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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-13。2“杨辉三角与二项式系数的性质 知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质（ab）n的展开式的二项式系数,当n取正整数时可以表示成如下形式:1杨辉三角的特点（1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数错误!相等（2）在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上两个数的错误!和,即 C错误!错误!C错误!C错误!.2二项式系数的性质 学必求其心得，业必贵于专精 -2-在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指 C错误!，C错误!，C错误!是组合数，而二项式项的系数是指该项
2、除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数（2)在求二项式系数时常用赋值法如1,0,1 等，赋值法体现了函数思想f(x)(axb）na0a1xa2x2anxn，f（1)a0a1学必求其心得，业必贵于专精 -3-a2an.在解题时要注意审题,恰当赋值 1判一判（正确的打“”，错误的打“”)(1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列（)(2)二项式展开式的二项式系数和为 C错误!C错误!C错误!。（)（3）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案(1）（2）(3）2做一做(1)错误!11的展开式中二项式系数最大的项是第_项（2)若(ab）n的展开式中只有第 5
3、 项的二项式系数最大,则n_.（3)已知（ax)5a0a1xa2x2a5x5,若a280，则a0a1a2a5_.答案(1）6 和 7(2)8（3)1 解析(1）由n11 为奇数，则展开式中第错误!项和第错误!1 项,即第 6 项和第 7 项的二项式系数相等，且最大 学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2)由二项式系数的性质可知,第 5 项为二项展开式的中间项,即二项展开式有 9 项，故n8.(3)展开式的通项为Tr1(1）rC错误!a5rxr，令r2，则a2（1）2C25a380，所以a2。则(2x）5a0a1xa2x2a5x5,令x1，得a0a1a51。探究错误!杨辉三角的有关问题 例 1
4、如图所示,在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2，3，3,6，4，10，,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.解 由题图知，数列中的首项是 C22,第 2 项是 C错误!，第 3 项是 C2，3,第 4 项是 C13，,第 17 项是 C错误!，第 18 项是 C错误!，第 19项是 C2，11.S19（C1，2C错误!)（C错误!C错误!)（C错误!C错误!)(C错误!C错误!）C错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-（C错误!C错误!C错误!C错误!）(C错误!C错误!C错误!C错误!）错误!C错误!274.拓展提升 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 跟踪
5、训练1(1)如图数表满足:第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n2)行的第 2 个数是_;（2）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0,得到如图所示的三角数表从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第_学必求其心得，业必贵于专精 -6-行；第 61 行中 1 的个数是_ 答案（1）错误!(2)2n1 32 解析（1）由图中数字规律可知,第n行的第 2 个数是123(n1)1错误!1.（2)观察可得第 1 行，第 3 行，第 7 行,第 15 行，全行都为 1,故第n次全行的数都为 1 的是第 2
6、n1 行；n626163，故第 63 行共有 64 个 1，递推知第 62 行共有 32 个 1，第 61 行共有 32个 1。探究错误!二项展开式的系数和问题 例 2 在（2x3y)10的展开式中，求:(1)各项的二项式系数的和;(2）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3）各项系数之和;(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和 学必求其心得，业必贵于专精 -7-解 在(2x3y)10的展开式中：(1）各项的二项式系数的和为 C错误!C错误!C错误!2101024.(2)奇数项的二项式系数的和为 C0，10C错误!C错误!29512，偶数项的二项式系数的和为 C错误!C错误!C错误
7、!29512。(3)设(2x3y）10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10（*），各项系数之和即为a0a1a2a10，由于（)是恒等式，故可用“赋值法”求解令（*)中xy1，得各项系数之和为(23）10（1)101.(4）奇数项系数的和为a0a2a4a10，偶数项系数的和为a1a3a5a9.由（3)知a0a1a2a101。令()中x1，y1，得a0a1a2a3a10510。得 2(a0a2a10）1510，故奇数项系数的和为12（1510）；得 2(a1a3a9）1510，故偶数项系数的和为错误!（1510)学必求其心得，业必贵于专精 -8-拓展提升 求展开式的各项系数之和常用赋值法
8、“赋值法”是求二项式系数常用的方法,根据题目要求，灵活赋给字母不同的值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0 可得常数项，令x1 可得所有项系数之和,令x1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时,令x1 则可得各项系数绝对值之和 错误!设（2错误!x)100a0a1xa2x2a100 x100，求下列各式的值(1)a0;(2）a1a2a3a4a100；(3）a1a3a5a99；（4）(a0a2a100）2(a1a3a99)2；(5）|a0|a1|a100.解（1）令x0，则展开式为a02100。（2)令x1，可得a0a1a2a100(23）100，(）
9、所以a1a2a100(2错误!)1002100.学必求其心得，业必贵于专精 -9-（3)令x1，可得a0a1a2a3a100（2错误!）100。与（2）中（）式 联 立 相 减 得a1a3 a9923100231002。（4)原式(a0a2a100）（a1a3a99)（a0a2a100）（a1a3a99)（a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100）(23)（2错误!)10011001.(5）因为Tr1(1）rC错误!2100r（错误!)rxr,所以a2k10（kN）所以a0|a1|a2a100 a0a1a2a3a100（2错误!）100.探究错误!求二项展开式中的最大项问题
10、 例 3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为 32.（1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项 学必求其心得，业必贵于专精 -10-解 令x1，则展开式中各项系数和为（13)n22n.又展开式中二项式系数和为 2n.错误!2n32，n5.(1)n5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两项,拓展提升 1。二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论 学必求其心得，业必贵于专精 -11-（1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大(2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 2展开式中系数的最大项
11、的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求（abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，,An，且第r1 项最大，应用错误!解得r，即得出系数的最大项 错误!已知二项式错误!n。(1）若展开式中第 5 项，第 6 项，第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项 解(1）由题意，得 C错误!C错误!2C错误!，n221n980，n7 或n14。当n7 时，展开式中二项式系数最大的
12、项是T4和T5，T4的系数为 C错误!错误!423错误!,T5的系数为 C错误!错误!32470.学必求其心得，业必贵于专精 -12-故展开式中二项式系数最大项的系数分别为错误!,70。当n14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数为 C7，14错误!7273432。故展开式中二项式系数最大项的系数为3432。（2)由题意知 C错误!C错误!C错误!79，解得n12 或n13（舍去）设展开式中第r1 项的系数最大，由于错误!12错误!12（14x）12，则错误!9.4r10.4.又r0，1,2，12，r10,系数最大的项为T11，且T11错误!12C错误!（4x)1016896x1
13、0.1（2错误!）8展开式中不含x4项的系数的和为（）A1 B0 C1 D2 学必求其心得，业必贵于专精 -13-答案 B 解析 展开式中x4项的系数为 C错误!1.又（2错误!）8展开式中各项系数和为（21）81,展开式中不含x4项的系数的和为 0.2在错误!n（nN)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（)A32 B32 C0 D1 答案 D 解析 由题意得 2n32，得n5。令x1，得展开式所有项的系数之和为（21)51.故选 D。3 若(12x)2019a0a1xa2019x2019（xR），则错误!错误!a201922019的值为（)A2 B0 C2 D1 答案
14、D 学必求其心得，业必贵于专精 -14-解析（12x）2019a0a1xa2019x2019,令x错误!，则错误!2019a0错误!错误!错误!0，其中a01，所以a12错误!错误!1。4如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为错误!(n2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：错误!错误!错误!，错误!错误!错误!，错误!错误!错误!,，则第n（n3)行第 3 个数字是_ 答案 错误!(nN*，n3）解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形 杨辉三角形中第n（n3)行第 3 个数字是
15、nC2，n1，则“莱布尼茨调和三角形第n(n3）行第 3 个数字是错误!错误!。5在二项式(2x3y）9的展开式中，求：(1）二项式系数之和；学必求其心得，业必贵于专精 -15-(2)各项系数之和;（3）所有奇数项系数之和;(4）系数绝对值的和 解 设（2x3y）9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9。(1)二项式系数之和为 C错误!C错误!C错误!C错误!29。(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.（3)由（2）知a0a1a2a91,令x1,y1，可得：a0a1a2a959，将两式相加除以 2 可得：a0a2a4a6a8错误!，即为所有奇数项系数之和（4）解法一:a0a1a2a9a0a1a2a9，令x1，y1，则|a0a1a2|a9a0a1a2a959。解法二：|a0a1|a2|a9|即为(2x3y）9展开式学必求其心得，业必贵于专精 -16-中各项系数和，令x1，y1 得:a0|a1|a2|a9|59.