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1、2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年 3 月 2 日上午 9:00-11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共 36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1 若 a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则201520132014cba的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D解：最大的负整数是 1，a=1；绝对值最小的有理数是0，b=0；倒数等于它本身的自然数是1，c=1.2015
2、20132014cba=201520131020141）（=0.2.已知实数zyx,满足5422.xyzxyz，则代数式144zx的值是【】（A）3（B）3（C）7（D）7【答】A解：两式相减得3-3-34413.xzxz，则3如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段 MN 在图 2 中的对应线段是【】（A）a（B）b（C）c（D）d图2图1dcbaNM【答】C解：将图 1 中的平面图折成正方体，MN 和线段 c 重合.不妨设图 1中完整的正方形为完整面，AMN 和ABM 所在的面为组合面，则AMN 和ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NMBABA
3、图 2图1dcbaNM（第 3 题图）2，首先确定 B 点，所以线段 d 与 AM 重合，MN 与线段 c 重合.4.已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列7 个代数式ab，ac，bc，acb42，cba，cba，ba2中，其值为正的式子的个数为【】（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）4 个以上【答】C解：由图象可得：0a，0b，0c，0ab，0ac，0bc.抛物线与 x 轴有两个交点，042acb.当x=1 时，0y，即0cba.当x=1时，0y，即0cba.从图象可得，抛物线对称轴在直线x=1 的左边，即12ab，02ba.因此 7 个代数式中，其值为正的式子的个数为4 个
4、.5.如图，RtOAB 的顶点 O 与坐标原点重合，AOB=90，AO=2BO，当 A 点在反比例函数xy1（x0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【】（A）xy81（x0）（B）xy41（x0）（C）xy21（x0）（D）xy1（x0）【答】B解：如图，分别过点,A B分别做y轴的垂线,AN BM，那么ANOOMB，则.4)(2OBOASSOMBANO.81,2121OMBANOSANONS（第 4 题图）（第 5 题图）-11OyxOABxy41BMOM，故xy41.6如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC=DB=1，点 P 是线段
5、 CD 上的动点，分别以AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BRQP，E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF 的中点为 G，则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为【】（A）1（B）2（C）3（D）6【答】B解：设 KH 中点为 S，连接 PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形 PESF 为平行四边形，G 为 PS的中点,即在点 P 运动过 程中，G 始终为 PS 的中 点，所 以 G 的 运行 轨迹 为CSD 的中位 线,CD=ABACBD=611=4，点G 移动的路径长为421=2.二、填空题（共6 小题，每小题 6
6、 分，共 36 分）7已知223x，化简2)9(32xx得.【答】6-3x解：223x，032x，09x，原式=63932xxx.8.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有 6 个，黄色玻璃球有9 个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.SDCBAGFEPMNQRHK【答】256解：设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得5296xx，即 x=10，所以 P（摸出一个红色玻璃球）=25610966.9.若214xxx，则2211xx=.【答】8解：412xxx，31xx.则9)1(2xx，即7122xx
7、.81122xx10如图，在 RtOAB 中，AOB=30，AB=2，将 RtOAB 绕 O 点顺时针旋转90 得到 RtOCD，则 AB 扫过的面积为.【答】解：RtOAB 中，AOB=30，AB=2，AO=CO=32，BO=DO=4，阴影部分面积=AOBCODOBDOACSSSS扇形扇形=OBDOACSS扇形扇形=360)32(9036049022=.11如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 AD 上一个动点，把 BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A1恰落在 BCD 的平分线上时，CA1=.【答】122解：过 A1作 A1MBC，垂足为 M，设 CM
8、=A1M=x，则 BM=4x，在 RtA1BM 中，（第 10 题图）DCBAOA1EDCBA（第11题图）222121)4(9xBMBAMA，2)4(9x=2x，x=A1M=222，在等腰 RtA1CM 中，C A1=122.12已知 a、b、c、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若 m 是关于 x 的方程（xa）（xb）（xc）（xd）=2014 中大于 a、b、c、d 的一个整数根，则m的值为.【答】20解：（ma）（mb）（mc）（md）=2014，且 a、b、c、d 是四个不同的整数，由于 m 是大于 a、b、c、d 的一个整数根，（ma）、（mb）、（mc）、（md
9、）是四个不同的正整数.2014=1 2 19 53，（ma）+（mb）+（mc）+（md）=1+2+19+53=75.又a+b+c+d =5，m=20.三、解答题（第 13 题 14分，第 14 题 16 分，第 15题 18 分，共 48 分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5 元，大笔记本每本 7 元，钢笔每支 10 元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2 倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本 y 本，钢笔 z 支，则有3461075zyx，zy2.易知 0 x69，0y49，0
10、z34,4 分34610145zzx，346245zx，即524346zx.x，y，z均为正整数，z243460，即0z14z 只能取 14，9 和 4.8 分当 z 为 14 时，524346zx=2，zy2=28.44zyx.当 z 为 9 时，524346zx=26，zy2=18.53zyx.当 z 为 4 时，524346zx=50，zy2=8.62zyx.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50 本，大笔记本 8 本，钢笔 4 支.14 分14.如图，在矩形 ABCD 中，AD=8，直线 DE 交直线 AB 于点 E，交直线 BC 于 F，AE=6.（1）若点 P 是边
11、AD 上的一个动点（不与点A、D 重合），,HDEPH于设 DP为 x,四边形 AEHP 的面积为 y,试求 y 与 x 的函数解析式；（2）若 AE=2EB.求圆心在直线 BC 上，且与直线 DE、AB 都相切的 O 的半径长；圆心在直线 BC 上，且与直线 DE 及矩形 ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在 RtAED中，.10,8,6EDADAE290,.43.,.108655624.25AEDPHDPHDEADPDHEDAPHDEADxDHPHDHx PHxySSx 5 分（2）/,ADBCEBFEAD.3.1068EF
12、BF5,4.EFBF 7 分若1O与直线 DE、AB 都相切，且圆心1O在 AB 的左侧，过点1O作DFGO11于1G，则可设.1111rBOGO1111111,533 4222EO FEBOEBFSSSrr.解得.231r 10 分若2O与直线 DE、AB 都相切，且圆心2O在 AB 的右侧，过点2O作DFGO22于2G，则可设.2222rBOGO.5102136)4(21.2121222222rrGODFDCFOSDFO）（）（解得.62r即满足条件的圆的半径为23或 6.13 分6个.16 分15.如图 1，等腰梯形 OABC的底边 OC 在 x 轴上，ABOC，O 为坐标原点，OA=A
13、B=BC，AOC=60，连接 OB，点 P 为线段 OB 上一个动点，点E 为边 OC 中点.（1）连接 PA、PE，求证：P A=PE；（2）连接 PC，若 PC+PE=32，试求 AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当 AB 取最大值时，如图 2，点 M 坐标为（0，1），点 D为线段 OC 上一个动点，当 D 点从 O 点向 C 点移动时，直线 MD 与梯形另一边交点为N，设 D 点横坐标为 m，当MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接 AE.OCBAyx图2MDOCBAxy图1EP.22.90.30,60.,/.,PEPAAEOBOAEOABCOCOCE
14、OBCBOCAOBAOCBOCABOOCABABOAOBABOA垂直平分线段为等边三角形的中点，为 5 分(2)PC+PE=32，PC+P A=32.显然有 OB=ACPC+PA=32.7 分在 RtBOC 中,设 AB=OA=BC=x，则 OC=2x，OB=x3，x332，x2.即 AB 的最大值为 2.10 分(3)当 AB 取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：当 N 点在 OA 上时，如图 2，若 CNMN 时，此时线段 OA 上 N 点下方的点（不包括 N、O）均满足 MNC 为钝角三角形.过 N 作 NFx 轴，垂足为 F，A 点坐标为（1，3），可设 N 点坐标为（a，a3），则 DF=am，NF=a3，FC=4a.OMD FND FCN，.FCNFNFDFOMODaaamam4331.解得，13434m，即当 0m13434时，MNC 为钝角三角形；14 分当 N 点在 AB 上时，不能满足 MNC 为钝角三角形；15 分当 N 点在 BC 上时，如图 3，若 CNMN 时，此时 BC 上 N 点下方的点（不包括 N、C）均满足 MNC 为钝角三角形.3,1.30./,mODOMBOCODMOBMNMNCNBCOB当3m4 时，MNC 为钝角三角形.综上所述，当 0m 13434或3m4 时，MNC 为钝角三角形.18 分