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1、精选优质文档-倾情为你奉上勾股定理全章复习与巩固(学习目标)1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.(知识网络)(要点梳理)要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论
2、和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证与是否具有相等关系，若，则ABC是以C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾
3、股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.(典型例题)类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一点，且AE，求点E到CD的距离EF(思路点拨)
4、连接DE、CE将EF转化为DCE一边CD上的高，根据题目所给的条件，容易求出CDE的面积，所以利用面积法只需求出CD的长度，即可求出EF的长度，过点D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC(答案与解析)解：过点D作DHBC于H，连接DE、CE，则ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又 ， ， EF10(总结升华)（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换 举一反三：(变式)如图所示，在ABC中，D是BC边上的点，已知AB1
5、3，AD12，AC15，BD5，求DC的长(答案)解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC400米，BD200米，CD800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？(思路点拨)作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决(答案与解析)解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E
6、，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE 点G、A关于直线CD对称， AIGI，AEGE由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GIBIGBAEBE，于是得证最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程为1000米(总结升华)这是一道有关极值的典型题目解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选
7、一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用举一反三：(变式)如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE3，EB1，在AC上有一点P，使EPBP最短求EPBP的最小值(答案)解：根据正方形的对称性可知：BPDP，连接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距离EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根据勾股定理得： ED0， ED5， 最短距离EPBP53、等腰直角ABC中，ACB90，E、F为AB上两点(E左F右)，且ECF45，如图所示：问AE、EF、BF之间有何关系?并说明理由(思路点
8、拨)：由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若将ACE和BCF合在一起则为一特殊角45，于是想到将ACE旋转到BCF的右外侧合并，或将BCF绕C点旋转到ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理而可得到AE、EF、BF之间的关系(答案与解析)解：(1)，理由如下： 将BCF绕点C旋转得ACF，使BCF的BC与AC边重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF和ECF中： ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， (总结升华)若一个角
9、的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90角内含45角，120角内含60角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题4、已知：如图，ABC中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的长(答案与解析)解：作CEAB于E，则CAE18012060，在RtACE中，CEA90，AC2，ACE30由勾股定理可得BEABAE415在RtACE中，BC由三角形面积公式：. (总结升华)勾股定理要在直角三角形中才能应用，没有直角三角形要构造直角三角形.类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行
10、推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决5、如图所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE12，CF5求线段EF的长.(答案与解析)解：连接AD因为BAC90，ABAC又因为 AD为ABC的中线，所以 ADDCDBADBC且BADC45因为EDAADF90又因为CDFADF90所以EDACDF所以AEDCFD（ASA）所以 AEFC5同理：AFBE12在RtAEF中，由勾股定理得：，所以EF13.(总结升华)此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所
11、求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：(变式)已知凸四边形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求证： (答案)解：将ABD绕点D顺时针旋转60由于DCAD，故点A转至点C点B转至点E，连结BE BDDE，BDE60 BDE为等边三角形，BEBD易证DABDCE，A2，CEAB 四边形ADCB中ADC60，ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 2.方程的思想方法6、如图所示，已知ABC中，C90，A60，求、的值. (答案与解析)解：在RtABC中，A60，B90A30，则 ，由勾股定理，得.因为 ，
12、所以，.(总结升华)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三：(变式)直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.(答案)解：设此直角三角形两直角边长分别是，根据题意得：由（1）得：，即 (3)(3)(2)，得：直角三角形的面积是126（）(巩固练习)一.选择题1. 在中，若，则ABC是（ ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60 C45 D303在下列说法中是错误的（ ） A在ABC中，CA一B，则ABC为直角三角形 B在ABC中，若
13、A：B：C5：2：3，则ABC为直角三角形 C在ABC中，若，则ABC为直角三角形 D在ABC中，若a：b：c2：2：4，则ABC为直角三角形4若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A. B.或 C. D.或5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（ ）A. B. C. D.6如图，RtABC中，C90，CDAB于点D，AB13，CD6，则ACBC等于( )A.5 B. C. D.7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 如图，已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PA
14、PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A. B. C.D.3二.填空题9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_.10如图，AB5，AC3，BC边上的中线AD2，则ABC的面积为_11如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB6，BC8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD_12ABC中，ABAC13，若AB边上的高CD5，则BC_13如图，长方体的底面
15、边长分别为1和3，高为6如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_.14已知：ABC中，AB15，AC13，BC边上的高AD12，BC_15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_16. 如图所示，在ABC中，AB5，AC13，BC边上的中线AD6，BC_.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是ABC中BC、AB、AC边上
16、的点，且AEAF，BEBD，CFCD，AB4，AC3，求：ABC的面积18有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长19. 有一块直角三角形纸片, 两直角边AC 6, BC 8, 如图1，现将纸片沿直线AD折叠, 使直角边AC落在斜边AB上, 且与AB重合, 则CD _. ACBD 图1 图2 如图2，若将直角C沿MN折叠, 使点C落在AB中点H上, 点M、N分别在AC、BC上, 则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB6，CD15，将这四根木
17、条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）。现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置。位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，C90（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长(答案与解析)一.选择题1.(答案)D；(解析)因为4，所以，由勾股定理的逆定理可知：ABC是直角三角形2.(答案)C；(解析)连接AC，计算ACB
18、C ,AB,根据勾股定理的逆定理，ABC是等腰直角三角形，ABC45.3.(答案)D；(解析)D选项，故不是直角三角形.4.(答案)D； (解析)底边可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底边上的高为或.5.(答案)B；(解析)因为，所以此三角形为直角三角形，面积为.6(答案)B；(解析)1692136325.7.(答案)B； (解析).8.(答案)C；(解析)如图，过D点作DEBC于E,则DEAB，ADBE，ECBCBE3，在RtCDE中，DE,延长AB至F，使ABBF，连接DF，交BC于P点，连接AP，这时候PAPD取最小值，ADBC，B是AF中点，BP.在RtABP中，AP.二.填空题9(
19、答案)100；(解析)依题知AC60，BC80， AB100.10(答案)6；(解析)延长AD到E，使DEAD，连结BE，可得ABE为直角三角形11.(答案)3；(解析)设点B落在AC上的E点处，设BD，则DEBD，AEAB6，CE4，CD8，在RtCDE中根据勾股定理列方程12(答案)或； (解析)当ABC为锐角三角形时，；当ABC为钝角三角形时，.13(答案)10； (解析)最短绕一圈，需要，绕圈需要.14(答案)14或4；当ABC是锐角三角形时，BC9514；当ABC是钝角三角形时，BC954.15.(答案)(3，4)；(2，4)；(8，4)(解析)以O为等腰三角形的顶点，作等腰三角形，
20、因为5，所以由勾股定理求得，所以，同理，以D为以O为等腰三角形的顶点，可求出.如图所示.16(答案)；(解析)延长AD到M，使DMAD，易得ABDMCD CMAB5 AM2AD12在ACM中 即 AMC90在RtDCM中 BC2CD三.解答题17.(解析)解： ，设BD3，则CD2，由AEAF，BEBD，CFCD，即AF32，AE43， 3243，解得1 BC325又 ，即 ABC是直角三角形，A90 18(解析)解：在RtABC中，ACB90，AC8，BC6由勾股定理得：AB10，扩充部分为RtACD，扩充成等腰ABD，应分以下三种情况如图1，当ABAD10时，可求CDCB6得ABD的周长为
21、32如图2，当ABBD10时，可求CD4由勾股定理得：，得ABD的周长为如图3，当AB为底时，设ADBD，则CD6，图3由勾股定理得：，得ABD的周长为19. (解析)解：3； 证明：过点B作BPAC交MH延长线于点P, APBH 在AMH和BPH中 APBH AHBH AHMBHP AMHBPH AMBP，MHPH 又NHMP MNNP BPAC，C90 NBP90 20.(解析) 解：（1） 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，BC， 在图2中，ACBCAB6，ADACCD9 （2）位置二的图形见图3 （3） 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变， 在图3中，BC，ACABBC6，AD9在ACD中，C90由勾股定理得 整理，得化简，得6180解得 30即 BC30 AD39专心-专注-专业