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1、1 排列组合复习巩固1. 分类计数原理 ( 加法原理 ) 完成一件事，有n类办法，在第1 类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmmL种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1 步有1m种不同的方法，做第2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmmL种不同的方法3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事
2、件一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元
3、素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A种不同的排法乙甲丁丙练习题 : 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有55A种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有5456A A种练习题：某班新年联欢会原定的5 个节
4、目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法 ) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：7373/AA( 空位法 ) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有47A种方法。思考 : 可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法 ) 先排甲乙丙三个
5、人, 共有 1 种排法 , 再把其余 4 四人依次插入共有方法练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排5 人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五. 重排问题求幂策略C14A34C13要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
6、 - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2 例 5. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习 ,共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步: 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 . 把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法87六. 环排问题线排策略例 6. 8人围桌而坐 ,
7、共有多少种坐法 ? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有（8-1） ！种排法即7！HFDCAABCDEABEGHGF练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排, 丙在后排 ,共有多少排法解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排. 个特殊元素有24A种, 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有14A种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有55A种, 则共有215445A A A种前 排后
8、 排练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法. 解:第一步从5 个球中选出2 个组成复合元共有25C种方法 .再把 4 个元素 ( 包含一个复合元素) 装入 4 个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6 名战士 ,其中正副班长各1 人现从中选4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副
9、班长有且只有1人参加 , 则不同的选法有 192 种九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？解：把 , , , 当作一个小集团与排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法 .15243练习题：. 计划展出 10 幅不同的画 ,其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起， 并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A允许重复的排列问题的特点是以元素为
10、研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)! 种排法 .如果从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mnAn一般地 ,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究 . 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -
11、3 2. 5 男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有255255A A A种十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班练习题：1 10个相同的球装5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？49C2 .100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数3103C十一 . 正难则反总体淘汰策略例 11. 从 0,1,2,
12、3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数 , 不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有3 个偶数的取法有35C,只含有1 个偶数的取法有1255C C, 和为偶数的取法共有123555C CC。再淘汰和小于10 的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C CC练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ? 十二 . 平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均分成3 堆, 每堆
13、2 本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C种方法 ,但这里出现重复计数的现象, 不妨记 6 本书为 ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取 CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF), 则222642C C C中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法 , 而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法 , 故共有22236423/C C CA种分法。练习题：1 将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 ,其它两组4 个队 , 有多少分法？（544213842/C C CA
14、）2.10 名学生分成3 组, 其中一组4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组, 有多少种不同的分组方法（1540）3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为_ （22224262/90C C AA）十三 . 合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共10 名演员 ,其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解：10演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5 人中没有人选上唱歌人员共有2
15、233C C种, 只会唱的5 人中只有1 人选上唱歌人员112534C C C种, 只会唱的5 人中只有2 人选上唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种。将 n 个相同的元素分成m 份（ n，m 为正整数） ,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有分法数为11mnC有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰 . 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数 )避免重复计数。解含有
16、约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 4 练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘3 人, 2 号船最多乘2 人,3 号船只能乘1 人, 他们任选 2
17、 只船或 3 只船 , 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3 人共有多少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四 . 构造模型策略例 14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的3 盏, 但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入3 个不亮的灯有35C种练习题：某排共有10 个座位，若4 人就坐，每人左
18、右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五 . 实际操作穷举策略例 15. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法解：从 5 个球中取出2 个与盒子对号有25C种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球 , 3,4,5号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时 ,4,5号球有也只有1 种装法 , 由分步计数原理有252C种5343 号盒 4号盒 5号盒练习
19、题：1. 同一寝室 4 人, 每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2. 给图中区域涂色,要求相邻区域不同色 , 现有 4 种可选颜色 ,则不同的着色方法有 72 种54321十六 . 分解与合成策略例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113，依题意可知偶因数必先取2, 再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555CCCCC练习 :正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8 个顶点中任取4 个顶点构成四
20、体共有体共481258C, 每个四面体有3 对异面直线 , 正方体中的8 个顶点可连成3 58174对异面直线十七 . 化归策略例 17. 25人排成 55 方阵 ,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？解： 将这个问题退化成9 人排成 33 方阵 , 现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 有多少选法 . 这样每行必有1 人从其中的一行中选取1 人后 ,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题. 从 55 方队中选取3 行 3 列有33
21、55C C选法所以从55 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有3311155321C C C C C选法。一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
22、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 5 练习题 : 某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到 B的最短路径有多少种？(3735C) BA十八 . 数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？解:297221122334455AAAAAN练习 :用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来, 第 71 个数是 3140 十九 . 树图策略例 193人相互传球, 由甲开
23、始发球, 并作为第一次传球, 经过5次传求后 , 球仍回到甲的手中, 则不同的传球方式有_ 10N练习 : 分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（54321,i）的不同坐法有多少种？44N二十 . 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各5 只, 分别标有 A、B、C、D、E五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法解: 二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例 21. 七名学生争夺
24、五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7 家“店”，五项冠军看作5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得75种. 排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1 从 6 台原装计算机和5 台组装计算机中任意选取5 台, 其中至少有原装与组装计算机各两台, 则不同的取法有种.误解：因为可以取2 台原装与 3 台组装计算机或是3 台原装与 2 台组装计算机，所以只有2
25、种取法 .错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2 台原装与 3 台组装计算机或是3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解： 由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2 台，有26C种方法；第二步是在组装计算机任意选取3 台，有35C种方法，据乘法原理共有3526CC种方法 . 同理，完成第二类办法中有2536CC种方法 . 据加法原理完成全部的选取过程共有3526CC3502536CC种方法 . 例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种 .（A）34A（B）34（C
26、）43（D）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.正解： 四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3 种选取方法，由乘法原理共有433333种.处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用红1 1 1 2 2 3 黄1 2 3 1 2 1 兰3 2 1 2 1 1 取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1
27、235CC一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手 ,经常出现重复遗漏的情况,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效果 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 6 说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4 种夺冠可能 .2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有
28、顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的3 个红色小球和5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8 个小球的全排列，所以共有88A种方法 .错因分析：误解中没有考虑3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解： 8 个小球排好后对应着8 个位置，题中的排法相当于在8 个位置中选出3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638C排法.3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例
29、4 5 本不同的书全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A）480 种（B）240 种（C）120 种（D）96 种误解：先从5 本书中取 4 本分给 4 个人，有45A种方法，剩下的1 本书可以给任意一个人有4 种分法，共有480445A种不同的分法，选 A.错因分析：设5 本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1 和表 2：表 1 是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况； 表 2 是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况 .这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况
30、。正好重复了一次.正解： 首先把 5 本书转化成 4 本书，然后分给4 个人 .第一步：从5 本书中任意取出2 本捆绑成一本书，有25C种方法；第二步：再把 4 本书分给 4 个学生，有44A种方法 .由乘法原理，共有25C24044A种方法，故选B.例 5 某交通岗共有3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）种 .（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630 误解：第一个人先挑选2 天，第二个人再挑选2 天，剩下的3 天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：1260332527ACC，选 B.错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第
31、一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解：6302332527ACC种.4 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例 6 用数字 0，1，2，3， 4 组成没有重复数字的比1000 大的奇数共有（）（A）36 个（B）48 个（C）66 个（D）72 个误解：如右图，最后一位只能是1 或 3 有两种取法，又因为第1 位不能是 0，在最后一位取定后只有3 种取法，剩下 3 个数排中间两个位置有23A种排法，共有363223A个.错因分析：误解只
32、考虑了四位数的情况，而比1000 大的奇数还可能是五位数.正解： 任一个五位的奇数都符合要求，共有363233A个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72 个，选 D.5 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7 如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有4 种方法，剩下3 种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有1222213AC种，由乘法原理共有：48124种. 错因分析：没有看清
33、题设“有4 种颜色可供选择” ，不一定需要4 种颜色全部使用，用3 种也可以完成任务 . 正解： 当使用四种颜色时，由前面的误解知有48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4 种颜色中选取3 种有34C种方法，先着1 3 2 5 4 乙丙丁a甲edcb表1 乙丙丁a甲edcb表2 0 1， 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 7 色第一区域，有3 种方法，剩下2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4 区域，另一种颜色涂第3
34、、5 区域，有 2 种着色方法，由乘法原理有242334C种.综上共有：722448种.例 8 已知02bax是关于x的一元二次方程，其中a、 4,3,2, 1b，求解集不同的一元二次方程的个数.误解：从集合4,3 ,2, 1中任意取两个元素作为a、b，方程有24A个，当a、b取同一个数时方程有1 个，共有13124A个.错因分析： 误解中没有注意到题设中： “求解集不同的” 所以在上述解法中要去掉同解情况，由于4221baba和同解、2412baba和同解，故要减去2 个。正解： 由分析，共有11213个解集不同的一元二次方程.6 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏
35、漏就会出错.例9 现有 1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币 2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A)1024种(B)1023种 (C)1536种 (D)1535种误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有10231210种.错因分析：这里 100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况 .正解： 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况， 100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有15351329种.7 题意的理解偏差出
36、错例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种 .（A）5536AA（B）336688AAA（ C）3335AA（D）4688AA误解：除了甲、乙、丙三人以外的5 人先排，有55A种排法， 5 人排好后产生6 个空档，插入甲、乙、丙三人有36A种方法，这样共有5536AA种排法，选A.错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况 . “甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数， 就得到甲、 乙、 丙三人
37、不相邻的方法数，即336688AAA，故选 B.8 解题策略的选择不当出错例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（A）16 种（B）18种（C）37 种（D）48 种误解：甲工厂先派一个班去，有3 种选派方法，剩下的2 个班均有 4 种选择，这样共有48443种方案 .错因分析：显然这里有重复计算.如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与b班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解： 用间接法 .先计算 3 个班自
38、由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：37333444种方案 .排列与组合习题16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为() A40B50C60D70 解析 先分组再排列，一组2 人一组 4 人有 C2615 种不同的分法；两组各3 人共有C36A2210 种不同的分法，所以乘车方法数为25250，故选 B. 2有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A36 种B48 种C72 种D96 种解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A2472 种排法，故选C. 3
39、只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A6 个B9 个C18 个D36 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 8 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C133(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C236(种)排法，所以共有3618(种)情况，即这样的四位数有18 个4男女学生共有8
40、 人，从男生中选取2 人，从女生中选取1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有() A2 人或 3 人B3 人或 4 人C3 人D4 人解析 设男生有 n 人，则女生有 (8n)人，由题意可得C2nC18n30，解得 n5 或 n6，代入验证，可知女生为2 人或 3 人5 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级， 上楼可以一步上一级， 也可以一步上两级， 若规定从二楼到三楼用8 步走完，则方法有 () A45 种B36 种C28 种D25 种解析 因为 10 8 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有2 步，那么共有C2828 种走法6某公司招聘来8 名员工，平均分配
41、给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有() A24 种B36 种C38 种D108 种解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将3 名电脑编程人员分成两组，一组1 人另一组 2 人，共有 C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有 2C13A22C1336(种)7已知集合A
42、5 ，B1,2 ，C1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 () A33 B34 C35 D36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C12 A3312 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C12 A33A3318 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C133 个故共有符合条件的点的个数为1218333 个，故选 A. 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是() A72 B96 C108 D144 解析 分两类：若1 与 3 相邻
43、，有 A22 C13A22A2372(个)，若 1 与 3 不相邻有 A33 A3336(个) 故共有 7236108 个9如果在一周内 (周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A50 种B60 种C120 种D210 种解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种： (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安
44、排方法 C16 A25120 种，故选 C. 10安排 7 位工作人员在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有 _种 (用数字作答 ) 解析 先安排甲、乙两人在后5 天值班，有A2520(种)排法，其余5 人再进行排列，有A55120(种)排法，所以共有201202400(种)安排方法11今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有_种不同的排法 (用数字作答 ) 解析 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49 C25 C331260(种)排法1
45、2将 6 位志愿者分成4 组，其中两个组各2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答 )解析 先将 6 名志愿者分为4 组，共有C26C24A22种分法，再将4 组人员分到4 个不同场馆去，共有 A44种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 9 分法，故所有分配方案有：C26 C24A22 A441 080 种13要在如图所示的花圃中的5 个区域中种入4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同
46、色，有_种不同的种法 (用数字作答 )解析 5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法若 1、 3 同色， 2 有 2 种种法，若 1、 3 不同色，2 有 1 种种法，有 432(1211)72 种14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B. 15. 某单位安排7 位员工在10 月 1 日至 7 日值班，
47、每天1 人，每人值班1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在10 月 7 日，则不同的安排方案共有A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有4414222AAA种方法甲乙排中间 ,丙排 7 号或不排 7 号，共有)(43313134422AAAAA种方法故共有 1008 种不同的排法16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C） 108（D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析：先选一个偶
48、数字排个位，有3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 若 5 在十位或十万位，则1、3 有三个位置可排，32232A A24 个若 5 排在百位、千位或万位，则1、3 只有两个位置可排，共32222A A12 个算上个位偶数字的排法，共计3( 2412) 108 个答案： C17. 在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.15 18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事
49、翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152 B.126 C.90 D.54 【解析】 分类讨论： 若有 2 人从事司机工作， 则方案有233318CA；若有 1 人从事司机工作， 则方案有123343108CCA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确19. 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种（B）180 种（C）300 种(D)
50、345 种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 10 解: 分两类 (1)甲组中选出一名女生有112536225CCC种选法 ; (2)乙组中选出一名女生有211562120CCC种选法 . 故共有 345 种选法 . 选 D20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的