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1、三角板块 第 4 课 三角函数的最值 已知 f(x)=4msinx-csx(R).若 f(x)的最大值为,求实数 m 的值.分析 将inx 整体代换成变量 t，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量 t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解 f(x)4msincossi2x+msnx-1=(in+m)-(m1),令=inx，则 f（）可化为 g（t)=2(t）2-(22+1)（-1t1)当-m0 时，则在 t=1 处,f(x)max=+4,由0341mm得 m=21;当m0 时，则在=处，f(x)max=1-,由0341mm；综上,m=21 点评 本题主要考查三角函数的值域问题和
2、二次函数的值域问题.一、选择题(9327）.函数sixsi2的最大值是 ()A.398 B.2764 .932 .2 2.若 函 数y 1 2 os-2s 2x的 值 域 为 a,b ,则2+4的 值 为 ()A.1 B.2 C3 D.4 3函数y=（sinx+ccx)+(cos2+sec2x)的最小值是 ()A.4 B.3 .5 D.不存在 4函数y co2x 3sinx的最 小值与最 大值分 别是 ()A.-4,4 B817，4 .-4，817 D817,817 5函数 y=log2（1x)+log2（-si)，当 x6,4时的值域为 （)A.-1,B(1,0 .,D.0，1 6函数 f(
3、x)=si(2x)si(22x)cos（25)的最大值和最小值分别为 (）A.41，-41 B21,-21 1,-1 D1,0 7.函 数y=21x,1,1 的 最 大 值、最 小 值 分 别 是 （)A.,0 B1,-1 C21，-21 D21，函数y=x2sin3sn2x(xk,kZ)的值域是 （)A.3,+B.（1,23 C.(0,4 .4,+9当0 x4时,函数(x)=xxxx22sinsincoscos的最小值是 ()A.41 .21 2 D.4 二、填空题（3=2)1y=in（x-6）cx 的最大值是 ,最小值是 1.函数=2sn(12)的周期为T，且T(1,3),则正整数 k 的
4、最大值是 .12.函数 f（x)2sin1sin3xx的最大值和最小值分别为 和 .3.已知函数y=acosx+b 的最大值为 1,最小值为-7,则 aoxbinx 的最大值是 .三、解答题（7+38+101）14求函数 f(x)xxxxx2sin2cossincossin2244的最小正周期，最大值和最小值.15求下列函数的最值：(1)y=2scx+co4x(2）=(1+cox)sin2x(x）16.求函数 y=sincox+a(snxcos）的最值.7在AC 中，角 A、B、所对的边分别为 a、b、c,且osA=31.()求 si22CBcos2的值；(2)若 a=3,求 bc 的最大值.
5、1欲修建一横断面为等腰梯形(如图 1)的水渠，为降低成本必须尽 量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值 S，渠深，则水渠壁的倾角(090）应为多大时,方能使修建成本最低?四、思考与讨论(210=2）19.求函数 y=x2sin41si的值域 20记的函数1-22cosx-si的最小值为（a),试用 a 表示().图 参考答案 1 y4sin2xc=2.3983cos2sinsin22cos2sinsin23222222xxxxxx 2.y=cos2x-2sx=2cosx-cox1=2(cosx-21)-23.当 csx=21时，yin=-23a;当 csx=-1 时,yma=3=.
6、29+4(-23)=.C y=1+cc2x+sec2x=3+cot2+tan23+2=5.4C y=1-2sn2x+3sinx-2(sinx43）2+817ix=43时，yax=817;sin x=1 时,mi=4.5.A =g2(1six)=logco2x-6,4时,osx22,1,s2x21，1 y-1,0.6A f(x）cos2xcosx（nx)=-41sin4x,最大值和最小值分别为41-41.7.C 设=sn，-2，2,则 y=snc=21si2，-,，-21y21 8.D 设=in2,t(0,)，y=t+t3在(0，1上为减函数，y1+13=4.9D 0 x4,2x，f(x)=41
7、)21(tan1tantan122xxx,f（x）min=4,此时，anx21 1041;-43 =21sin(2-6)-sin6=21sin(x-6)-41 y=2141=41,ymin=-21-41-43.11.6 由题意 132,1231,3|2kkk,k 的最大值为 6 1232;-由=2sin732sin1sin3xyxx，six=时，ymax32;sinx1 时，ymin=-4.13.34|7|1|bababaaobinx=22ba sin（x+)22ba 5.14分析 将 f(x）化简成=Asin（)k 形式，再由周期公式|2，及三角函数性质求最值 解 f(x)=)cossin1
8、(2cossin1cossin22cossin)cos(sin2222222xxxxxxxxxx21(1+sinx osx)=41sin2x+21.所以函数 f(x)的最小正周期是,最大值是43,最小值是41 点评 本题是一道基础题,难度系数不大,主要考查三角公式的简单变形,化简以及三角函数的周期性和最值性.15.解 (1)2（1+ta)+cot4x=2 tan+an2x+cot4x 3422cottantanxxx=+3，当且仅当 x=n4时等号成立（nZ）,in=5,无最大值()0 x,sin2x0,y=4cs42xsin2x=cs22xos2x2sin22x2271632sin22cos
9、2cos3222xxx,当且仅当 tan2x=22时等号成立，y394，即 ymax394,无最小值.1解 设 six+ost,则 sinxco=21(t2-1),tinx+co=2sin(+4)-2,2,=21（2-1)t=21tat2121(t+a)221a221（t-2,2）（）若-a2时 当 t2时,ymin=-2+21;当 t=2时,max=2a21；()若2-a0 即 02时 当-a 时,ymin=-21a-21;当 t=2时,ymax=2a+21;(3）若-a2,即-2a2,即 a-2时 当2时,mi=2a+21；当 t-2时,yma-2a+21.点评 一个看似简单的题目，讨论却
10、很繁琐,本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17分析 （1)分别用降幂公式、二倍角公式,化简所求式子再求值.（2)三角形中出现联想用余弦定理解题.解 （1）2CB+o2211-cs(+C）（2os2A-1)21(+cosA）(2cos2A)=21(1+31)+（92-)=-91.(2)bcacb2222=cosA31,32bc=b2+ca22bc-a2.c43a2,又a=3，(bc)ma49.当且仅当=c=23时,bc49，故 bc 的最大值是49.点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式,以及考查了学生的运算能力 18.解 作 BDC 于 E(图略),在 RBEC 中，BC=sinh,C=hc，又B-CE2ht,B+CD=hS2,故 CD=hShco.设 y=AD+DC+，则 y=sin)cos2(sin2cothhShhhS(00)，由于 S 与 h 是常量，欲使y 最小,只需 u=sincos2取最小值，u 可看作(，）与(sin，c)两点连线的斜率，由于(0,9),点(-sin，co)在曲线 x+y2=1（-1x0,0y2)(-2）