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1、2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷 请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中/O AB C，90O A B，1O A，2B C，则原四边形OABC的面积为（）A.3 22 B.3 2 C.4 2 D.5 2 2命题 A：2(1)9,x命题 B：(x2)(xa)0,且a1)在x1,2
2、上恒成立，则a的取值范围是 A.(1,2)B.(2,)C.(0,1)(2,)D.(0,12)11已知全集UR，集合0,A 1，2，3，4，2 0Bx x，则(AB )A.0,1，2 B.1,2 C.3,4 D.0,3，4 12圆1O：221xy与圆2O：22410 xyx 的位置关系为（）A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13已知角的顶点为坐标原点，始边为 x轴非负半轴，若2,1P 是角终边上的一点，则cos_ 14已知mR，若存在定义域为R的函数 yf x满足：对任意0 x R，001301010 xxfxm，则m _.15若函数 y=()
3、f x是函数2xy 的反函数，则 2ff_ 16已知,S A B C是球O上的点SAABC 平面，ABBC,1SAAB，2BC,则球O的表面积等于_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17设向量12,e e的夹角为060且121,ee如果121212,28,3.ABeeBCee CDee（1）证明：,A B D三点共线.（2）试确定实数k的值，使k的取值满足向量122ee与向量12eke垂直.18已知 22axbfxxx，02f，11f（1）求实数 a、b的值，并确定 f x的解析式；（2）试用定义证明 f x在2,内单调递减 19已知函数 2lgxf xaxb，10f，当0 x
4、时，恒有 1lgf xfxx（1）求 fx的表达式及定义域；（2）若方程 lgf xt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程 lg 8f xxm的解集为，求实数m的取值范围 20已知(0)f xx xa a，1当2a 时，求函数 f x在1,3上的最大值；2对任意的1x，21,1x ，都有 124f xf x成立，求实数a的取值范围 21袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率；()现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且
5、标号之和小于 4 的概率.22已知Ra，函数24()log()2f xax.（1）若关于x的不等式 2log21f xxa 对任意3,6x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程21()log()43 2f xaxa有两个不同实数根，求a的取值范围.参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1、B【解析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.【详解】过点O作OMBC，垂足为M 则由已知可得四边形AOMB 为矩形，MOC 为等腰直角三角形 1CMBCAO ，2O C 根据直观图画出原图如下：可得原图形为直角梯形，,/OAOC OACB，且1,
6、2,2 2OABCOC，可得原四边形的面积为1(12)2 23 22 故选：B.2、A【解析】记2|(1)9,Axx|(2)()0;Bxxxa根据题意知AB，所以4,4.aa 则故选 A 3、C【解析】利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.【详解】由题意，函数2213()1()24f xxxx，可得函数 f x在区间30,2上单调递增，所以当0 x 时，函数取得最小值，最小值为(0)1f，当32x 时，函数取得最小值，最小值为19(0)4f，故选 C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理
7、与计算能力，属于基础题.4、A【解析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得；【详解】解：对于 A：|2xyf x定义域为R，且|22xxfxf x，即 f x为偶函数，且 2,022,0 xxxxf xx在(0,)上单调递增，故 A正确；对于 B：21yf xx定义域为|0 x x，且 2211fxf xxx，即 f x为偶函数，f x在(0,)上单调递减，故 B 错误；对于 C：|ln|yx定义域为0,，定义域不关于原点对称，故|ln|yx为非奇非偶函数，故 C错误；对于 D：2yf xxx定义域为R，但是 22fxxxxxfx ，故 2f xxx为非奇非偶函数，故 D 错误；故选
8、：A 5、A【解析】根据特殊角的三角函数值求出点A的坐标，再根据任意角三角函数的定义求出的值.【详解】3sin1202，1cos1202 ，即31,22A，该点在第四象限，由0360，3cos2，得330.故选：A.6、C【解析】两直线 2x+3y-k=0 和 x+ky-12=0 的交点在 y 轴上，令 x=0，可得123kyk，解得 k 即可【详解】两直线 2x+3y-k=0 和 x+ky-12=0 的交点在 y 轴上，令 x=0，可得123kyk，解得 k=6 故选 C【点睛】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7、A【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求
9、解.【详解】由函数2log(32)yx，则320 x，解得32x，所以函数的定义域为3,2.故选：A【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，需熟记对数的真数大于零，属于基础题.8、D【解析】根据三角函数在各象限的符号即可求出【详解】因为点tan,sinP是第三象限的点，所以tan0sin0，故的终边位于第四象限 故选：D 9、B【解析】先计算出从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，共有12种情况，再求出满足xy为整数的情况，即可求出xy为整数的概率.【详解】解：从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，则x有4种选法，y有3种选法，共有4 3 12 种情况；则满足xy为整数的情况如下：当
10、2y 时，4x 或6x 有2种情况；当3y 时，6x 有1种情况；当4y 或6y 时，则xy不可能为整数，故共有2 13 种情况，故xy为整数的概率是：31=124.故选：B.10、B【解析】分类讨论：若 a1,由题意可得：2211axx 在区间1,2上恒成立，即222,axx ax在区间1,2上恒成立，则max2ax，结合反比例函数的单调性可知当2x 时，max2212x，此时2a；若 0a1,由题意可得：20211axx 在区间1,2上恒成立，即min2max212axaxx，111,2,12xx，函数 2212112f xxxx ，结合二次函数的性质可知，当11x时，f x取得最大值 1
11、，此时要求1a，与01a矛盾.综上可得：a的取值范围是(2,).本题选择 B选项.点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件 11、C【解析】可求出集合 B，然后进行交集的运算，即可求解，得到答案【详解】由题意，可得集合Bx x 2，又由A0,1,2,3,4，所以 AB3,4 故选 C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、A【解析】根据圆心距以及圆的半径确定正确
12、选项.【详解】圆1O：221xy的圆心为10,0O，半径为11r.圆2O：22410 xyx 的圆心为22,0O，半径为23r.122OO，211221rrOOrr，所以两圆相交.故选：A 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13、2 55【解析】根据余弦函数的定义可得答案.【详解】解：2,1P 是角终边上的一点，2222 5cos521 故答案为：2 55.14、-2【解析】由已知可得 000013112002101012010 xxxxxfxmg为偶函数，即0022fxmfxm，令01x，由13fmfm，可得13mm，计算即可得解.【详解】对任意0 x R，001301010 x
13、xfxm，将函数向左平移 2 个单位得到 000013112002101012010 xxxxxfxmg，00gxxg函数为偶函数，所以0022fxmfxm，令01x，由13fmfm，可得13mm，解得：2m .故答案为：2.15、0【解析】可得 2logf xx，再代值求解 2ff的值即可【详解】2xy 的反函数为 2logf xx，则 22log 21f，则 221log 10fff，则 20ff.故答案为：0 16、4【解析】由已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点，所以OAOBOCOS，又SAABC平面，ABBC，所以四面体SABC的外接球半径等于以长宽高分别以 SA,AB,BC
14、三边长为长方体的外接球的半径，因为1SAAB，2BC,所以2222=2,1RSAABBCR，所以球O的表面积244SR 点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（1）见解析（2）54k 【解析】（1）利用向量的加法求出BD，据此，结合12ABee，可以得到AB 与BD的关系；（2）根据题意可得12122?0eeeke，再结合12e e，的夹角为60，且12=1ee，即可得到关于k 的方程，求解即可.试题解析：（1）1212,55ABee BDBCCDee 5BDAB即,AB
15、BD共线，,AB BD有公共点B,A B D三点共线.（2）12122eeeke 121220eeeke 22112122220eke ee eke 121,ee且012121cos602e ee e 1202kk 解得54k 18、（1）1a ，4b；42xf xx （2）证明见解析【解析】（1）根据条件解出即可；（2）利用单调性的定义证明即可.【小问 1 详解】由 02f，11f，得2,211,3bab 解得1a ，4b，42xf xx【小问 2 详解】设122xx，则 21121212126442222xxxxf xf xxxxx 12220 xx，210 xx，120f xf x，即
16、12f xf x，f x在2,上单调递减 19、（1）2()lg1xf xx，,10,；（2）0,22,；（3）018m【解析】（1）由已知中函数 2lgxf xaxb，10f，当0 x 时，恒有 1lgfxfxx，我们可以构造一个关于,a b方程组，解方程组求出,a b的值，进而得到 f x的表达式；（2）转化为21xtx，解得2txt，可求出满足条件的实数t的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程 lg 8f xxm的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）当0 x 时，1lgfxfxx
17、22lglglgxxxaaxbbx，即22lglglgxxaxbabx，即2lglg2xabxxaxb，22xabxxaxb 整理得20ab xab x恒成立，ab，又 10f，即2ab，从而1ab 2()lg1xf xx，201xx，1x ，或0 x，f x的定义域为,10,（2）方程 lgf xt有解，即2lglg1xtx，21xtx，2xtt，2txt，12tt，或02tt，解得2t 或02t，实数t的取值范围 0,22,（3）方程 lg 8f xxm的解集为，2lglg 81xxmx，281xxmx，2860 xm xm，方程的解集为，故有两种情况：方程2860 xm xm无解，即，得
18、218m，方程2860 xm xm有解，两根均在1,0内，286g xxm xm，则 0100061016ggm 解得02m 综合得实数m的取值范围是018m【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.20、（1）3；（2）02a.【解析】（1）由2a，得出函数 f x的解析式，根据函数图象，得函数 f x的单调性，即可得到函数 f x在1,3上的最大值；（2）对任意的12,1,1x x ，都有 124f xf x成立，等价于对任意的12,1,1x x ，maxmin4f x
19、f x成立，再对a进行讨论，即可求出实数a的取值范围.试题解析：（1）当2a 时，2,222,2x xxf xx xxxx，结合图像可知，函数 f x在1,1上是增函数，在1,2上是减函数，在2,3上是增函数，又 11f，33f，所以函数 f x在1,3上的最大值为3.（2）,x xaxafxx axxa(0)a，由题意得：maxmin4f xf x成立.12a时，2a，函数 f x在1,1上是增函数，所以 max11ffa，min11ffa，从而1124aaa，解得2a，故2a.因为224aaf，由24ax xa，得：22440 xaxa，解得：122xa或1202xa（舍去）当12122a
20、a 时，2212a，此时2max24aaff，min11ffa，从而22211124444aaaaa 成立，故2212a 当1212a时，221a，此时 max11ffa，min11ffa，从而1124aa 成立，故221a，综上所述：02a.点睛：（1）对于形如，对任意的12,x xI，12f xf xM恒成立的问题，可转化为 maxminf xf xM恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号 21、
21、(I)310P.(II)815P【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，故 所求的概率为310P.(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况，所以概率为815P.考点：古典概型 点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
22、22、（1）552a；（2）11 11(2,)(,)(,1)22 22.【解析】(1)利用函数的单调性去掉法则转化成不等式组恒成立，再借助均值不等式计算作答.(2)求出方程的二根，再结合对数函数的意义讨论即可计算作答.【小问 1 详解】依题意，3,6x，2224log()log(21)log2(21)axf xxaxa 21420axxa ，3,6x，12102xxaa ，而恒有1522x，于是得52a，3,6x，2244121xaxaaxx ，而4412122xxxx 42(2)152xx，当且仅当422xx，即4x 时取“=”，于得5a，因此有552a，所以实数a取值范围是552a.【小问
23、 2 详解】依题意，2224log(11()log()43 log()42)23 2f xaxxaaxaa1()430242aaxax，由4821()43(21)8 822axaaaxaxx(21)802(2)64axxa，因此，(28021)(2)4(2)2(21)(2)6402axxaxaxx，210a，解得14x，24221xa，因原方程有两个不同实数根，则21042421404240421aaaaa ，解得21a 且12a ，所以a的取值范围是11 11(2,)(,)(,1)22 22.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，函数 yf x的定义域为 D，(1),xD af x 成立 maxaf x；(2),xD af x 成立 minaf x.