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1、2014 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 竞赛时间：2014 年 3 月 2 日上午 9:00-11:00 一、选择题 共 6 小题，每题 6 分，共 36 分 以下每题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分 1假设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】A2013 B2014 C2015 D0【答】D 解：最大的负整数是1，=1；绝对值最小的有理数是0，=0；倒数等于它本身的自然数是 1，=1.=0.2.已知实数满足则代数式的值是【】A B3 C
2、 D7【答】A 解：两式相减得 3如图，将外表展开图图 1复原为正方体，按图 2 所示摆放，那么，图 1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【】A B C D 【答】C 解：将图 1 中的平面图折成正方体，MN和线段 c 重合.不妨设图 1 中完整的正方形为完整面，AMN 和ABM 所在的面为组合 面，则 AMN 和ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2，首先确定 B 点，所以线段 d与 AM 重合，MN 与线段 c 重合.4.已知二次函数的图象如下图，则以下 7 个代数式，中，其值为正的式子的个数为【】A2个 B3 个 C4 个 D4 个以上 【答】C 解：由图象可得：，.抛物
3、线与轴有两个交点，.当=1 时，即.当=时，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边，即，.因此 7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，RtOAB 的顶点O与坐标原点重合，AOB=90，AO=2BO，当A点在反比例函数 x0的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】A x0 Bx0 C x0 Dx0 【答】B 解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么，则，故.6如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且AC=DB=1，点 P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP
4、，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为【】A1 B2 C3 D6 【答】B 解：设 KH 中点为 S，连接 PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形 PESF为平行四边形，G 为 PS 的中点,即在点 P 运动过程中，G 始终为PS的中点，所以 G 的运行轨迹为CSD 的中位线,CD=ABACBD=611=4，点 G 移动的路径长为=2.二、填空题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分 7已知，化简得 .【答】解：，原式=.8.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球假设干个，
5、其中红色玻璃球有 6 个，黄色玻璃球有 9 个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .【答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以 P摸出一个红色玻璃球=.9.假设，则=.【答】8 解：，.则，即.10如图，在 RtOAB 中，AOB=30，AB=2，将 RtOAB 绕 O 点顺时针旋转 90得到 RtOCD，则AB扫过的面积为 .【答】解：RtOAB 中，AOB=30，AB=2，AO=CO=，BO=DO=4，阴影部分面积=.11如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是 AD 上一个动点，把BAE 沿 BE 向矩形
6、内部折叠，当点 A 的对应点 A1恰落在BCD 的平分线上时，CA1=.【答】解：过 A1作 A1MBC，垂足为 M，设 CM=A1M=x，则 BM=4x，在 RtA1BM 中，=，x=A1M=，在等腰 RtA1CM 中，C A1=.12已知 a、b、c、d 是四个不同的整数，且满足 a+b+c+d=5，假设 m 是关于 x 的方程xaxbxcxd=2014 中大于 a、b、c、d 的一个整数根，则 m 的值为 .【答】20 解：mambmcmd=2014，且 a、b、c、d 是四个不同的整数，由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根，ma、mb、mc、md是四个不同的正整数.2014=
7、121953，ma+mb+mc+md=1+2+19+53=75.又a+b+c+d=5，m=20.三、解答题第 13 题 14 分，第 14 题 16 分，第 15 题 18 分，共 48 分 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本 5 元，大笔记本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的 2 倍，共花费 346 元，假设使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本 y 本，钢笔 z 支，则有，.易知 0 x69，0y49，0z34,4 分，即.x，y，z 均为正整数，0，即0z14 z 只能取
8、 14，9 和 4.8分 当 z 为 14 时，=2，=28.当 z 为 9 时，=26，=18.当 z 为 4 时，=50，=8.综上所述，假设使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本 50 本，大笔记本8本，钢笔4支.14 分 14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.1假设点P是边AD上的一个动点不与点A、D重合，设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；2假设AE=2EB.求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的O 的半径长；圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？直接写出
9、满足条件的圆的个数即可.14、解：1在 Rt中，5 分 2.7 分 假设与直线 DE、AB 都相切，且圆心在 AB 的左侧，过点作于，则可设.解得10 分 假设与直线 DE、AB 都相切，且圆心在 AB 的右侧，过点作于，则可设 解得 即满足条件的圆的半径为或6.13 分 6个.16 分 15.如图 1，等腰梯形 OABC 的底边 OC 在 x 轴上，ABOC，O 为坐标原点，OA=AB=BC，AOC=60，连接 OB，点 P 为线段 OB 上一个动点，点E为边OC 中点.1连接PA、PE，求证：PA=PE；2连接PC，假设 PC+PE=，试求 AB 的最大值；3在2在条件下，当 AB 取最大
10、值时，如图 2，点M坐标为0，1，点D为线段 OC 上一个动点，当D点从 O 点向 C 点移动时，直线MD与梯形另一边交点为 N，设D点横坐标为 m，当MNC 为钝角三角形时，求 m 的范围.解：1证明：如图 1，连接 AE.5 分 (2)PC+PE=，PC+PA=.显然有OB=ACPC+PA=.7 分 在 RtBOC 中,设 AB=OA=BC=x，则 OC=2x，OB=，2.即 AB 的最大值为 2.10 分 (3)当 AB 取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：当 N 点在 OA 上时，如图 2，假设 CNMN 时，此时线段OA上N点下方的点不包括N、O均满足MNC 为钝角三角形.过 N 作 NFx 轴，垂足为 F，A点坐标为1，可设 N 点坐标为，则DF=am，NF=，FC=4 a.OMDFNDFCN，.解得，即当 0时，MNC 为钝角三角形；14分 当N 点在AB 上时，不能满足MNC 为钝角三角形；15分 当N 点在BC 上时，如图 3，假设 CNMN 时，此时BC上N点下方的点不包括N、C均满足MNC 为钝角三角形.当4 时，MNC 为钝角三角形.综上所述，当 0或4 时，MNC 为钝角三角形.1