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1、-大一微积分下册经典题目及解析-第 31 页微积分练习册第八章多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）函数的定义域是_（6）函数的定义域是_(7)函数的定义域是_（8）函数的间断点是_2.求下列极限：（1） (2)(3)3.证明4.证明：极限不存在5.函数在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设，则;（2）设，则;（3）设，则;（4）设，则（5）设，则;（6）设在点处的偏导数存在，则2.求下列函数的偏导数3.设，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设，求和5.，试化简6.试证函数
2、在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。（1） X和Y当前的价格弹性是多少？（2） 假定Y降价后，使增加到300个单位，同时导致X的销量下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：（1）商品X的市场需求函数；（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性3.求下列函数的全微分（1）（2）设，求（3
3、），求当的全增量和全微分4.计算的近似值习题8-4多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设而，则（2）设而，则（3）设,而，则（4）设,而，则（5）设，则（6），则（1）2.设具有二阶连续导数，求3.设具有二阶连续偏导数，求4.设，具有二阶连续偏导数，求.5.设，具有二阶连续偏导数，求7.设与有二阶连续导数，且，证明：习题8-5隐函数的求导公式1.填空题：（1）设，则（2）设，则（3）设，则（4）设，则2.设，求3.设，求4.设，求5.设，求6.设，而是由方程所确定的的函数，求7.设由方程确定，F具有一阶连续偏导数，证明：8.设，都是由方程所确定的有连续偏导数的函数，证明：习题8-6多元函数的
4、极值及其应用1.填空题：（1）z驻点为_（2）的极_值为_（3）的极_值为_（4）在适合附加条件下的极大值为_（5）在上的最大值为_，最小值为_2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：姓名：学号：3.旋转抛物面被平面截成一椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离微积分练习册第八章多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为，求使产鱼总量最大的放养数班级：姓名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产函数为，其中为正常数，且，假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量
5、为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册第九章二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题（1）当函数在闭区域D上_时，则其在D上的二重积分必定存在（2）二重积分的几何意义是_（3）若在有界闭区域D上可积，且，当时，则；当时，则（4），其中是圆域的面积，（注：填比较大小符号）2.比较下列积分的大小：(1)与其中积分区域D是由轴，轴与直线所围成(2)与，其中3.估计下列积分的值（1），其中（2），其中4求二重积分5.利用二重积分定义证明（其中为常数）习题9-2利用直角坐标计算二重积分1.填空题（1）其中(2)其中D：顶点分别为的三角形闭区域(3)将二重积分，其中D是由轴
6、及上半圆周所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_（4）将二重积分，其中D是由直线及双曲线所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_（5）将二次积分改换积分次序，应为_（6）将二次积分改换积分次序，应用_（7）将二次积分改换积分次序，应为_（8）将二次积分，改换积分次序，应为_2.计算下列二重积分：(1),其中 (2),其中D是由直线，及所围成的闭区域. (3),其中3.计算二次积分4.交换积分次序，证明：5.求由曲面及所围成的立体的体积.习题9-3利用极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分2.计算下列二重积分(1),其中
7、D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(2),其中D是由曲线与直线所围成的闭区域.(3),其中D是由圆周所围成的闭区域(4)(2),其中(2).3.计算二重积分，其中D由不等式确定（注意选用适当的坐标）4.计算以面上的圆周围成的区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册第十章微分方程与差分方程习题10-1微分方程的基本概念1.填空题（1）方程称为_阶微分方程（2）设是方程的通解，则任意常数的个数n=_（3）设曲线上任一点的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程_（4）设曲线上任一点的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a，则曲线所满足的微分方程_（5）某人以本金元进行
8、一项投资，投资的年利率为，若以连续复利计，t年后资金的总额为（6）方程可化为形如_微分方程2.已知满足微分方程，问C和K的取值应如何？3.、若可导函数满足方程，将（1）式两边求导，得易知为任意常数）是（2）的通解，从而为（1）的解，对吗？4.证明：是微分方程的通解.习题10-2一阶微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1） (2) (3)2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量R与时间的函数关系微积分练习册第十章微分方程与差分方程习题10-2一阶微分方程（二）1.填空题（1）设是的
9、一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解为_（2）是方程的一个特解，则其通解为_（3）微分方程作变换_可化为一阶线性微分方程（4）的通解为_（5）的通解为_2.求下列微分方程的通解：(1) (2)3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（1） (2)5.已知一曲线过原点，且它在点处切线的斜率等于，求该曲线的方程6.设可微且满足关系式,求习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为，且当P=1时，需求量Q=1(1)求商品对价格的需求函数（2）当时，需求量是否趋于稳定？2.已知某商品的需求量Q对价
10、格P的弹性，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：其中为常数，价格P是时间的函数，且满足为正常数）假设当时，价格为1，试求：(1) 需求量等于供给量的均衡价格(2) 价格函数4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术人数为，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数求5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若以年为单位，写出余额所满足的微分方程，且
11、问当初始存入的数额B为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.习题10-4可降阶的二阶微分方程1.填空题（1）微分方程的通解为_.（2）微分方程的通解为_._（3）微分方程的通解为_.（4）微分方程的通解为_.（5）微分方程的通解为_.（6）设与是方程的特解，则其方程的通解为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解3.求下列微分方程满足初始条件的特解： (2)4.试求的经过点M(0,1)且在此点与直线相切的积分曲线5.验证及都是方程的解，并写出该方程的通解.6.设函数均是非齐次线性方程的特解，其中为已知函数，而且常数，求证为任意常数）是该方程的通解.7.证明函数是任意常数）是方程的
12、通解.习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）1.填空题（1）微分方程的通解为_.（2）微分方程的通解为_.（3）微分方程的通解为_.（4）微分方程为常数）的通解为_.（5）设为方程的特征方程的两根，则其通解为_.（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)(2) (3)3.求以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程4.方程的一条积分曲线经过点且在该点和直线相切，求这条曲线方程5.求的过（1，0）点，且在此点与相切的积分曲线.习题10-5常系数线性微分方程（二）1.填空题：（1）微分方程的特解可设为型如（2）
13、微分方程的特解可设为型如（3）微方程的特解可设为型如(4)微分方程的特解可设为型如(5)微分方程的特解可设为型如2.求下列微分方程的通解：（1）（2）3.求微分方程满足所给初始条件的特解：4.设函数满足微分方程，它的图形在处与直线相切，求该函数5.设函数连续，且满足，求.6.设函数二阶可导，且,过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形的面积记为，恒有，求曲线的方程.习题10-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构1.填空题（1）设，则(2)设，则(3)设，则(4)差分的运算法则：2.已知是方程的一个解，求.3.求下列函
14、数的二阶差分 (2) (3)4.给定一阶差分方程，验证：（1）当时，是方程的解.（2）当时，是方程的解习题107一阶常系数线性差分方程（一）1.填空题（1）一阶常系数齐次线性差分方程的通解为_2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：(1) (2)（3）习题10-7一阶常系数线性差分方程（二）1.填空题（1）若，则一阶常系数非齐次线性差分方程具有形如的特解.当1不是特征方程的根时，当1是特征方程的根时，2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解(1)且 (2)，且3.求下列一阶差分方程的通解（1） (2)（3） (4)4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解（1）且 (2),且习题10
15、-9差分方程的经济应用1.（存款模型）设为年末存款总额，为年利率，有关系式，且初始存款为，求年末的本利和.2.设某产品在时期的价格，总供给与总需求分别为与，对于有关系式:（1）求证：由关系式可推出差分方程;（2）已知时，求该方程的解.3.设为t期国民收入，为期消费，I为投资（各期相同），三者有关系式，其中已知时，,试求和4.设某商品在时期的供给量与需求量都是这一时期该商品价格的线性函数，已知且在时期的价格由及供给量与需求量之差按关系式确定试求商品的价格随时间变化的规律.习题11-1常数项级数的概念和性质1.填空题（1）收敛，则（2）收敛，且，则（3）的和是_（4）若的和是3，则的和是_（5）的
16、和是2，则的和是_（6）当时，的和是_2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性（1）（2）3.判断下列级数的敛散性(1) (2) (3) (4) (5) (6)习题11-2正项级数及其审敛法1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：（1） (2) (3)2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性： (2) (3)习题11-3任意项级数的绝对收敛与条件收敛1.判别下列级数的敛散性：（1） (2) (3)2.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1） (2)3.已知级数和都收敛，试证明级数绝对收敛.习题11-4泰勒级数与幂级数（一）1.填空题（1）若
17、幂级数在处收敛，则在处_（收敛、发散）.（2）若，则幂级数的收敛半径为_.（3）的收敛域_.（4）的收敛域_.（5）的收敛域_.（6）的收敛域_.2.求下列幂级数的收敛域：(1) (2) (3)3.若幂级数的收敛域是-9，9，写出的收敛域4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数(1)2)，并求级数的和.5.求幂级数的收敛域及其和函数.习题11-4泰勒级数与幂级数（二）1.将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间（1） (2)且 (3) (4)2.将函数在处展开成幂级数.3.将函数展开成的幂级数.4.将函数展开成的幂级数.5.将函数在处展开成幂级数6.设，求.一、填空题（
18、35=15）1.设由方程确定是的函数，则2.设，则3.=_.4.若级数收敛，则5.差分方程的通解为_二、选择题（35=15）1.下列命题中，正确的是（）A.若是函数的驻点，则必在取得极值B.若函数在取得极值，则必是的驻点C.若函数在处可微，则必是连续点D.若函数在处偏导数存在，则在处必连续2.设D由围成，则二重积分()3.若收敛，则（）4.方程可化为形如（）的微分方程5.差分方程的特解可设为（）三、计算题（68=48）1.设，求2.交换积分次序，求3.求，其中.4.判定级数的敛散性.5.求微分方程满足的特解.微积分（下）练习册模拟试卷一6.设，其中具有二阶连续偏导数，求7.求级数的收敛域及和函
19、数.8.求微分方程的通解.四、应用题（82=16）1.假设某产品的销售量是时间的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速率与销售量及销售量接近于饱和水平的程度之积成正比（N为饱和水平，比例常数），当时，.求销售量.2.设生产某种产品需用原料A和B，它们的单位价格分别是10元和15元，用单位原料A和单位原料B可生产单位的该产品，现要以最低成本产生112单位的该产品，问需要多少原料A和B？五、证明题（6）设，证明：若收敛，则收敛.微积分（下）模拟试卷二一、单项选择题（每小题3分，共5小题15分）1.二元函数在点的偏导数存在，是在该点可微的（）2.设D是圆域是D在第一象限部分区域，则（）3.下列级数
20、中发散的级数是（）4.微分方程的一个特解应有形式（式中为常数）（）5.函数在（0，0）点处一定为（）二、填空题（每小题3分，共5小题15分）1.在点（2，1）处的全微分2.其中3.若级数收敛，则4.幂级数的收敛域是_.5.若是二阶线性非齐次微分方程的两个解为且相应齐次方程的一个解为，则该非齐次方程的通解为_.三、计算题（每小题7分，共7小题49分）1.求过点（3，1，-2）且通过直线的平面方程.2.设，其中具有二阶连续偏导数求.3.交换积分次序求.4.求级数的和函数.微积分（下）练习册模拟试卷二5.求微分方程满足的特解.6.求差方程的特解.7.在抛物线上求一点P，使P处的切线、抛物线及两坐标轴
21、所围图形的面积达到最小.四、应用题（每小题8分，共2小题16分）1.求由曲面及所围成的立体体积.2.欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积为最大容器，求它的尺寸.五、证明题（本题5分）设在的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛.习题参考答案习题7-11.（1），；（2）（-3，-2，1），（3，2，-1），（-3，-2，-1），（-3，-2，1），（3，-2，-1）；（3）（-4，3，0），（0，3，5），（-4，0，5），（-4，0，0），（0，3，0），（0，0，5）；（4）2.3.(6，,1，19)，（9，-5，12
22、）；4.（-1，2，4），（8，-4，-2）；5.习题7-21.2.-2；1；2；3；4.5.或6.7.8.习题7-31.（1）2.或；4.（1）不共面；（2）共面；.5.(1)习题7-4（一）1.,（6）（1，1，-3）；2.4.7.习题7-4（二）1.（3）2.(不唯一)3.4.6.习题7-51.(3)轴；（5）抛物线，抛物柱面习题7-61.（1）平面上的双曲线；（2）平面上的双曲线平面上的椭圆（3）抛物线；（4）抛物线；（5）相交于原点的两条直线；（6）4.6.7.8.习题8-11.（5）(6)(7)(8)2.(1)5.连续习题8-21.（1）(3)(5)2.（1）（2）3.0，0，04
23、.习题8-31.（1）1，0.6；（2）0.7；2.（1）略;(2)1,3.(1)(3)略;习题8-4(2)(5)2.5.习题8-51.（1）2.5.习题8-61.（1）（-3，3）；（2）大，8；(3)小，2.当两直角边长均为时，直角三角形周长最大；3.5.习题9-11.（1）连续；（2）以为曲顶，以D为底的曲顶柱体体积的代数和；（3）2.习题9-21.(4)(6)(8)2.(1)3.3习题9-31.(2)习题10-11.（1）2；(2)3；（3）(5)2.C为任意常数;3.不对;4.对y求导代入即可习题10-2（一）2.3.习题10-2（二）1.2.4.(1)5.习题10-31.3.4.5
24、.当时，20年后，银行的余额为0习题10-41.(3)(6)34习题10-5（一）1.(4)时，,当时，当时,(5)2.3.习题10-5（二）1.(4)2.(1)3.4.5.习题10-61.（1）2.3.(1)习题10-7（一）1.（1）2.习题10-7（二）1.2.(1)3.(3)4.习题10-91.3.4.习题11-11.2.(1)收敛，和为；（2）收敛，和为；3.（1）发散；(2)收敛；（3）发散；（4）发散；（5）收敛；（6）发散习题11-21.（1）收敛；（2）发散；（3）收敛；2.（1）发散；(2)收敛；（3）收敛；习题11-31.（1）发散；（2）收敛；（3）时收敛，时发散2.（1）绝对收敛；(2)条件收敛习题11-4（一）1.（1）收敛；2.(1)4.习题11-4（二）1.(3)2.3.4.5.微积分（下）模拟试卷一答案与提示一、1.三、；4.收敛；5.8.四、1.2.A4单位，B2单位五、提示：用比较判别法证明.微积分（下）模拟试卷二答案与提示一、1.B,2.C,3.C,4.D,5.D二、三、四、1.6;2.长、宽、高分别为2米，2米，3米五、由泰勒公式得由比较判别法得证