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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届上海市高考模拟数学试题 一、单选题 1在平面直角坐标系内，到点1,2A和直线l：30 xy距离相等的点的轨迹是（）A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线【答案】A【解析】根据已知判断点 A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项.【详解】由题意，点1,2A在直线30 xy上，即动点到点 A 的距离与动点到直线l的距离相等，所以动点的轨迹是一条过点 A 且与直线 l垂直的直线.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.2已知数列 na的前n项和为nS，则“1nnaanN”是“11nnSSnnnN”的（）A充分不必
2、要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先证明充分性，由条件1nnaa，可得121nnaaana，通过变形得到11nnSSnn，再由条件11nnSSnn，列举特殊数列，说明是否成立.【详解】充分性：若1nnaa，则有121nnaaana，即1nnnSn SS，得11nnnSnS，于是有11nnSSnnnN成立，故充分性成立.必要性：若11nnSSnnnN成立，取数列 na为0,1,1,1,，但推不出1nnaanN，故必要性不成立.故选:A 努力的你，未来可期!精品【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n项和公式的综合应用，重点考查转化与
3、化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.3如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O的动点，则下列叙述不正确的是（）APA PCPB PD是定值；BPA PBPB PCPC PDPD PA是定值；CPAPBPCPD是定值；D2222PAPBPCPD是定值【答案】C【解析】建立直角坐标系后，设正方形边长为 2a，圆的半径为r，表示出各点坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可判断 A.、B、D 选项，举出反例即可判断 C，即可得解.【详解】如图建立直角坐标系,设正方形边长为 2a，圆的半径为r，则圆的方程为 222xyr，设点P xy，则A aa，Baa，Caa，D aa，,PAax ay
4、，,PBax ay ，,PCaxay ，,PDaxay，对于 A：,+ax ayaxayaPA PCPB PDx ayaxay 222222424xyara，故 A正确；对于 B：+PA PBPB PCPC PDPD PAPBPA PCPDPCPA 222+44PBPDPA PrCxy，故 B正确；努力的你，未来可期!精品 对于 C：不妨取1,2ar，取点2 0P，210+2PAPBPCPD，取点13P，2 3+8+2 3+82 3PAPBPCPD，故 C 错误；对于 D：2222PAPBPCPD 22222222+axaya xaya xa yaxa y 2222+2+2+2+2axa xa
5、ya y 22222+4+8+84axyar，故 D正确，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题.4若不等式sin04axbx，对于0,2x成立，则sin ab，cos ab分别等于（）A22；22 B22；22 C22；22 D22；22【答案】D【解析】设|f xaxb，根据三角函数值的符号，求得函数 f x符号的变化，根据函数 f x的单调性与对称性，求得,a b的值，即可求解.【详解】由02x，则9444x，当44x或9244x时，即304x或724x时，4in(0s)x，努力的你，未来可期!精品 当24x时，即3744x时，4in(0s
6、)x，所以当304x或724x时，|0axb，当3744x时，|0axb，设函数|f xaxb，则 f x在(,)b上单调递增，在(,)b 上单调递减，且函数 f x的图象关于直线xb对称，所以37()()044ff，所以3752442b，解得54b，又由335()|0444fa，解得2a，所以52sin()sin()242ab，52sin()sin()242ab.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数|f xaxb 的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.二、填空题 5已知集合2lo
7、g21Axx，31Bxx，则AB _【答案】3,4【解析】先解对数不等式和分式不等式求得集合 A、B，再根据交集定义求得结果.【详解】因为2log210222 4Axxxx，331003xBxxxx，所以3,4AB，故答案为：3,4.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6已知等比数列 na的前n项和为nS，且满足1213nnSt，则t _【答案】32【解析】先由行列式的计算求得nS，再根据数列的前 n 项与通项的关系求得123aaa，由等比数列的定义可求得答案.【详解】因为1213nnSt，所以13 2nnSt，所以1 1113 23
8、aStt，2 11 12213 23 23aSStt，3 12 13323 23 26aSStt，又因为数列 na是等比数列，所以3221aaaa，即6333t，解得32t，故答案为：32.【点睛】本题考查行列式的计算，数列的前 n 项与通项的关系，等比数列的定义，属于中档题.7 已知双曲线22116xym的一个焦点15,0F，其中一条渐近线为l，过1F作1F Al交l于A，则A到原点距离是_【答案】3【解析】利用双曲线的方程及焦点坐标得出9m，则可写出渐近线l的方程，然后根据题目条件利用几何法解出.点A到原点的距离.【详解】努力的你，未来可期!精品 由题意得：1625m，解得9m，设渐近线4
9、:3l yx，则14tan3AOF，所以13cos5AOF,又因为15OF，故15cos3OAAOF.故答案为：3.【点睛】本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.8某学校高三年级有A、B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_.【答案】12【解析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随
10、机选择其中一个教室自习共有32种，甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A、B两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在A、B两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有2 24 种选择.因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为4182.故答案为：12.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.努力的你，未来可期!精品 9已知22log2logabab，则4ab的最小值是_【答案】9【解析】根据对数相等得到111ba，利用基本不等式求解114abba的最小值得到所求结果.【详解】因为22
11、222logloglogababab，所以22logoglabab，所以abab，所以111ab，1144414ababababba，由题意知0ab，则0ab，40ba，则44414259abababbaba，当且仅当4abba，即2ab时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111ba的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.10若1x是关于x的实系数方程230 xbx的一个虚根，则1x等于_【答案】3【解析】若设1xmni，再结已知条件利用韦达定理可求得结果【详解】解：设1(,)xmni m nR，则方程的另一个根为2xmn
12、i，所以222212()()()x xmni mnimnimn，由韦达定理得123x x，所以223mn，所以2213xmn，故答案为：3【点睛】此题考查复数的运算，考查韦达定理的应用，考查复数的模，属于基础题 11如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长努力的你，未来可期!精品 的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是_2m.【答案】754【解析】试题分析：由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的25a，设气球的半径为R，入射角为的平行光线与底面所成角就为60，则有2 sin602aR，即5 34R，从而气球的表面积为27544R2m.【考点】球及球的表面积计
13、算.12在复变函数相关领域中，欧拉公式为cossiniei（这里i是虚数单位），当时，可以得到10ie，这个公式被誉为数学中最令人着迷的公式，根据欧拉公式，则54ie_【答案】4【解析】由题得54|4(cos5sin5)|iei，再利用复数的模的公式求解.【详解】由题得5224|4(cos5sin5)|=16cos 5 16sin 5=4iei.故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13 对于*Nn，将n表示为1101102222kkkknaaaa，当ik时，1ia；当01ik 时，ia为 0 或 1定义nb如下：在n的上述表示中，当0a，1a，
14、2aka中等于 1 的个数为奇数时，1nb；否则0nb 则3456bbbb_ 【答案】1【解析】由已知可得，0220231 21 2,41 2,51 21 2,61 21 2 ，可得30b，41b，50b，60b，从而可得结论 努力的你，未来可期!精品【详解】解：由题意可知，0220231 21 2,41 2,51 21 2,61 21 2 ，所以30b，41b，50b，60b，所以3456bbbb1，故答案为：1【点睛】此题考查新定义运算问题，正确理解新定义传递的信息是解题的关键，属于基础题 14设正数数列 na的前n项和为nS，数列 nS的前n项之积为nT，且1nnST，则limnnS_【
15、答案】1【解析】令1n 可得11112aST，利用nT的定义，1(2)nnnTSnT，可得nT的递推关系，从而得1nT是等差数列，求出nT后可得nS，从而可得limnnS【详解】111TaS，121a，112a，即1112ST，1(2)nnnTSnT，11nnnTTT，1111nnTT，即 nT是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，故1211nnnT，11nTn，1nnSn，112S 也符合此式，所以1nnSn，所以limlimlimlim+1 111111nnnnnnnSnnn，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化 如对积n
16、T有1(2)nnnTSnT，对和nS有1(2)nnnaSSn，另外这种关系中常常不包括1n 的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题 努力的你，未来可期!精品 15工人师傅在如图 1 的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图 2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图 3.对工人师傅所画的曲线，有如下说法（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧.则正确的说法序号是_.【答案】（3）（4）【解析】【分析】试题分析：利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论【详解】解：将图 2 剪开展成平面图分析
17、可知，曲线为轴对称图形，将图 3 剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形 所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有正确 故答案为：（3）（4）【点睛】本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础 16 已知直线l与单位圆O交于11,A x y，22,B x y两点，且圆心O到l的距离为32，则1122xyxy的取值范围是_【答案】6,62【解析】由圆心O到l的距离为32可得3AOB，设点11,A x y到直线0 xy努力的你，未来可期!精品 的距离为1112xyd，点22,B x y到直线0 xy的距离为2222xyd，则1122122xyxydd，设直线OA与
18、直线0 xy的夹角为，分AB，在直线0 xy的同侧和异侧两种情况进行讨论即可.【详解】直线l与单位圆O交于11,A x y，22,B x y两点，且圆心O到l的距离为32，半径为 1，可得3AOB,如图直线0 xy与圆交于,E F两点，则点11,A x y到直线0 xy的距离为1112xyd，点22,B x y到直线0 xy的距离为2222xyd，设直线OA与直线0 xy的夹角为，当AB，在直线0 xy的同侧时，2,0,3AOE,则23BOF,11221222=2 sinsin=6sin36xyxydd，20,3，5+,666，1sin,162，所以11226,62xyxy；努力的你，未来可期
19、!精品 当AB，在直线0 xy的异侧时，如图,0,3AOF,则3BOF,1122122=2 sinsin=2sin33xyxydd，0,3，2+,333，3sin,132，所以11226,22xyxy,综上，1122xyxy的取值范围是6,62.故答案为：6,62【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式和两角差的正弦公式以及辅助角公式的应用，考查转化能力和计算能力，属于中档题.三、解答题 17已知正方体1111ABCDABC D，12AA，E为棱1CC的中点 （1）求异面直线AE与1DD所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求C点到平面ABE的距离，并求出三锥CADE
20、的体积 努力的你，未来可期!精品【答案】（1）1arccos3；（2）C点到平面ABE的距离为2 55，三锥CADE的体积为23【解析】（1）由已知得AEC（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，求解AEC可得答案；（2）利用等体积EABCCABEVV，可求得设C点到平面ABE的距离，利用CADEA CDEVV，可求得三锥CADE的体积【详解】解：（1）连接 AC，因为11/CCDD，所以AEC（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，在AEC中，2222111cos32 21ECAECAEACEC，所以异面直线AE与1DD所成角是1arccos3；（2）设C点到平面ABE的距离为 h，因为EA
21、BCCABEVV，即1133ABCABESECSh，又正方体1111ABCDABC D中，AB面11BBC C，所以ABE是RtABE，又2222215BEBCEC，所以11112 2 1253232h ，解得2 55h，所以CADEA CDEVV1112 12332DCESAD 23.【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档题.努力的你，未来可期!精品 18已知a、b、c为正实数，0,（1）当a、b、c为ABC的三边长，且a、b、c所对的角分别为A、B、C若3a，1c，且3A求b的长；（2）若2222cosabcbc试证明长为a、b、c的线
22、段能构成三角形，而且边a的对角为【答案】（1）2b；（2）证明见解析【解析】（1）利用余弦定理列方程，解方程求得b的值.（2）结合余弦定理和cos1,1，证得bcabc，也即三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边，由此证得a、b、c的线段能构成三角形.结合余弦定理证得a的对角为.【详解】（1）由2312 cos3bb，231bb，即220bb，2b 或1b （舍去）.（2）由0,，可得cos1,1 所以22222222222cos2bcbcbcbcbcabcbcbc 也就是bcabc，因此长为,a b c的线段能构成三角形，不妨记为ABC 在ABC中，由余弦定理可设222coscos2b
23、caAbc 即coscosA，又,0,A，由cosyx的单调性可得A 所以边a的对角为【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于中档题.19由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1 个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为168,0224,24xxyxxx，只有当河流中碱的浓度不低于 1 时，才能对污染产生有效的抑制作用.努力的你，未来可期!精品（1）如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放 1 个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的
24、碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.【答案】（1）1172；（2）148 2.【解析】【详解】（1）16517517181517222220202xxxxxx,412324xxx,综上，得51732x.即若 1 个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为517117322.（2）当02x时，1682yxx 单调递增,当24x时，y=4-x 单调递减,所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放 1 个单位的固体碱，即24x时，16164(2)814(2)2yxxxxx,故当且仅当162,2 2xxx时，y有最大值148 2.本试题主要考查了函数在实际生活中的运用.20记00
25、22axbycab到点00,P x y与直线l：0axbyc的“有向距离”（1）分别求点1,2A 与2,3B到直线l：210 xy 的“有向距离”，由此说明直线l与两点A、B的位置关系（2）求证：到两条相交定直线0bxay（a，b不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线（3）利用上述（2）结论证明：曲线24330 xxy为双曲线，并求其虚轴长 努力的你，未来可期!精品【答案】（1）,A B两点“有向距离”分别为135，225；说明两点A、B分别在直线l的两侧，且点A距离直线l较远；（2）证明见解析；（3）证明见解析，虚轴长为2669【解析】（1）根据“有向距离”定义直接求
26、解，并根据值的符号与绝对值大小确定位置关系；（2）根据“有向距离”定义列轨迹方程，根据方程特征证明双曲线；（3）先确定双曲线渐近线方程，再确定实轴所在直线方程，进而解得实轴长，即得虚轴长.【详解】（1）由122 1355，243 1255 说明两点A、B分别在直线l的两侧，且点A距离直线l较远（2）证明：设两条相交的直线方程为0bxay（a，b不同时为零），动点,M x y，则有向距离之积为22222222220bxaybxayb xa yk kababab 即222222221baxyabkabk 即22221,0 xym nmn 形式显然所求动点的轨迹为双曲线 反之，可以证明：双曲线上任意
27、一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数 证明：设双曲线方程222222221baxyabkabk上任意一点为,M x y，它到双曲线的两条渐近线0bxay的有向距离之积为 22222222222222abkbxaybxayb xa ykabababab（3）因为方程24330 xxy可以变为43355xyx，所以方程表示为,M x y到y轴和直线430 xy的有向距离之积为35的轨迹，因此曲线24330 xxy为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为y轴和直线430 xy 努力的你，未来可期!精品 因为方程24330 xxy可以变为413xyx，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的
28、直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为3 43 90,1,5 55 5d，斜率为3k，因此双曲线实轴所在的直线为3yx 联立方程234330yxxxy 求得解得双曲线的顶点为33,355A，33,355A 因此6aOA 故双曲线的实轴长为2 6 设过点A作实轴的垂直线交y轴为B，则直线AB的方程为3133535yx 令0 x，得10335cy 因此22233827bca，1369b 故双曲线的虚轴长为2669【点睛】本题考查新定义、双曲线定义、双曲线基本量，考查综合分析求解能力，属较难题.21已知数列 na是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*Nk，使得212n
29、nnaaka，对任意的*Nn成立，则称数列 na具有性质 k（1）分别判断下列数列 na是否具有性质 2；（直接写出结论）1na；2nan（2）若数列 na满足11,2,3nnaan，求证：“数列 na具有性质 2”是“数列 na为常数列”的充分不必要条件；（3）已知数列 na中11a，且11,2,3nnaan若数列 na具有性质 4，求数列 na的通项公式 努力的你，未来可期!精品【答案】（1）数列 na具有“性质 2”；数列 na不具有“性质 2”；（2）证明见解析；（3）21nan【解析】（1）验证对任意的*Nn，是否有2122nnnaaa成立；（2）先证明充分性，即证明当数列 na具有
30、性质 2时，na为常数列，再证明充分性，即 na为常数列时，na具有性质 2；（3）先利用 na具有性质 4证明12nnaa恒成立，然后运用反证法可证明12nnaa成立，则12nnaa，然后可解得数列 na的通项公式.【详解】解：（1）数列 na具有“性质 2”；数列 na不具有“性质 2”（2）先证“充分性”：当数列 na具有“性质 2”时，有2122nnnaaa，又因为21nnaa，所以22100nnnnaaaa，进而有2nnaa，结合21nnaa有12nnnaaa ，即“数列 na为常数列”；再证“必要性”：若“数列 na为常数列”，则有212122nnnaaaa，即数列 na具有“性质
31、 2”（3）首先证明：12nnaa 因为 na具有“性质 4”，所以2124nnnaaa 当1n 时有2133aa 又因为212*,Nnnnaaa且221nnaa，所以有221nnaa，2121nnaa，进而有221121122nnnnaaaa ，所以123nnaa，努力的你，未来可期!精品 结合21*,Nnnaa可得：12nnaa 然后利用反证法证明：12nnaa 假设数列 na中存在相邻的两项之差大于，即存在*Nk 满足：2123kkaa或22213kkaa，进而有 122212214kkkkkkaaaaaa 2222121kkkkaaaa 22212122122219kkkkkkkkaaaaaaaa 又因为*1Nkkaa，所以13kkaa 依次类推可得：213aa，矛盾，所以有12nnaa 综上有：12nnaa，结合11a 可得21nan，经验证，该通项公式满足2124nnnaaa，所以：21nan【点睛】本题考查新定义数列问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，难度较大.