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1、椭圆及其标准方程 (30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.(2014南充高二检测)设 P 是椭圆+=1 上的点.若 F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4 B.5 C.8 D.10【解析】选 D.由椭圆的方程+=1 得 2a=10.所以|PF1|+|PF2|=2a=10.2.(2014广州高二检测)设 F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【解析】选 D.因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点 M 的轨迹是线段.3.已知椭
2、圆+=1 的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是()A.+=1 B.+=1 C.x2+=1 D.+=1【解析】选 D.由题意知,椭圆焦点在 x 轴上,且 c=2,所以 a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选 D.4.(2014济宁高二检测)已知点 P 是椭圆:+=1(x0,y0)上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O 是坐标原点,若 M 是F1PF2的角平分线上一点,且=0,则|OM|的取值范围是()A.0,3)B.(0,2)C.2,3)D.0,4【解析】选 B.由椭圆+=1 的方程可得,c=2.由题意可得,当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与原点 O 重合,此时|OM|取最
3、小值 0.当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点重合,此时|OM|趋于最大值 c=2.因 x0,y0,所以|OM|的取值范围是(0,2).5.(2014南昌高二检测)与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且 b=2的椭圆方程是 ()A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选 D.由 9x2+4y2=36,得+=1,所以=9,=4,得 c1=,所以焦点坐标为(0,),(0,-).因为所求椭圆与 9x2+4y2=36 有相同焦点,设方程为+=1,则 a2=b2+c2=(2)2+()2=25,所以所求方程为+=1.【一解多解】由 9x2+4y2=36,得+=1,设与 9
4、x2+4y2=36 共焦点的椭圆的方程为:+=1.由 4+k=(2)2,得 k=16.所以所求椭圆方程为+=1.6.已知椭圆+y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且=0,则点 M 到 x 轴的距离为()A.B.C.D.【解题指南】由=0 知MF1F2为直角三角形,可根据面积求 M 到 x 轴的距离.【解析】选 C.由=0,得 MF1MF2,可设|=m,|=n,在F1MF2中,由 m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有 m+n=2a,所以 2mn=4a2-4c2,故 mn=2b2,即 mn=2,所以=mn=1,设点 M 到 x 轴的距离为 h,则|F1
5、F2|h=1,又|F1F2|=2,故 h=,故选 C.二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)7.设 P 是椭圆+=1 上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|PF2|的最大值是 .【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|PF2|=16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”号,故|PF1|PF2|的最大值是 16.答案:16 8.(2014 双鸭山高二检测)已知 F1,F2是椭圆 C:+=1(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且,若PF1F2的面积为 9,则 b=_【解析】因为,所以 PF1PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=|F1
6、F2|2.即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=|F1F2|2,所以(2a)2-2|PF1|PF2|=(2c)2,因此|PF1|PF2|=2b2.由=|PF1|PF2|=b2=9,所以 b=3.答案:3【变式训练】(2013 德州高二检测)若 F1,F2是椭圆+=1 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且F1AF2=45,则AF1F2的面积为 _.【解析】如图所示,|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,由|AF1|+|AF2|=6,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|AF2|=36.又在AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1|AF2|cos
7、45,所以 36-2|AF1|AF2|-8=|AF1|AF2|,所以|AF1|AF2|=14(2-),所以=|AF1|AF2|sin45=14(2-)=7(-1).答案:7(-1)9.(2014 哈尔滨高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当F1PF2为直角时,点 P 的横坐标 x0=.【解析】由椭圆的方程为+y2=1,得 c=2,所以 F1(-2,0),F2(2,0),=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0).因为F1PF2为直角,所以=0,即+=4,又+=1,联立消去得=,所以 x0=.答案:【举一反三】若把条件“当F1PF2为直角时”改为
8、|PF1|=+,则 F1PF2=.【解析】由椭圆的方程为+y2=1,得 2a=2,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=2,所以|PF2|=-,而|PF1|2+|PF2|2=(+)2+(-)2=16=|F1F2|2,所以F1PF2为直角.答案:90 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.(2014石家庄高二检测)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=|PD|.当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程.【解题指南】设 M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点
9、M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xP,yP),因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=|PD|,所以 xP=x,且 yP=y.因为 P 在圆 x2+y2=25 上,所以 x2+=25,整理得+=1,即 C 的方程是+=1.11.已知点 P(6,8)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若=0.试求(1)椭圆的方程.(2)求 sinPF1F2的值.【解析】(1)因为=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以 c=10,所以 F1(-10,0),F2(10,0),所以 2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以 a=6,b2=80.所
10、以椭圆方程为+=1.(2)因为 PF1PF2,所以=|PF1|PF2|=|F1F2|yP=80,所以|PF1|PF2|=160,又|PF1|+|PF2|=12,所以|PF2|=4,所以 sinPF1F2=.(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.(2014齐齐哈尔高二检测)对于常数 m,n,“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.当 m0 且 n0,但方程 mx2+ny2=1 不表示椭圆;当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时,有能得出 mn0
11、,故选 B.2.(2014太原高二检测)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C于 A,B 两点,且|AB|=3,则椭圆 C 的方程为()A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1【解析】选 C.设椭圆的方程为+=1,令 x=c,则 y=,由|AB|=3,得=3,又 a2-b2=c2=1,联立得 a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.3.(2014 福州高二检测)椭圆+=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为()A.8 B.4 C.2 D.【解析】选 B.如图,设椭圆的另一个焦点为
12、 F,则|AF|+|AF|=10,又|AF|=2,所以|AF|=8.因为 B 为 AF 的中点,O 为 FF 的中点,所以|OB|=|AF|=4.4.(2014唐山高二检测)已知椭圆 C:+y2=1的焦点 F(1,0),直线l:x=2,点 Al,线段 AF 交 C 于点 B,若=3,则|=()A.B.2 C.D.3【解析】选 C.设 A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点 B 在椭圆 C 上,所以+=1,解得 y0=1,所以 A 点坐标为(2,1),所以|=.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.(
13、2014衡水高二检测)已知 F1,F2分别为椭圆+=1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若 P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则PF1F2的面积为 _.【解题指南】分别讨论以 F1,F2,P 为直角顶点,求出点 P 的坐标,进而求出PF1F2的面积.【解析】依题意,可知当以 F1或 F2为三角形的直角顶点时,点 P 的坐标为,则点 P 到 x轴的距离为,此时PF1F2的面积为;当以点 P 为三角形的直角顶点时,点 P 的纵坐标的绝对值为3,舍去.故 PF1F2的面积为.答案:【误区警示】本题在讨论以 P 点为三角形的直角顶点时,求出 P 点的纵坐标为,而忽视 P 点在椭圆上,应满足 yP
14、3 的限制,而得出面积为 9 的错误结论.【变式训练】(2014温州高二检测)已知椭圆+=1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则PF1F2的面积是 _.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF1F2是直角三角形,所以=|F1F2|PF2|=.答案:6.(2014济南高二检测)若椭圆 C1:+=1(a1b10)和椭圆 C2:+=1(a2b20)的焦点相同且 a1a2.给出如下四个结论:椭圆 C1和椭圆 C2一定没有公共点;-=-;a
15、1-a2a2,所以 b1b2,所以正确;又-=-,a1b10,a2b20,所以正确.答案:三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.(2014天津高二检测)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 E 在椭圆 C 上,且 EF1F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆 C 的方程.【解析】因为点 E 在椭圆 C 上,所以 2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即 a=3.在 RtEF1F2中,|F1F2|=2,所以椭圆 C 的半焦距 c=.因为 b=2,所以椭圆 C 的方程为+=1.8.(2014南京高二检测)设 F1,F2分别是椭圆+y2=1 的两焦点,B
16、为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求|的最大值.(2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点,且=,求的值.(3)设 P 是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以 a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值为 4,即|的最大值为 4.(2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=得 x0=,y0=-.又+=1,所以有2+6-7=0,解得=-7 或=1,又与方向相反,故=1 舍去.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|,所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|8,所以当 P 点位于直线 BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最大,最大值为 8.