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1、高中数学函数的奇偶高中数学函数的奇偶性与周期性性与周期性第1页，本讲稿共43页1奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义对于函数对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数为偶函数_；(2)f(x)为奇函数为奇函数_2奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)图象特征：图象特征：奇函数的图象关于奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于对称，偶函数的图象关于_对称对称f(x)f(x)f(x)f(x)原点原点y轴轴第2页，本讲稿共43页(2)对称区间上的单调性：对称区间上的单调性：奇奇函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的两两个个区区间间上上有有_的的单单调调性
2、；偶函数在关于原点对称的两个区间上有性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性的单调性(3)奇函数图象与原点的关系：奇函数图象与原点的关系：如果奇函数如果奇函数f(x)在原点有意义，则在原点有意义，则f(0)_.相同相同相反相反0第3页，本讲稿共43页3周期性周期性(1)周期函数：周期函数：T为函数为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件：T0；_对定义域内的任意对定义域内的任意x都成立都成立(2)最最小小正正周周期期：如如果果在在周周期期函函数数f(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个_，那那么么这这个个_就就叫叫做做它它的的最最小小正周期正周期(3
3、)周周期期不不唯唯一一：若若T是是函函数数yf(x)的的一一个个周周期期，则则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的周期的周期f(xT)f(x)最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数第4页，本讲稿共43页1奇奇函函数数、偶偶函函数数的的定定义义域域具具有有什什么么特特点点？它它是是函函数数具有奇偶性的什么条件？具有奇偶性的什么条件？【提示提示】定义域关于原点对称，必要不充分条件定义域关于原点对称，必要不充分条件2(1)若若yf(xa)是是偶偶函函数数，函函数数yf(x)的的图图象象有有什什么么对对称称性性？(2)如如果果yf(xb)是是奇奇函函数数，函函数数f(x)的的图图象象有有什什么
4、么对称性？对称性？【提提示示】(1)f(x)的的图图象象关关于于直直线线xa对对称称；(2)f(x)的的图象关于点图象关于点(b，0)中心对称中心对称第5页，本讲稿共43页【答案答案】B第6页，本讲稿共43页2已已知知定定义义在在R上上的的奇奇函函数数f(x)，满满足足f(x4)f(x)，则则f(8)的值为的值为()A1 B0 C1 D2【解析解析】f(x4)f(x)，f(x)是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数f(8)f(0)又函数又函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，f(8)f(0)0，故选，故选B.【答案答案】B第7页，本讲稿共43页【解解析析】yf(x1)的的图
5、图象象是是由由yf(x)的的图图象象向向左左平平移移一个单位得到的，而一个单位得到的，而yf(x)的图象的对称轴为的图象的对称轴为x0，故选，故选B.【答案答案】B第8页，本讲稿共43页4(2012陕陕西西高高考考)下下列列函函数数中中，既既是是奇奇函函数数又又是是增增函函数的为数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|【解解析析】A选选项项中中的的函函数数为为非非奇奇非非偶偶函函数数B、C、D选选项项中中的的函函数数均均为为奇奇函函数数，但但B、C选选项项中中的的函函数数不不为为增增函函数，故选数，故选D.【答案答案】D第9页，本讲稿共43页【解解析析】由由函函数数奇奇偶偶性性的的定定义
6、义知知A、B项项为为奇奇函函数数，C项为非奇非偶函数，项为非奇非偶函数，D项为偶函数项为偶函数【答案答案】D第10页，本讲稿共43页第11页，本讲稿共43页【思思路路点点拨拨】先先求求定定义义域域，看看定定义义域域是是否否关关于于原原点点对对称称，在在定定义义域域下下，带带绝绝对对值值符符号号的的要要尽尽量量去去掉掉，分分段段函函数数要要分情况判断分情况判断第12页，本讲稿共43页第13页，本讲稿共43页(3)显然函数显然函数f(x)的定义域为：的定义域为：(，0)(0，)，关于原点对称，关于原点对称当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当当x0时，时，x0，则，则f(
7、x)(x)2xx2xf(x)；综综上上可可知知：对对于于定定义义域域内内的的任任意意x，总总有有f(x)f(x)成立，成立，函数函数f(x)为奇函数为奇函数 第14页，本讲稿共43页第15页，本讲稿共43页第16页，本讲稿共43页【解析解析】(1)f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)f(x)为偶函数，为偶函数，g(x)为奇函数，故选为奇函数，故选B.【答案答案】B第17页，本讲稿共43页第18页，本讲稿共43页f(x)的的定定义义域域为为R，关关于于原原点点对对称称，当当x0时时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当当x0时，时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当当x0
8、时，时，f(0)0，也满足，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数故该函数为奇函数.第19页，本讲稿共43页【审审题题视视点点】(1)先先根根据据周周期期性性缩缩小小自自变变量量，再再根根据据奇奇偶性把自变量转化到区间偶性把自变量转化到区间0，1上上(2)根据根据f(x)f(x)求解求解第20页，本讲稿共43页第21页，本讲稿共43页1解解答答本本题题(2)时时因因误误用用f(0)0而而求求得得a1，当当定定义义域域包含包含0时，可用时，可用f(0)0，但应注意检验，但应注意检验2(1)奇奇函函数数的的图图象象关关于于原原点点对对称称，偶偶函函数数的的图图象象关关于于y轴对称，反之也真轴对称，
9、反之也真(2)偶偶函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的区区间间上上单单调调性性相相反反，奇奇函函数数在关于原点对称的区间上单调性相同在关于原点对称的区间上单调性相同(3)f(x)为为偶偶函函数数f(x)f(|x|)；若若奇奇函函数数f(x)在在x0时有定义，则时有定义，则f(0)0.第22页，本讲稿共43页【解析解析】(1)设设x0，则，则x0，f(x)(x)2xx2x，又又f(x)f(x)，x0时，时，f(x)x2xax2bx，a1，b1，ab0.第23页，本讲稿共43页(2)当当x0时，时，f(x)x22x(x1)21函数函数f(x)在在0，)上为增函数上为增函数又函数又函数f(x)是
10、定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，函数函数f(x)在在R上是增函数上是增函数由由f(3a2)f(2a)得得3a22a.解得解得3a1.【答案答案】(1)0(2)(3，1)第24页，本讲稿共43页(2013福福州州模模拟拟)设设f(x)是是定定义义在在R上上的的奇奇函函数数，且且对对任任意意实实数数x，恒恒有有f(x2)f(x)当当x0，2时时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)当当x2，4时，求时，求f(x)的解析式；的解析式；(3)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)【思路点拨思路点拨】(1)证明证明f(x4)f(x)(2)先求先求2
11、，0上的解析式，再求上的解析式，再求2，4上的解析式；上的解析式；(3)根据周期性求解根据周期性求解第25页，本讲稿共43页【尝试解答尝试解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)当当x2，0时，时，x0，2，由已知得，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又又f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当又当x2，4时，时，x42，0，f(x4)(x4)22(x4)第26页，本讲稿共43页又又f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8
12、.从而求得从而求得x2，4时，时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又又f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)011.第27页，本讲稿共43页第28页，本讲稿共43页第29页，本讲稿共43页函函数数的的定定义义域域关关于于原原点点对对称称是是函函数数具具有有奇奇偶偶性性的的必必要要不不充分条件充分条件1.若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，
13、则f(0)0.2设设f(x)，g(x)的的定定义义域域分分别别是是D1，D2，那那么么在在它它们们的的公公共共定定义义域域上上：奇奇奇奇奇奇，奇奇奇奇偶偶，偶偶偶偶偶偶，偶偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇第30页，本讲稿共43页判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性，一一般般有有三三种种方方法法：(1)定定义义法法；(2)图象法；图象法；(3)性质法性质法1.若若对对于于R上上的的任任意意的的x都都有有f(2ax)f(x)或或f(x)f(2ax)，则，则yf(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称对称2若若对对于于R上上的的任任意意x都都有有f(2ax)f(x)，且且f(2bx)f(x)(其其中中ab)
14、，则则：yf(x)是是以以2(ba)为为周周期期的的周周期期函函数数3若若f(xa)f(xb)(ab)，那那么么函函数数f(x)是是周周期期函函数数，其中一个周期为其中一个周期为T2|ab|.第31页，本讲稿共43页从从2012年年的的高高考考试试题题看看，有有7个个省省份份考考查查函函数数的的奇奇偶偶性性、周周期期性性，主主要要考考查查奇奇偶偶性性的的判判定定，利利用用奇奇偶偶性性与与周周期期性性求求函函数数值值，与与单单调调性性交交汇汇求求解解简简单单的的方方程程与与不不等等式式，多多以以选选择择题题和和填填空空题题的的形形式式出出现现，属属中中、低低档档题题目目，其其中中利利用用函函数数
15、的的周周期性时，应注意隐含条件的挖掘期性时，应注意隐含条件的挖掘第32页，本讲稿共43页易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误第33页，本讲稿共43页【答案答案】2第34页，本讲稿共43页错错因因分分析析：(1)转转化化能能力力差差，不不能能把把所所给给区区间间和和周周期期联联系系起来起来(2)挖掘不出挖掘不出f(1)f(1)，从而无法求出，从而无法求出a、b的值的值防防范范措措施施：(1)对对于于周周期期函函数数，应应注注意意所所给给区区间间包包含含几几个个周期，有助于我们挖掘隐含条件周期，有助于我们挖掘隐含条件(2)对对于于两两个个字字母母的的求求值值，应应列
16、列两两个个方方程程求求解解，这这也也是是促促使我们挖掘隐含条件的动力使我们挖掘隐含条件的动力第35页，本讲稿共43页第36页，本讲稿共43页【答案答案】10第37页，本讲稿共43页1(2012山山东东高高考考)定定义义在在R上上的的函函数数f(x)满满足足f(x6)f(x)，当当3x1时时，f(x)(x2)2；当当1x3时时，f(x)x.则则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1 678D2 012【解析解析】f(x6)f(x)，T6.当当3x1时时，f(x)(x2)2；当当1x3时时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5
17、)f(1)1，f(6)f(0)0，第38页，本讲稿共43页f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而而f(2 011)f(2 012)f(1)f(2)3，f(1)f(2)f(2 012)3353338.【答案答案】B第39页，本讲稿共43页2(2012合合肥肥二二模模)函函数数yf(x)的的定定义义域域为为1，0)(0，1，其图象上任一点，其图象上任一点P(x，y)满足满足x2y21.函数函数yf(x)一定是偶函数；一定是偶函数；函数函数yf(x)可能既不是偶函数
18、，也不是奇函数；可能既不是偶函数，也不是奇函数；函数函数yf(x)可以是奇函数；可以是奇函数；函函数数yf(x)如如果果是是偶偶函函数数，则则值值域域是是0，1)或或(1，0；函数函数yf(x)值域是值域是(1，1)，则一定是奇函数，则一定是奇函数其其中中正正确确的的命命题题的的序序号号是是_(填填上上所所有有正正确确的的序序号号)第40页，本讲稿共43页【解解析析】逐逐一一判判断断在在单单位位圆圆上上取取点点，所所得得图图象象可可能能关关于于y轴轴对对称称，也也可可能能关关于于原原点点对对称称，也也可可能能不不具具有有对对称称性性，故故错错误误，正正确确，正正确确；如如果果是是偶偶函函数数，则则图图象象关关于于y轴轴对对称称，但但值值域域却却有有无无数数种种，故故错错误误；若若值值域域是是(1，1)，则图象一定关于原点对称，则图象一定关于原点对称，正确正确【答案答案】第41页，本讲稿共43页课后作业（六）课后作业（六）第42页，本讲稿共43页第43页，本讲稿共43页