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1、OCBAOCBAOCBA圆中常见的辅助线的作法 1 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例 1】如图，已知ABC 内接于O，A=45，BC=2，求O 的面积。【例 2】如图，O 的直径为 10，弦 AB8，P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP 的长的取值范围是_ 2 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。【例 3】如图，AB 是O 的直径，AB
2、=4，弦 BC=2,B=3 遇到 90的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例 4】如图，AB、AC 是O 的的两条弦，BAC=90，AB=6，AC=8，O 的半径是 4 遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例 5】如图，弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，则C 的度数是_.5 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得 OAAB，得到直角或直角三角形。【例 6】如图，AB 是O
3、 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CD 与O 切于 C，交 AB 的延长线于 D，求证：AC=CD （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。【例 7】如图所示，已知 AB 是O 的直径，ACL 于 C，BDL 于 D，且 AC+BD=AB。求证：直线 L 与O 相切。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例 8】如图，ABO 中，OA=OB，以 O 为圆心的圆经过 AB 中点 C，且分别交 O
4、A、OB 于点 E、F 求证：AB 是O 切线；7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例 9】如图，P 是O 外一点，PA、PB 分别和O 切于 A、B，C 是弧 AB 上 任意一点，过 C 作O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E，若PDE 的周 长为 12，则 PA 长为_ 8 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等。【例
5、 10】如图，ABC 中，A=45，I 是内心，则BIC=【例 11】如图，RtABC 中，AC=8，BC=6，C=90，I 分别切 AC，BC，AB 于 D，E，F，求 RtABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离 9 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪 ABCDEPO 一、证明解答题 16已知：P 是O 外一点，PB，PD 分别交O 于 A、B 和 C、D，且 AB=CD.求证：PO平分BPD 17如图，ABC 中，C=90，圆 O 分别与 AC、BC 相切于 M、N，点 O 在 AB 上，如果 AO=15，BO=10，求圆 O的半径.1
6、8已知：ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O 点，BC 切O 于 E 点.求证：AD 也和O 相切.ABCDOE 19如图，学校 A 附近有一公路 MN，一拖拉机从 P 点出发向 PN 方向行驶，已知NPA=30，AP=160 米，假使拖拉机行使时，A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为 18 千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒 21如图，已知 AB 是O的直径，CD 是弦，AECD，垂足为 E,BFCD，垂足为 F.求证：DE=CF.23已知：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，连AC交O于D，过D作O的切线EF，交BC于E点.求证：OE 三、探索题 FEDOCBA.A C B M N o 24已知：图 a，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD求证：（1）DC 是O 的切线，（2）过 D 点作 DEAB，图 b 所示，交 AC 于 P 点，请考察 P 点在 DE 的什么位置并说明理由.CDABO 图aCDABOEP 图bPMNQCDA