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1、精品 微积分练习册第八章多元函数微分学 习题 8-1 多元函数的基本概念 1.填空题：（1）若yxxyyxyxftan),(22，则_),(tytxf（2）若xyyxyxf2),(22，则(2,3)_,(1,)_yffx（3）若)0()(22yyyxxyf，则_)(xf（4）若22),(yxxyyxf，则_),(yxf（5）函数)1ln(4222yxyxz的定义域是_（6）函数yxz的定义域是_(7)函数xyzarcsin的定义域是_（8）函数xyxyz2222的间断点是_ 2.求下列极限：（1）xyxyyx42lim00 (2)xxyyxsinlim00(3)22222200)()cos(1
2、limyxyxyxyx 3.证明0lim22)0,0(),(yxxyyx 4.证明：极限0lim242)0,0(),(yxyxyx不存在 精品 5.函数(0,0),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyxf在点（0，0）处是否连续？为什么 习题 8-2 偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题（1）设yxztanln，则_,yzxz;（2）设)(yxezxy，则_,yzxz;（3）设zyxu，则_,_,zuyuxu;（4）设xyaxcztan，则_,_,22222yxzyzxz（5）设zyxu)(，则_2yxu;（6）设),(yxf在点),(ba处的偏导数存在，则_),()
3、,(lim0 xbxafbxafx 2.求下列函数的偏导数 yxyz)1()1(zyxu)arcsin()2(3.设xyz，求函数在（1，1）点的二阶偏导数 4.设)ln(xyxz，求yxz23和23yxz 5.)11(yxez，试化简yzyxzx22 精品 6.试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,3),(22yxyxyxxyyxf在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题 8-3 全微分及其应用 1.X 公司和 Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QYPYQxPx41600;51000 公司 X、Y 现在的销售量分别是 100 个单位和 250
4、个单位。（1）X 和 Y 当前的价格弹性是多少？（2）假定 Y 降价后，使QY增加到 300 个单位，同时导致 X 的销量Qx下降到 75 个单位，试问 X 公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：)/12121212PyPyPyPyQxQxQxQxErx 2.假设市场由 A、B 两个人组成，他们对商品 X 的需求函数分别为：PxIKDPxIKDBBBAAA/;/)(Pr（1）商品 X 的市场需求函数；（2）计算对商品 X 的市场需求价格弹性；若 Y 是另外一种商品，Pr是其价格，求商品 X 对 Y 的需求交叉弹性 3.求下列函数的全微分（1）tstsu（2）设zyxzyxf1)(
5、),(，求)1,1,1(df（3）)1ln(22yxz，求当2.0,1.0,2,1yxyx的全增量z和全微分dz 4.计算33)97.1()02.1(的近似值 习题 8-4 多元复合函数的求导法则 1.填空题 精品（1）设vuzln2而yxvyxu23,，则_,yzxz（2）设)sin(yxarz而tx3，则_dtdz（3）设1)(2azyeuax,而xzxaycos,sin，则_dxdu（4）设)arctan(xyz,而xey，则_dxdz（5）设),(22xyeyxfu，则_,yuxu（6）),(xyzxyxfu，则_xu （1）12nnn 2.设fyxyfxyfxz),()(1具有二阶连
6、续导数，求yxz2 3.设fyxxfz),(具有二阶连续偏导数，求22xz 4.设fxyxxfz),2(2，具有二阶连续偏导数，求yxz2.5.设feyxfzyx),cos,(sin，具有二阶连续偏导数，求22xz 7.设f与g有二阶连续导数，且)()(atxgatxfz，证明：22222zzatx 习题 8-5 隐函数的求导公式 1.填空题：（1）设22lnarctanyxyx，则_dxdy 精品（2）设022xyzzyx，则_,yzxz（3）设yzzxln，则_,yzxz（4）设zxyz，则_,yzxz 2.设xyzez，求yxz2 3.设333axyzz，求yxz2 4.设zyxzyx3
7、2)32sin(2，求yzxz 5.设203222222zyxyxz，求dxdzdxdy,6.设),(txfy，而t是由方程0),(tyxF所确定的yx,的函数，求dxdy 7.设由方程0),(xzyyzxF确定),(yxzz，F 具有一阶连续偏导数，证明：xyzyzyxzx 8.设),(),(),(yxzxzyyzyxx，都是由方程0),(zyxF所确定的有连续偏导数的函数，证明：1xzzyyx 习题 8-6 多元函数的极值及其应用 1.填空题：（1）gyxxyyxz4222z 驻点为_（2）22)(4),(yxyxyxf的极_值为_（3）)2(),(22yyxeyxfx的极_值为_ 精品（
8、4）xyz 在适合附加条件1 yx下的极大值为_（5）22),(yxxyxfu在1,22yxyxD上 的 最 大 值 为_，最小值为_ 2.从斜边长为 L 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号：3.旋转抛物面22yxz被平面1zyx截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离 微积分练习册第八章多元函数微分学 4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为)0(,)24(,)3(yyxxyx，求使产鱼总量最大的放养数 班级：姓名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为
9、212xxQ，其中,为正常数，且1，假设两种要素的价格分别为1p和2p，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册第九章二重积分 习题 9-1 二重积分的概念与性质 1.填空题（1）当函数),(yxf在闭区域 D 上_时，则其在 D 上的二重积分必定存在（2）二重积分Ddyxf),(的几何意义是_（3）若),(yxf在有界闭区域 D 上可积，且21DDD，当0),(yxf时，则精品 21),(_),(DDdyxfdyxf；当0),(yxf时，则21),(_),(DDdyxfdyxf（4）_)sin(22Ddyx，其中是圆域2224 yx的面积，16（注：填
10、比较大小符号）2.比较下列积分的大小：(1)DdyxI21)(与DdyxI32)(其中积分区域 D 是由x轴，y轴与直线1 yx所围成 (2)1ln()DIxy d与22ln()DIxyd，其中 10,53),(yxyxD 3.估计下列积分的值（1）(1)DIxy xyd，其中20,10),(yxyxD （2）22(49)DIxyd，其中4),(22yxyxD 4求二重积分222211xyxy d 5.利用二重积分定义证明(,)(,)DDkf x y dkf x y d（其中为k常数）习题 9-2 利用直角坐标计算二重积分 1.填空题（1）323(3)_Dxx yy d其中10,10 yxD：
11、(2)cos()_Dxxy d其中 D：顶点分别为),(),0,(),0,0(（的三角形闭精品 区域(3)将二重积分(,)Df x y d，其中 D 是由x轴及上半圆周)0(222yryx所围成的闭区域，化为先y后x的积分，应为_（4）将二重积分(,)Df x y d，其中 D 是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域，化为先x后y的积分，应为_（5）将二次积分dyyxfdxxxx222 2 1 ),(改换积分次序，应为_（6）将二次积分dyyxfdxxsin2xsin-0 ),(改换积分次序，应用_（7）将二次积分22 1 2 12 2 -lny 1 (1)(,)(,)eydy
12、f x y dxdyf x y dx改换积分次序，应为_（8）将 二 次 积 分dxyxfdydxyxfdyyy3 1 3 0 20 1 0 ),(),(，改 换 积 分 次 序，应 为_ 2.计算下列二重积分：(1)22xyDxyed,其中dycbxayxD,),(2)22()Dxy d,其中 D 是由直线xyy,2，及xy2所围成的闭区域.(3)Ddxdyxy2,其中20,11yxD：3.计算二次积分 1 1 0 yxydye dx 4.交换积分次序，证明：axamadxxfexadxxf0)(0 y0 x)-m(a)()()(edy 5.求由曲面222yxz及2226yxz所围成的立体的
13、体积.习题 9-3 利用极坐标计算二重积分 精品 1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 xyxdxdyxyyxf22222_)arctan,(;DyxdxdyexyyxyxD_,41),(2222（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 2 2222 0 0()_,(0)aax xdxf xydya 1122 0 0()_;dxfxydy 2 3 0(arctan)_;xxydxfdyx 2 1 0 0(,)_.xdxf x y dy 2.计算下列二重积分(1)22ln(1)Dxy d,其中 D 是由圆周122 yx及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(2)Ddxdyy
14、x221,其中 D 是由曲线2xy 与直线xy 所围成的闭区域.(3)222DRxy d,其中 D 是由圆周Rxyx22所围成的闭区域 (4)(2)222Dxyd,其中(2)3:22 yxD.3.计算二重积分2()Dyx d，其中 D 由不等式0,222yRyxxRy确定（注意选用适当的坐标）4.计算以xoy面上的圆周22(0)xyax a围成的区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积 微积分练习册第十章微分方程与差分方程 精品 习题 10-1 微分方程的基本概念 1.填空题（1）方程0ln3)(42 xyyyx称为_阶微分方程（2）设),(21ncccxyy是方程yyxy2 的通解，
15、则任意常数的个数n=_（3）设曲线)(xyy 上任一点),(yx的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程_（4）设曲线)(xyy 上任一点),(yx的切线在坐标轴间的线段长度等于常数 a，则曲线所满足的微分方程_（5）某人以本金0p元进行一项投资，投资的年利率为，若以连续复利计，t 年后资金的总额为_)(tp（6）方程 0 xyxydx可化为形如_微分方程 2.已知ktceQ 满足微分方程0.03dQQdt，问 C 和 K 的取值应如何？3.、若可导函数)(xf满足方程 0()2()1(1)xf xtf t dt，将（1）式两边求导，得)2()(2)(xxfxf 易知ccexfx(
16、)(2为任意常数）是（2）的通解，从而2()xf xce为（1）的解，对吗？4.证明：xxcxcyln21是微分方程02 yyxyx的通解.习题 10-2 一阶微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1）2211xyy (2)230yxeyy (3)0sec)2(tan32ydyeydxexx 精品 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）4,sincoscossin0 xyxdxyxdyy（2）1,0110 xydyxydxyx 3 镭的衰变速度与它的现存量 R 成正比，有资料表明，镭经过 1600 年后，只余原始量0R的一半，试求镭的量 R 与时间t的函数关系 微积分练习册第十章
17、微分方程与差分方程 习题 10-2 一阶微分方程（二）1.填空题（1）设y是)()(xQyxpdxdy的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解为_（2）xexxy1是 方 程xxeyyx的 一 个 特 解，则 其 通 解 为xexxy1_（3）微分方程0ln2xyyyx作变换_可化为一阶线性微分方程（4）0)()(yxyyx的通解为_（5）(12)2(1)0 xxyyxedxedyy的通解为_ 2.求下列微分方程的通解：(1)232xxyyx (2)0)2(22yyyxyx 3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：cos2cot5,4xxdyyxeydx 4.用适当的变量代换将下
18、列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：精品（1）2)(yxdxdy (2)ln(lnyxyyyx 5.已知一曲线过原点，且它在点),(yx处切线的斜率等于yx 2，求该曲线的方程 6.设)(xf可微且满足关系式 02()1()1xf tdtf x,求)(xf 习题 10-3 一阶微分方程在经济学中的应用 1.已知某商品的需求价格弹性为)1(lnPPEPEQ，且当 P=1 时，需求量 Q=1(1)求商品对价格的需求函数（2）当P时，需求量是否趋于稳定？2.已知某商品的需求量 Q对价格 P 的弹性23P，而市场对该商品的最大需求量为 1 万件，求需求函数 3.已知某商品的需求量 Q 与供给量
19、S 都是价格 P 的函数：bpSPaQ,2 其中0,0ab为常数，价格 P 是时间t的函数，且满足()()(dpk Q pS pkdt为正常数）假设当0t时，价格为 1，试求：(1)需求量等于供给量的均衡价格eP(2)价格函数()p t(3)(limtpt 4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在0t时刻已掌握新技术的人数为N101，在任意时刻t已掌握新技术人数为)(tx，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0k 求)(tx 5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为 5%，希望连续 20 年以每年 12000 元人精品
20、 民币的速度用这一帐户支付职工工资。若t以年为单位，写出余额)(tfB 所满足的微分方程，且问当初始存入的数额 B 为多少时，才能使 20 年后帐户中的余额精确地减至 0.习题 10-4 可降阶的二阶微分方程 1.填空题（1）微分方程211xy 的通解为_.（2）微分方程2)(1yy 的通解为_._（3）微分方程xyy 的通解为_.（4）微分方程yyyy 2)(的通解为_.（5）微分方程0)(122 yyy的通解为_.（6）设21xy 与xxyln22是方程0432 yyxyx的特解，则其方程的通解为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.0,1,0111223xxdxdyydxydy
21、3.求下列微分方程满足初始条件的特解：1,0 ,0)1(002 xxyyyay (2)0 ,)1(11 xxaxyyey 4.试求xy 的经过点 M(0,1)且在此点与直线12xy相切的积分曲线 5.验证21xey 及22xxey 都是方程0)24(42 yxyxy的解，并写出该方程的通解.6.设函数)(),(),(321xyxyxy均是非齐次线性方程)()()(22xfyxbdxdyxadxyd的特解，其中)(),(),(xfxbxa为已知函数，而且)()()()(1312xyxyxyxy常数，求证 213221121,()()()()1()(ccxycxycxyccxy为任意常数）是该方程
22、的通解.精品 7.证明函数215221,(121cceececyxxx是任意常数）是方程xeyyy523 的通解.习题 10-5 二阶常系数线性微分方程（一）1.填空题（1）微分方程04 yy的通解为_.（2）微分方程044 yyy的通解为_.（3）微分方程052 yyy的通解为_.（4）微分方程aayyy(02 为常数）的通解为_ _.（5）设i2为 方 程0ypyqy的 特 征 方 程 的 两 根，则 其 通 解 为_.（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为4,221rr，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)10 ,6 ,03400
23、 xxyyyyy (2)0 ,2 ,04400 xxyyyyy (3)3 ,0 ,013400 xxyyyyy 3.求以xxxeyey21,为特解的二阶常系数齐次线性微分方程 4.方程094 yy的一条积分曲线经过点)1,(且在该点和直线xy1相切，求这条曲线方程 5.求0)(22 yyx的过（1，0）点，且在此点与1 xy相切的积分曲线.习题 10-5 常系数线性微分方程（二）1.填空题：（1）微分方程xxeyyy 2的特解可设为型如._y（2）微分方程xyyysin67 的特解可设为型如._y 精品（3）微方程xeyyyx2sin52 的特解可设为型如._y(4)微分方程xxyycos 的
24、特解可设为型如._y(5)微分方程xxyy2sin 的特解可设为型如._y 2.求下列微分方程的通解：（1）xxeyyy 323（2）cosxyyex 3.求微分方程满足所给初始条件的特解：004,0,1.xxxyyxeyy 4.设函数)(xyy 满足微分方程xeyyy 32，它的图形在0 x处与直线xy 相切，求该函数 5.设函数)(x连续，且满足xxxdttxdtttex0 0 )()()(，求)(x.6.设函数)0()(xxy二阶可导，且()0,(0)1y xy,过曲线)(xyy 上任意一点),(yxp作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1s，区间,0 x
25、上以)(xyy 为曲边的曲边梯形的面积记为2s，恒有1221 ss，求曲线)(xyy 的方程.习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构 1.填空题（1）设xxey，则_xy(2)设2xyx，则_xy(3)设xyx2cos，则_xy(4)差分的运算法则：_)(xcy()_xxyz 2.已知xxey 是方程xxxeayy21的一个解，求a.精品 3.求下列函数的二阶差分 (2)232xxy (3)log (0,1)ayxaa 4.给定一阶差分方程xxxAapyy1，验证：（1）当0 ap时，xxaapAy是方程的解.（2）当0 ap时，1xxAxay是方程的解 习题 107 一阶
26、常系数线性差分方程（一）1.填空题（1）一阶常系数齐次线性差分方程)0(01aayyxx的通解为_ 2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：(1)0321xxyy (2)01xxyy（3）01xxyy 习题 10-7 一阶常系数线性差分方程（二）1.填空题（1）若)()(xpxfn，则一阶常系数非齐次线性差分方程)(1xfayyxx 具有形如_xy的特解.当 1 不是特征方程的根时，_;_k 当 1 是特征方程的根时，._k 2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解(1)0521xxyy且30y (2)0 xy，且20y 3.求下列一阶差分方程的通解（1）34xxyy 精品 (2)124
27、21xxyyxx（3）tttyy2211 (4)ttttyy21 4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解（1）22421xxyyxx且10y (2)xxxyy21,且20y 习题 10-9 差分方程的经济应用 1.（存款模型）设tS为t年末存款总额，r为年利率，有关系式tttrSSS1，且初始存款为0S，求t年末的本利和.2.设某产品在时期t的价格，总供给与总需求分别为ttSP,与tD，对于,2,1,0t有关系式:ttttttDSPDPS44121（1）求证：由关系式可推出差分方程221ttPP;（2）0P已知时，求该方程的解.3.设ty为 t 期国民收入，tc为t期消费，I 为投资（
28、各期相同），三者有关系式1,ttttycIcy，其中01,0 已知0t时，0yyt,试求ty和tc 4.设某商品在t时期的供给量ts与需求量td都是这一时期该商品价格tp的线性函数，已知ttttpdps54 ,23 且在t时期的价格tp由1tp及供给量与需求量之差11ttds按关系式)(161111ttttdspp确定 试求商品的价格随时间变化的规律.精品 习题 11-1 常数项级数的概念和性质 1.填空题（1）1nnu收敛，则._)3(lim2nnnuu（2）1nna收敛，且nnaaaS21，则11lim(2)_.nnnnSSS（3）2233111111()()()232323的和是_（4）
29、若1nnu的和是 3，则3nnu的和是_（5）1nnt的和是 2，则12nnt的和是_（6）当1x 时，1nnx的和是_ 2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性（1）11(21)(21)nnn（2）1(221)nnnn 3.判断下列级数的敛散性(1)11(1)nn (2)114(1)()5nnn (3)13()2nn (4)10.001nn (5)1236nnnn 精品 (6)111125255nn 习题 11-2 正项级数及其审敛法 1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：（1）111nn n (2)22112cos1nnnn (3)1sin2nn 2.用比值审
30、敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性：(2)12!nnnnn (3)211()31nnnn 习题 11-3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 1.判别下列级数的敛散性：（1）2132nnnn (2)13(1)2nnn (3)1(),(0)1nnnaan 2.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）1(1)(1cos),(0)nnaan (2)21(1)lnnnn 3.已知级数21nna和21nnb都收敛，试证明级数1nnna b绝对收敛.精品 习题 11-4 泰勒级数与幂级数（一）1.填空题（1）若幂级数13()2nnnxa在0 x 处收敛，则在5x 处_（收敛、发散）.（2）
31、若1lim2nnncc，则幂级数20nnnc x的收敛半径为_.（3）1(3)nnnxn的收敛域_.（4）03(1)3nnnnx 的收敛域_.（5）211(1)2nnnnxn的收敛域_.（6）201(2)1nnnxn的收敛域_.2.求下列幂级数的收敛域：(1)2121nnnxn (2)31212nnnnx (3)11(3)3nnnxn 3.若幂级数1nnna x的收敛域是-9，9，写出21nnna x的收敛域 4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数(1)11,(11)nnnxx 2)211,(11)21nnxxn，并求级数11(21)2nnn的和.精品 5.求幂级数1(21
32、)nnnx的收敛域及其和函数.习题 11-4 泰勒级数与幂级数（二）1.将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间（1）ln(),(0)axa (2),(0 xaa 且1)a (3)2sin x (4)(1)ln(1)xx 2.将函数21()(1)f xx在01x 处展开成幂级数.3.将函数1()3f xx展开成(2)x的幂级数.4.将函数221()2xf xxx展开成(2)x的幂级数.5.将函数3()xf xe在1x 处展开成幂级数 6.设 4 0sincos,0,1,2nnIxxdx n，求0nnI.一、填空题（35=15）1.设由方程zxyze确定是,x y的函数，则_.zx 2.设
33、1(,)()zyf x y zx，则(1,1,1)_.df 3.222211xyxy dxdy=_.4.若级数1()1nnnun收敛，则_.limnxu 5.差分方程128xxyy 的通解为_ 二、选择题（35=15）1.下列命题中，正确的是（）A.若00(,)xy是函数(,)zf x y的驻点，则(,)zf x y必在00(,)xy取得极值 精品 B.若函数(,)zf x y在00(,)xy取得极值，则00(,)xy必是(,)zf x y的驻点 C.若函数(,)zf x y在00(,)xy处可微，则00(,)xy必是(,)zf x y连续点 D.若函数(,)zf x y在00(,)xy处偏导
34、数存在，则(,)zf x y在00(,)xy处必连续 2.设 D 由221xy围成，则二重积分22()DIfxyd()2 1 122 0 0.4()yAdyfxydx 12 0 0.4(1)Bdrfdr 12 0 0.4()Cdf r dr 12 0 0.(1)Ddrfdr 3.若21nna收敛，则1nnan（）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 4.方程 1xyxydx可化为形如（）的微分方程.1A yy1.21xB ye1.(0)0yyCy1.(1)1yyDy 5.差分方程的特解可设为（）20.Ab x30.Bb x2012.C b xb xb2012.()D x b x
35、b xb 三、计算题（68=48）1.设lntanxzy，求,.zzxy 2.交换积分次序，求 1 1/0.y xyIdyedx 3.求221DIxyd，其中22:4D xy.4.判定级数123nnnn的敛散性.5.求微分方程coscot5xdyyxedx满足()42y的特解.微积分（下）练习册模拟试卷一 6.设(,)zf x xy，其中f具有二阶连续偏导数，求2.zx y 7.求级数1nnnx的收敛域及和函数.精品 8.求微分方程4xyyxe的通解.四、应用题（82=16）1.假设某产品的销售量()x t是时间t的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速率dxdt与销售量()x t及销售量接
36、近于饱和水平的程度()Nx t之积成正比（N 为饱和水平，比例常数0k），当0t 时，110 xN.求销售量()x t.2.设生产某种产品需用原料 A 和 B，它们的单位价格分别是 10 元和 15 元，用x单位原料 A和y单位原料 B 可生产22208xyxy单位的该产品，现要以最低成本产生 112 单位的该产品，问需要多少原料 A 和 B？五、证明题（6）设11(1,2;0,0)nnnnnnabnabab，证明：若1nnb收敛，则1nna收敛.微积分（下）模拟试卷二 一、单项选择题（每小题 3 分，共 5 小题 15 分）1.二元函数(,)zf x y在点00(,)xy的偏导数存在，是在该
37、点可微的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 2.设 D 是圆域2221,(0)DxyaaD是 D 在第一象限部分区域，则(1)Dxyd（）1.4(1)DAxyd1.(1)DBxyd2.Ca.0D 3.下列级数中发散的级数是（）11.(1)nAn n1(1).nnBn11.nnC121.nnD 4.微分方程1xyye的一个特解应有形式（式中,a b为常数）（）.xAaeb.xBaxebx.xC aebx.xD axeb 5.函数zxy在（0，0）点处一定为（）A.极大值 B.极小值 C.无法确定 D.不取得极值 二、填空题（每小题 3 分，共 5 小题 15 分）1.xy
38、ze在点（2，1）处的全微分_.dz 精品 2.222_Daxy d其中222:D xya 3.若级数12()1nnnun收敛，则lim_.nxu 4.幂级数12nnnxn的收敛域是_.5.若是二阶线性非齐次微分方程的两个解为223,3xxex 且相应齐次方程的一个解为x，则该非齐次方程的通解为_.三、计算题（每小题 7 分，共 7 小题 49 分）1.求过点（3，1，-2）且通过直线43521xyz的平面方程.2.设22(,)zf xy xy，其中f具有二阶连续偏导数求2zx y.3.交换积分次序求2 1 13 0 1xxydxdyy.4.求级数11,(11)nnnxx 的和函数.微积分（下
39、）练习册模拟试卷二 5.求微分方程tansecdyyxxdx满足(0)0y的特解.6.求差方程10753,3xxyyy的特解.7.在抛物线21(0)yxx 上求一点 P，使 P 处的切线、抛物线及两坐标轴所围图形的面积达到最小.四、应用题（每小题 8 分，共 2 小题 16 分）1.求由曲面222zxy及2262zxy所围成的立体体积.2.欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米 3 元，侧面造价为每平方米 1 元，现想用 36 元造一个容积为最大容器，求它的尺寸.五、证明题（本题 5 分）精品 设()f x在0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0 xf xx，证明级数1
40、1()nfn绝对收敛.习题参考答案 习题 7-1 1.（1），；（2）（-3，-2，1），（3，2，-1），（-3，-2，-1），（-3，-2，1），（3，-2，-1）；（3）（-4，3，0），（0，3，5），（-4，0，5），（-4，0，0），（0，3，0），（0，0，5）；（4）(,),(,),(,),(,)a aaa a aaa aaa a 2.117,430,262;223.(6，,1，19)，（9，-5，12）；4.（-1，2，4），（8，-4，-2）；5.34,41,5;6.(0,1,2)习题 7-2 1.11(1)2;(2);(3)(2,5,14);(4)2;(5)(3,1,2)
41、;214aba 2.-2；1；2；3；122123.2,cos1/2,cos,cos,223M Mr 3,43r；4.2451424,5,14;,;797797797 5.0r或,;42r 6.11coscoscos,2,2,2;33ra7.13,9;j8.115,5 习题 7-3 1.（1）33;(2)(4,2,4);(3);(4);(5)13,13;(6)14;253 2.3(1);(2)3;3.36 54或36 5；4.（1）不共面；（2）共面；.5.(1)3 12 16252547,;(2);(3);6.5 25 2522106 习题 7-4（一）精品 1.121212(1)37540
42、;(2)920;(3)0 xyzyzA AB BC C,111222;(4)2,1;(5)1;342ABCxxzABC（6）（1，1，-3）；2.2961210;3.(1)50,(2)920,(3)30;xyzyyzxy 4.4 720;5.26330,26330;6.;3xyzxyzxyz 7.225112700,46501225100 xyzxyz 习题 7-4（二）1.413321(1);(2);215421xyzxyz（3）1 13 1(3)161411650;(4)(,);(5)0;5 5 5xyz 2.23/25/2;3/2;2135/23xtxyzytzt(不唯一)3.41324
43、231(1);(2);(3);215231231xyzxyzxyz 4.714503 2;5.;25302xyxyz 6.2 2692(1)340;(2);7.13122xyzxyzd 习题 7-5 1.22222(1)(1)(2)(3)9;(2)5;xyzzyx(3)222(1)2,(0,1,0),2;(4)xyzOZ轴；（5）抛物线，抛物柱面 习题 7-6 1.（1）2x 平面上的双曲线；（2）xh平面上的双曲线2222221,yzhykbca 平面上的椭圆2222221;xzkacb 精品（3）抛物线2222xhzabyh；（4）抛物线2;0 xzy；（5）相交于原点的两条直线；3;0y
44、xz （6）22222222,2RxyxyzRxy 4.2223cos23cos,(02);5.(1)933sinxtyttxyxzt 6.22224,4,4;xyxzyz 7.222arcsinarccos,;000yxzbzbxyaaazxy 8.2222,0 0 xyaxzaxaxz 习题 8-1 1.2221311(1)(,);(2),(,);(3);(4)121xyt f x yf x yxxy（5）222(,)01,4;x yxyyx(6)2(,)0,0,;x y xyxy(7)(,)0,(,)0,;x y xxyxx y xxyx (8)2(,)20;x y yx2.(1)1;(
45、2)0;(3)45.连续 习题 8-2 1.（1）2222222csc,csc;(2)(1),(1);xyxyxxxexyyexyxyyyy(3)221222 222 222 2122,ln,ln;(4),;()()()yyyzzzyyxyxyyxxxxxxzzzxyxyxy 精品(5)1()(ln);(6)2(,)zxxzxfa byyyy 2.（1）2(1),(1)ln(1);1yxyzzxyyxyxyxyxyxy（2）11222()()()ln(),1()1()1()zzzzzuz xyuz xyuxyxyxyzxyxyxy 3.0，0，0 4.3322210,;5.2zzzxyx yy
46、 习题 8-3 1.（1）1，0.6；（2）0.7；2.（1）略;(2)1,;PYrAABBPk IK I 3.(1)22();(2);()sdttdsdxdyst(3)略;21/3;3dxdy 4.2.95 习题 8-4 22222322322(1)ln(32),ln(32);(32)(32)xxxxxyxyyxy yyxy y(2)2223 23(14)(1);(3)sin;(4)11(34)xaxxtexexx ett(5)121212323322;(6),xyxyxfyefyfxeffyfyzfxfxzfxyf 2.31112221212;22212()()();3.4.4yxfxyf
47、xyxfxyfffyffyyx 5.22211133313cos2cossinxyxyxyxfexfefxfef 习题 8-5 1.（1）2(1);(2),;(3);(4)yzxyz xzxyzxyzxyxzxyzxyxyzxy 精品 2.2322422232322(2);3.;4.1;()()zzzy zexy zy z ez zxyzx yexyzxy 5.(61),;6.2(31)31xzxyzz 习题 8-6 1.（1）（-3，3）；（2）大，8；(3)小，11;(4);(5),2244e 2.当两直角边长均为22l时，直角三角形周长最大；3.2222324395 3,95 3;4.,
48、;22(2)xy 5.2112126(),6()ppxxpp 习题 9-1 1.（1）连续；（2）以(,)zf x y为曲顶，以 D 为底的曲顶柱体体积的代数和；（3）,;(4)2.12122(1);(2);3.(1)016;(2)36100;4.3IIIIII 习题 9-2 1.2203(1)1;(2);(3)(,);2rrxrdxf x y dy(4)21222111111022(,)(,);(5)(,);yyyydyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx(6)1201arcsin2112arcsin1arcsin0(,)(,);(7)(,);xyxyyedyf x y
49、dxdyf x y dxdyf x y dx(8)230/2(,)xxdxf x y dy 2.(1)22221133()();(2);(3);4652badceeee 精品 3.31;7.62 习题 9-3 1.2cos2202(,);drf rdr52414;rdre dr(2)2 cos2200();adrf rdr seccos420002()();drf r drdrf r dr2sec304();drfdr sec40sectan(cos,sin);2.(1)(2ln21);4drf rrdr 344453(2)21;(3)();(4);3.;4.332832RaRV 习题 10-
50、1 1.（1）2；(2)3；（3）2222;(4)()(1);xyxyyya yy (5)01;(6)(0)0rtdyyp edxy 2.0.03,k C 为任意常数;3.不对;4.对 y 求导代入即可 习题 10-2（一）231.(1)arcsinarcsin;(2)23;(3)3ln 2ln tanxyxyxceeCeyc2.3322(1)cos2cos0;(2)2()3()50;xyxyxy 3.0.0004330tRR e 习题 10-2（二）1.arctan221(1);(2);(3);(4);(5)2xyyxcYyzxycexyecxy 精品 2.122cos13(1)2;(2)(