《勾股定理全章复习与巩固(相当经典-不容错过)教学提纲.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理全章复习与巩固(相当经典-不容错过)教学提纲.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 勾股定理全章复习与巩固(相当经典-不容错过)精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 勾股定理全章复习与巩固(学习目标)1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.(知识网络)(要点梳理)要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.（即：222abc）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.
2、要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长abc、，满足222abc，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证2c与22ab是否具有相等关系，若222abc，则ABC 是以C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数 满足不定方程222xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉
3、斯数），显然，以xyz、为三边长的三角形一定是直角三角形.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果(abc、)是勾股数，当 t 为正整数时，以atbtct、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为abc、，且abc，那么存在2abc成立.（例如中存在272425、294041 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其
4、逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.(典型例题)类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD3 5，AB10 5，BC8 5，E 是 AB 上一点，且 AE4 5，求点 E 到 CD 的距离 EF(思路点拨)连接 DE、CE 将 EF 转化为DCE 一边 CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出CDE 的面积，所以利用面积法只需求出 CD 的长度，即可求出 EF 的长度，过点 D 作 DHBC 于 H，在 RtDCH中利用勾股定理即可求出 DC(答案与解析)解：过点 D 作 DHB
5、C 于 H，连接 DE、CE，则 ADBH，ABDH，CHBCBH8 53 55 5 DHAB10 5，在 RtCDH 中，22222(10 5)(5 5)625CDDHCH，CD25，CDEADEBCEABCDSSSS梯形 111()222ADBCABADAEBCBE 111(3 58 5)10 53 54 58 56 5125222 又 12CDESDCEF，1251252EF，EF10 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (总结升华)（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长
6、、面积之间的转换 举一反三：(变式)如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB13，AD12，AC15，BD5，求 DC 的长(答案)解：在ABD 中，由22212513可知：222ADBDAB，又由勾股定理的逆定理知 ADB90 在 RtADC 中，222215129DCACAD 类型二、勾股定理与其他知识结合应用 2、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC400 米，BD200 米，CD800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？(思路点拨)作点 A关于直线 CD 的对称点 G，连接
7、 GB，交 CD于点 E，利用“两点之间线段最短”可知应在 E 处饮水，再根据对称性知 GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决 (答案与解析)解：作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB 交 CD 于点 E，由“两点之间线段最短”可以知道在 E 点处饮水，所走路程最短说明如下：直线 CD 上任意取一异于点 E 的点 I，连接 AI、AE、BE、BI、GI、GE 在精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 点 G、A 关于直线 CD 对称，AIGI，AEGE 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得 GIBIGBAEBE，于是得证 最短
8、路程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角三角形 GHB 中，GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600，由勾股定理得222228006001000000GBGHBH GB1000，即最短路程为 1000米(总结升华)这是一道有关极值的典型题目解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的 I 点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用 举一反三：(变式)如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE3，EB1，在 A
9、C 上有一点P，使 EPBP 最短求 EPBP 的最小值(答案)解：根据正方形的对称性可知：BPDP，连接 DE，交 AC 于 P，EDEPDPEPBP，即最短距离 EPBP 也就是 ED AE3，EB1，ABAEEB4，AD4，根据勾股定理得：222223425EDAEAD ED0，ED5，最短距离 EPBP5 3、等腰直角ABC 中，ACB90，E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且ECF45，如图所示：问 AE、EF、BF 之间有何关系?并说明理由 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (思路点拨)：由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若将ACE 和BCF
10、 合在一起则为一特殊角 45，于是想到将ACE 旋转到BCF 的右外侧合并，或将BCF 绕 C 点旋转到ACE 的左外侧合并，旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角，联想勾股定理而可得到 AE、EF、BF 之间的关系(答案与解析)解：(1)222AEBFEF，理由如下：将BCF 绕点 C 旋转得ACF，使BCF 的 BC 与 AC 边重合，即ACFBCF，在ABC 中，ACB90，ACBC，CAFB45，EAF90 ECF45，ACEBCF45 ACFBCF，ECF45 在ECF 和ECF中：45CECEECFECFCFCF ECFECF(SAS)，EFEF 在 RtAEF中，222AEF
11、 AF E，222AEBFEF(总结升华)若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90角内含 45角，120角内含60角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题 4、已知：如图，ABC 中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D 是垂足，求 AD 的长 (答案与解析)解：作 CEAB 于 E，则CAE18012060，在 RtACE 中，CEA90，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 AC2，ACE30由勾股定理可得1,3AECEBEABAE415 在 RtACE 中，BC 22532 7 由三角形面积公式：
12、1122AB CEBCAD4322172 7AB CEADBC.(总结升华)勾股定理要在直角三角形中才能应用，没有直角三角形要构造直角三角形.类型三、本章中的数学思想方法 1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 5、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5求线段 EF 的长.(答案与解析)解：连接 AD因为BAC90，ABAC又因为 AD 为ABC 的中线，所以 ADDCDBADBC 且BADC45 因为ED
13、AADF90又因为CDFADF90所以EDACDF所以AEDCFD（ASA）所以 AEFC5同理：AFBE12 在 RtAEF 中，由勾股定理得：，所以 EF13.(总结升华)此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (变式)已知凸四边形 ABCD 中，ABC30，ADC60，ADDC，求证：(答案)解：将ABD 绕点 D 顺时针旋转 60 由于 DCAD，故点 A 转至点 C点 B 转至点 E，连结 BE BDDE
14、，BDE60 BDE 为等边三角形，BEBD 易证DABDCE，A2，CEAB 四边形 ADCB 中ADC60，ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 2.方程的思想方法 6、如图所示，已知ABC 中，C90，A60，求、的值.(答案与解析)解：在 RtABC 中，A60，B90A30，则，由勾股定理，得.因为，所以，.(总结升华)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 举一反三：(变式)直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积.(答案)解：设此直角三角形两直角边长分别是xy，
15、根据题意得：由（1）得：7xy，249xy，即22249xxyy(3)(3)(2)，得：12xy 直角三角形的面积是12xy12126（2cm）(巩固练习)一.选择题 1.在ABC中，若1,2,122ncnbna，则ABC是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则 ABC的度数为（）A90 B60 C45 D30 3在下列说法中是错误的（）A在ABC中，CA 一B，则ABC为直角三角形 B在ABC中，若A：B：C5：2：3，则ABC为直角三角形 C在ABC中，若35ac，45bc，则ABC为直角三角形
16、 D在ABC中，若a：b：c2：2：4，则ABC为直角三角形 4若等腰三角形两边长分别为4 和 6，则底边上的高等于()A.7 B.7或41 C.24 D.24或7 5.若三角形的三边长分别等于26、2，则此三角形的面积为（）A.22 B.2 C.32 D.3 6如图，RtABC 中，C90，CDAB 于点 D，AB13，CD6，则 ACBC 等于()A.5 B.135 C.1313 D.59 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 7.已知三角形的三边长为abc、，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.2222221,4,1ambm cm B.222221,4,1ambm cm C.
17、222221,2,1ambm cm D.2222221,2,1ambm cm 8.如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BCDC5，点 P 在 BC 上移动，则当 PAPD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（）A.21717 B.C.D.3 二.填空题 9.如图，平面上 A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现 C 处有食物，已知点 C 在 A 的东南方向，在 B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从 A、B 两地出发爬向 C 处，速度都是 30cmmin.结果甲蚂蚁用了 2 min，乙蚂蚁 2 分 40 秒到达 C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_cm.1
18、0如图，AB5，AC3，BC 边上的中线 AD2，则ABC 的面积为_ 11如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB6，BC8，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC上，折痕为 AD，则 BD_ 12ABC 中，ABAC13，若 AB 边上的高 CD5，则 BC_ 13如图，长方体的底面边长分别为 1cm和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm,如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕n圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 14已知：ABC 中，AB15，AC13，BC 边
19、上的高 AD12，BC_ 15.已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A（10，0）、C（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为_ 16.如图所示，在ABC 中，AB5，AC13，BC 边上的中线 AD6，BC_.三.解答题 17.如图所示，已知 D、E、F 分别是ABC 中 BC、AB、AC 边上的点，且 AEAF，BEBD，CFCD，AB4，AC3，32BDCD，求：ABC 的面积 18有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m，8m现在要
20、将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长 19.有一块直角三角形纸片,两直角边 AC 6cm,BC 8cm,如图 1，现将纸片沿直线 AD 折叠,使直角边 AC 落在斜边 AB 上,且与 AB 重合,则 CD _.图 1 图 2 ABCHMNA C B D 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 如图 2，若将直角C 沿 MN 折叠,使点 C 落在 AB 中点 H 上,点 M、N 分别在 AC、BC 上,则2AM、2BN与2MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。20.如图 1，四根长度一定的木条，其中 AB6cm，CD15cm，
21、将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形 ABCD（在 A、B、C、D 四点处是可以活动的）。现固定 AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置。位置一：当点 D 在 BA 的延长线上时，点 C 在线段 AD 上（如图 2）；位置二：当点 C 在 AB 的延长线上时，C90（1）在图 2 中，若设 BC 的长为x，请用x的代数式表示 AD 的长；（2）在图 3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图 2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中，BC、AD 边的长 (答案与解析)一.选择题 1.(答案)D；(解析)因为22222
22、21111cannnn 422nb，所以222cab，222abc，由勾股定理的逆定理可知：ABC是直角三角形 2.(答案)C；(解析)连接AC，计算ACBC,AB,根据勾股定理的逆定理，ABC是等腰直角三角形，ABC45.3.(答案)D；(解析)D选项222224，故不是直角三角形.4.(答案)D；(解析)底边可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底边上的高为24或7.5.(答案)B；(解析)因为 222226，所以此三角形为直角三角形，面积为12222.6(答案)B；(解析)222222ACBCACBCAC BCABAB CD1692136325.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删
23、除 7.(答案)B；(解析)22141mmm.8.(答案)C；(解析)如图，过 D 点作 DEBC 于 E,则 DEAB，ADBE，ECBCBE3，在 RtCDE中，DE,延长 AB 至 F，使 ABBF，连接 DF，交 BC 于 P 点，连接 AP，这时候 PAPD 取最小值，ADBC，B 是 AF 中点，BP.在 RtABP 中，AP.二.填空题 9(答案)100；(解析)依题知 AC60cm，BC80cm，AB22226080ACBC100cm.10(答案)6；(解析)延长 AD 到 E，使 DEAD，连结 BE，可得ABE 为直角三角形 11.(答案)3；(解析)设点 B 落在 AC
24、上的 E 点处，设 BDx，则 DEBDx，AEAB6，CE4，CD8x，在 RtCDE 中根据勾股定理列方程 12(答案)26或5 26；(解析)当ABC 为锐角三角形时，2225126BCCDBD；当ABC 为钝角三角形时，22225255 26BCCDBD.13(答案)10；22 9 16n；(解析)最短绕一圈，需要2263 1 3 110cm ，绕n圈需要 222682 9 16nn.14(答案)14 或 4；当ABC 是锐角三角形时，BC9514；当ABC 是钝角三角形时，BC954.15.(答案)(3，4)；(2，4)；(8，4)(解析)以 O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1O
25、PD，因为1OP5，114PHOC，所以由勾股定理求得13OH，所以13 4p，同理，以 D 为以 O 为等腰三角形的顶点，可求出232,4,8,4PP.如图所示.精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 16(答案)2 61；(解析)延长 AD 到 M，使 DMAD，易得ABDMCD CMAB5 AM2AD12 在ACM 中22251213 即222CMAMAC AMC90在 RtDCM 中22225661CDCMDM BC2CD2 61 三.解答题 17.(解析)解：32BDCD，设 BD3x，则 CD2x，由 AEAF，BEBD，CFCD，即 AF32x，AE43x，32x43x，
26、解得x1 BC3x2x5 222ACABBC 又 222345，即 ABC 是直角三角形，A90 114 3622ABCSABAC 18(解析)解：在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6 由勾股定理得：AB10，扩充部分为 RtACD，扩充成等腰ABD，应分以下三种情况 如图 1，当 ABAD10 时，可求 CDCB6 得ABD 的周长为 32m 如图 2，当 ABBD10 时，可求 CD4 由勾股定理得：54AD，得ABD 的周长为(204 5)m 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 PHNMCBA如图 3，当 AB 为底时，设 ADBDx，则 CDx6，图 3 由勾股定
27、理得：325x，得ABD 的周长为803m 19.(解析)解：3；2AM2BN2MN 证明：过点 B 作 BPAC 交 MH 延长线于点 P,APBH 在AMH 和BPH 中 APBH AH BH AHMBHP AMHBPH AMBP，MHPH 又NHMP MNNP BPAC，C90 NBP90 222NPBNBP2AM2BN2MN 20.(解析)解：（1）在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BCx，在图 2 中，ACBCABx6，ADACCDx9 （2）位置二的图形见图 3 （3）在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，在图 3 中，BCx，ACABBC6x，ADx9 在ACD 中，C90 由勾股定理得222ACCDAD 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 222(6)15(9)xx 整理，得2212362251881xxxx 化简，得 6x180 解得 x30 即 BC30 AD39