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1、-菏泽学院 HezeUniversity 本科生毕业设计（论文）题 目 中学数学最值应用的方法 姓 名 耿晓军学号 200807011 系 别 数学系 专 业 数学与应用数学 指导教师 洪宪涛 职称 2012 年 4 月 16 日 菏泽学院教务处制 -目 录 摘要1 关键词1 引言 1 1 材料与方法1 1.1 研究内容1 1.2 研究方法1 1.2.1 建立目标函数，利用函数求最值 2 1.2.2 分类讨论法3 1.2.3 数与形的结合4 1.2.4 利用配方法5 1.2.5 通过解不等式6 1.2.6 运用函数判别法7 2 探讨8 3 小结8 参考文献8 致谢8 -中学数学最值应用的方法
2、数学与应用数学专业学生 耿晓军 指导教师 洪宪涛 摘要：在现实我们的日常生活中，经常碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题，这些生活问题我们可以转化为求函数或线段的最大值或最小值的数学问题，这些问题涉及概念多，知识面广，综合性强，解决起来需要一定的技巧。解决这些问题可以培养我们的数学思想方法，提高我们的数学思维能力。本文介绍了解决中学数学最值应用有关的一些常用方法。关键词：生活问题；最值；数学思想方法；数学思维能力 引言：在生活实际中，我们经常要考虑一些在一定条件下怎么是路程最近，方案最优，消耗成本最低，使利益最大，行走速度最快，周长面积最大或最小等等诸如此类的问题，也就是最值问题。
3、最值问题是中学数学解题中遇见的最普遍，最重要的题型之一，而且表现形式和解决办法也是千变万化。我们可以通过很多数学方法解决很多最值问题的在我们日常生活中的应用。中学数学最值应用的方法 Student majoring in 数学与应用数学 Name 耿晓军 Tutor 洪宪涛 Abstract：在现实我们的日常生活中，经常碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题，这些生活问题我们可以转化为求函数或线段的最大值或最小值的数学问题，这些问题涉及概念多，知识面广，综合性强，解决起来需要一定的技巧。解决这些问题可以培养我们的数学思想方法，提高我们的数学思维能力。本文介绍了解决中学数学最值应用有关
4、的一些常用方法。Keywords:生活问题；最值；数学思想方法；数学思维能力 1 材料与方法 1.1 研究内容：本文主要是研究中学数学中遇到的最值极值问题应用解决方法。其研究内容分以下几个方面（1）生活中所遇到的最值问题转化为数学问题；（2）根据不同的最值问题提出合理的解决方法；1.2 研究方法：-根据数学工作者们以前研究数学的最值问题方面积攒下来的技巧和方法，结合中学数学教学大纲的有关知识和方法，归纳总结出解决数学中最值问题的基本方法。1.21 建立目标函数，利用函数求最值 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，实际问题抽象成数学问题建立函数，
5、再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值 例 1 某加工厂计划为希望小学生产A，B 两种型号的学生桌椅 500 套，以解决 1250名学生的学习问题，一套 A 型桌椅（一桌两椅）需木料 0.5m3，一套 B 型桌椅（一桌三椅）需木料 0.7m3，工厂现有库存木料 302m3。（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往希望小学，已知每套 A 型桌椅的生产成本为 100元，运费 2 元；每套 B 型桌椅的生产成本为 120 元，运费 4 元，求总费用 y（元）与生产 A 型桌椅 x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用=生产成本+运费）解析：（1）
6、设生产 A 型桌椅 x 套，则生产 B 型桌椅（500 x）套，由题意得 0.50.7(500)30223(500)1250 xxxx 解得 240 x250，因为 x 是整数，所以有 11 种生产方案；（2）y=（100+2）x+（120+4）（500 x）=22x+62000.k=22x0.y 随 x 的增大而减少，当 x=260 时，y 有最小值。-即当生产 A 型桌椅 250 套，B 型桌椅 250 套时，总费用最少。最少的总费用 56500元。例 2 已知：抛物线 y=ax22ax+c(a0)与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点 A，B，点 A 的坐标为（4，0）。（1）
7、求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ。当CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标。解析：（1）由题意，得 16804aacc 解得124ac 所求抛物线的解析式为：2142yxx；（2）设点 Q 的坐班为（m，0），过点 E 作 EGx 轴于点 G。由21402xx，得122,4xx B 的坐标为（2，0），AB=6，BQ=m+2.QEAC，BQEBAC，EGBQCOBA，即246EGm EG=243m，SCQE=SCBQSEBQ OYXABCEQG-=12BQCO12BQEG=12（m+2）(2443m)=212833
8、3mm a=130，SCQE有最大值。即当 m=1 时，SCQE有最大值为 3，此时 Q（1，0）。12.2 分类讨论法 很多问题存在一些不确定因素，这时经常用到分类讨论的方法按照一定的原则或标准划分为若干类、然后逐一求解，再综合结论从而求解。例 3 已知 0a4，那么23aa的最大值等于（）（A）1 （B）5 （C）8 （D）3 解析：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义，a=2,a=3 是两个零点，结合 0a4 分成 0a2，2a3，3a4 三段讨论：当 0a2 时，原式=52a，当 a=0 时达到最大值 5；当 2a3 时，原式=1；当 3a4 时，原式=2a5
9、，当 a=4 时达到最大值 3.综合在 0a4 范围，原式的最大值为 5，所以选 B。1.2.3 数与形的结合 在有些代数问题条件中可以发现，很多数量关系有明显的几何意义，或以某些方式与几何图形相关联，我们可以通过作出与其相关的几何图形，运用代数思想与几何思想的完美结合，更直观的展现问题所在，从而解决问题。例 4 如图，四边形ABCD是正方形地域，边长为 4km，地域内有一条小河MD，其经过的路途是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.新长城-公司准备投资建一个大型炬形游乐园PQCN（如图所示）问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积.解析：以M为原点，AB 所在直线
10、为 y 轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程pxy22。四边形ABCD 是边长为 4 的正方形，M 为 AB 中点，点 D 坐标为（4,2）由此得 42p4 21p 抛物线方程为)40(2xxy 设)20)(,(2 yyyP是曲线 MD 上任一点，则 24,2yPNyPQ 矩形游乐园面积-SPQyyyyyPN428)4)(2(232 对 S 求导，得 4432yyS 令0S，得 04432yy 解之得 ,32y或2y,20 y 32y 当)32,0(y时，0S，函数为增函数；当)2,32(y时，0s，函数为减函数；所以当32y时，S 有最大值。此时，,383222yPQ 932)32(442
11、2yPN 游乐园最大面积为)(27256932382maxkmS 1.2.4 利用配方法 这 是 一 种 应 用 甚 广 的 基 本 方 法，也 是 处 理 多 元 函 数 最 值 题 的 一 种 有效 方 法。将已知代数式（等式）配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解决。例 5 设 x、y 为实数，代数式 5x2+4y28xy+2x+4 的最小值为_。解析：配方得 原式=2（x22xy+y2）+x2+2x+4=4（xy）2+（x+1）2+3-显见，当 x=1，y=1 时，原式有最小值 3。1.2.5 通过解不等式 一些要求最大利益，最优方案生活问题，可根据题意把实际问题
12、转化为不等式模型，从而求出某些量的取值范围，再结合函数性质求解。例 6：某加工厂以每吨 3000 元的价格购进 50 吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为 600 元，需13天，每吨售价 4000 元；若进行精加工，每吨加工费用为900 元，需12天，每吨售价为 4500 元，现将这 50 吨原料全部加工完。（1）设其中粗加工 x 吨，获利 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。（2）如果必须在 20 天内完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？解析：粗加工 x 吨，则细加工为（50 x）吨，粗加工每吨利润为（40003000）元，细加工每吨利润为（45003000）元。则 y
13、=（40003000）x600 x+（45003000）（50 x）900（50 x）=200 x+30000 由题意知：13x+12（50 x）20，得 x30，30 x50。当 x=30 时，最大值 y=20030+3000=2400（元）。故粗加工303=10（天），精加工50302=10（天）所以 10 天粗加工，10 天精加工可获得最大利润，最大利润是24000 元。-例 7 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的利润，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资 A、B 两个项目，根据预测，A、B 项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%
14、，投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对 A、B 两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析：设投资人分别用yx万元、万元投资 A、B 两个项目，由题意知0,0,5.11.03.0,10yxyxyx 目标函数yxz5.0 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域 作直线00,05.0:lyxl关作平行于直线的一组直线,5.0Rzzy与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，此时纵截距最大，这里点 M 是直线8.11.03.010yyx和的交点。解方程组-8.11.03.0,10yxyx 得 6,4yx
15、此时765.04z(万元)。6,4yx当时z取得最大值。答：投资人用4 万元投资 A 项目、6 万元投资 B 项目，才能在确保可能的亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。1.2.6 运用函数判别法 这种方法是在求分式最值而且还能把函数化间一元二次函数的形式。在中学数学的学习中应用颇为普遍，学习也易掌握。例 8：已知函数 y=1 x-x x-x 22求其最值。分析：从整体函数看，其自变量为 x 是二次函数 通过整理得 x 2yx+y=x 2x （y1）x 2+（1y）x+y=0 x R 然后运用到“”求 y 的取值从而达到解题目的。解：由1 x-x x-x 22得（y1）x 2+（
16、1y）x+y=0 y=1 时 x 无解 必须使得=（1y）24y（y1）0 31 y 1 y 1 y 最小值等于31 2 探讨 我们的日常生活中无处不存在数学的最值问题，将这些问题与数学完美的结合在一起，选择更为合适中学数学中解决最值的方法来解决日常生活问题，要做到活学活用。3 小结 本文介绍了几种中学数学中最常用到的方法来解决最值问题的应用。总之，中学数学最值问题具有很大的灵活性，关键是要找准正确数学思想方法为-指导，切入问题的关键，建立合适的解决问题的数学模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题由难转化为易，由复杂转化为简单，从而使问题得到更好的解决。参考文献【1】李继.构造解几模型 求函数最值（高二、高三）J.数理天地(高中版),2005(04):10.【2】李士芳.解析几何中的最值问题.北京工业职业技术学院学报 2006(04):18-20.【3】李海港、张传法.利用均值不等式求最值的技巧J.高中数学教与学,2006(06):16-17.【4】秦晓辉最值问题的解法与应用 赤峰学院学报 2006 年 6 月【5】熊光汉.立体几何中求最值方法种种.数学通报,1993(11),1994(2).致谢 感谢菏泽学院数学系的洪宪涛老师参与论文所作出修改与指导，再次表示深切的感谢