《排列组合题型总结与易错点提示_1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合题型总结与易错点提示_1.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有25C种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A 练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之
2、间,这样的五位数有多少个 解：把,当作一个小集团与排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法 .15243 练习题：.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2.5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A种 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。
3、相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班 练习题：110 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法 49C 2.100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数 3103C 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种 解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有35C,
4、只含有 1 个偶数的取法有1255C C,和为偶解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗 将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC 数的取法共有123555C CC。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有1235559C CC 练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种 十二.平均分组问题除法策略 例 12.6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有
5、多少分法 解:分三步取书得222642C C C种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C CA种分法。练习题：1 将 13个球队分成3 组,一组5 个队,其它两组4 个队,有多少分法（544213842/C C CA）名学生分成3 组,其中一组4 人,另两组3
6、人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_ （22224262/90C C AA）十三.合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8 人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2 人唱歌2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2233C C种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员112534C C C种,只会
7、唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有 22112223353455C CC C CC C种。练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出4 人参加某个座 谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,
8、而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数)避免重复计数。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种 解：把此问
9、题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有35C 种 练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种（120）十五.实际操作穷举策略 例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理
10、3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有252C种 534 3 号盒 4 号盒 5 号盒 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 十六.分解与合成策略 例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除 分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113，依题意可知偶 因 数 必 先 取 2,再 从 其 余 5 个 因 数 中 任 取 若 干 个 组 成 乘 积，所 有 的 偶 因 数 为：1234555555CCCCC 练习:正方体的 8 个顶点可连成
11、多少对异面直线 解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共481258C,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成3 58174对异面直线 十七.数字排序问题查字典策略 例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数 解:297221122334455AAAAAN 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策
12、略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71个数是 3140 十八.树图策略 例 193人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 10N 练习:分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中i号人不坐i
13、号椅（54321,i）的不同坐法有多少种44N 十九.复杂分类问题表格策略 例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:二十：住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每
14、个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得 75种.排列组合易错题正误解析 1 没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1 从 6 台原装计算机和5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.（A）34A?（B）34?（C）43?（D）34C 2 判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，对于条件比
15、较复杂的排列组合问题，不易用 红 1 1 1 2 2 3 黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1415CC 2415CC 3415CC 1325CC 2325CC 1235CC 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法 3 重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 4 5 本不同的书全部分给 4 个学
16、生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A）480?种?（B）240 种?（C）120 种?（D）96 种 例 5 某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（）种.（A）5040?（B）1260?（C）210?（D）630 4 遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例 6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（）（A）36 个?（B）48 个?（C）66 个?（D）72 个 5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个
17、字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）6 未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A)(B)1023种(C)1536种(D)1535种 7 题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.（A）5536AA?（B）3366
18、88AAA?（C）3335AA?（D）4688AA 8 解题策略的选择不当出错 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（A）16 种 （B）18 种 （C）37 种 （D）48 种 1 3 2 5 4 排列与组合习题 16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为()A40 B50 C60 D70 2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 3 只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规
19、定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个 B9 个 C18 个 D36 个 4男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有()A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有()A45 种 B36 种 C28 种 D25 种 6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同
20、的分配方案共有()A24 种 B36 种 C38 种 D108 种 7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36 9如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)1
21、1今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的排法(用数字作答)12将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)13 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答)14.将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 15.某单位安
22、排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A.504 种 B.960 种 C.1008 种 D.1108 种 16.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C）108 （D）144 17.在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信
23、息个数为 18.现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A152 19.甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有()（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的
24、种数为 .18A .24B .30C .36D 22.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28 24.12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（）A155 B355 C14 D13 25.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）26.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征
25、完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（）A891 B2591 C4891 D6091 27.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）28.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A10种 B20种 C36种 D52种 29.将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多2 名，则不同的分配方案有（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种 30.某校从8 名教师中选派
26、4 名教师同时去4 个边远地区支教(每地1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 31.用数字0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有 个（用数字作答）32有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种 346 男 4 女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种(1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法 35.已知nm,是正整数，nmxxxf)1()1()(的展开式中x的系数为 7，（1）试求)(xf中的2x的系数的最小值（2）对于使)(xf的2x的系数为最小的nm,，求出此时3x的系数（3）利用上述结果，求)003.0(f的近似值（精确到）