综上可知,6b,函数的三个零点分别为0,2,2【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -1-