《高考数学一轮复习21函数及其表示学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习21函数及其表示学案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2013 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用【知识特点】1函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。2本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。【重点关注】1函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。2函数的图象及其变换既是高考考查的
2、重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。3导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。4注意思想方法的应用。数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用 从近几年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、知识点的考查情况 映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（
3、一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题 指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和
4、运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数 y=x+a/x（a0）的图像和性质，从未间断过；函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。2、常考题型及分值情况 函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值 30 分以上，占全卷的 20%以上。在
5、高考中占有重要地位。3、命题热点及生长点情况 近年来有关函数内容的高考命题趋势是：全方位.近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。多层次.在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全。抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其它知识结合，或者是多种方法的渗透。巧综合.为了突出函数在中学中的主要地位，近几年来高考强化了函数对其它知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力
6、的综合程度。变角度.出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。二、导数在高考中的地位与作用 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计 2013 年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）
7、考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013 年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而 2013 年的高考预测会在这方面考察，预测 2013年高考呈现以下几个特点：（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本
8、概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。第一节、函数及其表示【高考新动向】一、考纲点击 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3了解简单的分段函数，并能简单应用。二、热点、难点提示 1函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点；2常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题；3题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。【考纲全景透析】一、函数与
9、映射的概念 函数 映射 两集合 设AB、是两个非空数集 设AB、是两个非空集合 对应关系:fAB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应。如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称 称:fAB为从集合A到集合B的一个函数 称:fAB为从集合A到集合B的一个映射 记法()yf x，xA 对应:fAB是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有关概念（1）
10、函数的定义域、值域 在函数()yf x，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值()|f xxA的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系（3）相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数 y=x 和 y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如 y=sinx 与 y=cosx，其定义域为 R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法
11、 表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5）分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。【热点难点全析】一、求函数的定义域、值域 1、确定函数的定义域的原则（1）当函数 y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数 x 的集合;（2）当函数 y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在 x 轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数 y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有
12、意义的实数的集合；（4）当函数 y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据（1）若 f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若 f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的 x 取值的集合；（3）当 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的 x 取值的集合；（4）当 f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值的集合；（5）若已知函数 f(x)的定义域为a,b，其复合函数 f(g(x)定义域由不等式 ag(x)b 解出;(6)若已知函数 f(g(x)的定义域为a,b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa,b时的
13、值域。3、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.4、例题解析 例 1(2012大连模拟)求函数 22lg x2xf x9x的定义域;(2)已知函数 f(2x)的定义域是-1,1，求 f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3,y=log3x+logx3-1,.2x1y2 分析：(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)要明确 2x 与 f(x)中 x 的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用图象观察法；均值不等式法；单调性法求值域.解答：(1)要使该
14、函数有意义，需要22x2x09x0，则有：x0 x23x3 或，解得:-3x0 或 2x3,所以所求函数的定义域为(-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1,12x22，故 f(x)的定义域为1,22.(3)y=(x+1)2-1 在0,3上的图象如图所示,由图象知：0y32+23=15,所以函数 y=x2+2x，x0,3的值域为0,15.331ylog x1log xQ,定义域为(0,1)(1,+)，当 0 x1 时，()(),331y2log x13log x 当 x1 时，,331y2 log x11log x 综上可知，其值域为(-,-31,+).因为 x2-
15、1-1，又 y=2x 在 R 上为增函数,2x1y22-1=12.故值域为12,+).【规律方法】求函数定义域的方法(1)求具体函数 y=f(x)的定义域：(2)求抽象函数的定义域：若已知函数 f(x)的定义域为a,b，其复合函数 f(g(x)的定义域由不等式 ag(x)b 求出.若已知函数 f(g(x)的定义域为a,b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa,b时的值域.提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.例 2设函数0,60,64)(2xxxxxxf则不等式)1()(fxf的解集是（A）.),3()1,3(B.),2()1,3(C.),3()1,1(D.)3,1()3,(解析 由已知，
16、函数先增后减再增 当0 x，2)(xf3)1(f令,3)(xf 解得3,1xx。当0 x，3,36xx 故3)1()(fxf，解得313xx或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解 例 3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=2x，g（x）=33x；（2）f（x）=xx|，g（x）=;01,01xx（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12 nx）2n1（nN*）；（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于 f（x）=2x=|x|，g（x）=33x=x，故它们的值域及对应法则都
17、不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数 f（x）=xx|的定义域为（，0）（0，+），而 g（x）=;01,01xx的定义域为 R，所以它们不是同一函数；（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数，f（x）=1212nnx=x，g（x）=（12 nx）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数 f（x）=x1x的定义域为x|x0，而 g（x）=xx2的定义域为x|x1 或 x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数 注：对于两个函数 y=f（x）和 y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域
18、、对应法则都相同时，y=f（x）和 y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。例 4求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）4 1yxx；（5）21yxx；（6）|1|4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1 sin2cosxyx 解：（1）（配方法）2212323323()61212yxxxQ，232yxx的值域为23,)12 改题：求函数232yxx，1,3x的值域 解：（利用函数的单调性）函数232yxx在1,3x上单调增 当1x 时，原函数有最小值为4；当3x
19、 时，原函数有最大值为26 函数232yxx，1,3x的值域为4,26（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y 又2265(3)44xxx ，04，故0,2，265yxx的值域为0,2（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为|3xR x，原函数312xyx的值域为|3yR y（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx，702x，7332x，函数312xyx的值域为|3yR y（4）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，原函数可化为2214(2)5(0)ytttt ，5y，原函数值域为(,5 注：总结yaxbcxd型值域，变
20、形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（5）三角换元法：21011xx ，设cos,0,x，则cossin2sin()4y 0,，5,444，2sin(),142，2sin()1,24，原函数的值域为 1,2（6）数形结合法：23(4)|1|4|5(41)23(1)xxyxxxxx ，5y，函数值域为5,)（7）判别式法：210 xx 恒成立，函数的定义域为R 由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy 当20y 即2y 时，即300 x，0 xR 当20y 即2y 时，xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，22(1)4(2)0yy V，15y且2y，原函数的值域为1,
21、5（8）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx，12x，102x，1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立 122y，原函数的值域为1 2,)2（9）（法一）方程法：原函数可化为：sincos1 2xyxy，21sin()1 2yxy（其中221cos,sin11yyy），21 2sin()1,11yxy，2|1 2|1yy，2340yy，403y，原函数的值域为40,3 注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。二、分段函数及实际应用
22、题 1、相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式，然后再写成分段函数；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。2例题解析 例 1我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过 5 吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为 1.3 元，若超过 5 吨而不超过6 吨时，超过部分的水费加收 200%，若超过 6 吨而不超过 7 吨时，超过
23、部分的水费加收 400%，如果某人本季度实际用水量为 x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.思路分析：计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量 x 在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示.解答：设 y 表示本季度应缴纳的水费(元)，当 0 x5 时，y=1.3x；当 5x6 时，应将 x 分成两部分：5 与(x-5)分别计算，第一部分为基本消费 1.35，第二部分由基本消费与加价消费组成,即 1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5，此时 y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-13，当 6x7 时，同理 y=6.5x-28.6 综上可知：1
24、.3,053.913,566.528.6,67xxyxxxx.例 2某出版公司为一本畅销书定价如下：这里的 nN*表示购书的数量，C(n)是订购 n 本书所付的钱数(单位：元).若一本书的成本价是5 元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买 1 本，两人共买 60 本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？思路分析：分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整个函数的最值.解析：设甲买 n 本书，则乙买(60-n)本书(不妨设甲 买的书少于乙买的书)，则 n30,nN*当 1n11 且 nN*时，4960-n59，出版公司赚的 钱数 f(n)=1
25、2n+10(60-n)-560=2n+300；当 12n24 且 nN*时，3660-n48，出版公司赚的 钱数 f(n)=12n+11(60-n)-560=n+360;当 25n30 且 nN*时，3060-n35，出版公司赚的 钱数 f(n)=1160-560=360；当 1n11 且 nN*时，302f(n)322；当 12n24 且 nN*时，372f(n)384；当 25n30 且 nN*时，f(n)=360.故出版公司最少能赚 302 元，最多能赚 384 元.三、求函数的解析式 1、函数的解析式的求法 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件 f(g(x)=F(x)，可将 F(x
26、)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式,此时要注意 g(x)的范围;(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f(1x)或 f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).2、例题解析（1）已知3311()f xxxx，求()f x；（2）已知2(1)lgfxx，求()f x；（3）已知()f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217f xf xx
27、，求()f x；（4）已知()f x满足12()()3f xfxx，求()f x；解：（1）配凑法：3331111()()3()f xxxxxxxx，3()3f xxx（2x 或2x ）；（2）换元法：令21tx（1t），则21xt，2()lg1f tt，2()lg (1)1f xxx；（3）待定系数法：设()(0)f xaxb a，则3(1)2(1)333222f xf xaxabaxab5217axbax，2a，7b，()27f xx；（4）方程组法：12()()3f xfxx 把中的x换成1x，得132()()ff xxx ，2 得33()6f xxx 1()2f xxx。提醒：因为函数
28、的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的 x 的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.四、函数的综合应用 例 1 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对于一切实数 x 满足 f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若 f(5)=9,求：f(5);（2）已知 x 2,7时，f(x)=(x2)2，求当 x16,20时，函数 g(x)=2xf(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若 f(x)=0 的一根是 0，记 f(x)=0 在区间1000,1000上的根数为 N，求 N 的最小值。解 （1）由 f(x+
29、2)=f(2x)及 f(x+7)=f(7x)得:f(x)的图像关于直线 x=2,x=7 对称。f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x)=f7(3+x)=f(7+(3+x)=f(x+10)f(x)是以 10 为周期的周期函数。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）当 x16,17,x106,7 f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2 当 x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7)f(x)=f(x20)=f4(x20)=f(24x)=(x22)2 g(x)=22)22(2)12(2xxxx 20,17(17,16xx x 16,17时，g(x)最大值为 1
30、6，最小值为 9；x（17，20，g(x)g(17)=9,g(x)g(20)=36 g(x)的最大值为 36，最小值为 9。（3）由 f(0)=0，及 f(0)=f(4)=0，知 f(0)在)10,0上至少有两个解。而在1000，1000)上有 200 个周期，至少有 400 个解。又 f(1000)=0 所以最少有 401 个解。且这 401 个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到 f(x)=22)22()12(xx 20,17(17,16xx 一般地：当 x3，2时，4x2,7 f(x)=f(4x)=(x2)2 当 x3,7,f(x)=(x2)2
31、 故当 x3+10k,7+10k,x10k3,7 f(x)=(x10k2)2(kz)f(x)=(x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ）例 2 设 a 是正数，ax+y=2(x0,y0)，记 y+3x21x2 的最大值是 M(a)，试求：（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。解 将代数式 y+3x21x2 表示为一个字母，由 ax+y=2 解出 y 后代入消元，建立关于 x 的二次函数，逐步进行分类求 M(a)。（1）设 S(x)=y+3x21x2,将 y=2ax 代入消去 y，得：S(x)=2ax+3x21x2 =21x2+(3a)x+2 =21x(3a)2+21(3a)
32、2+2(x0)y0 2ax0 而 a0 0 xa2 下面分三种情况求 M(a)(i)当 03a0)，即 023302aaa时 解得 0a1 或 2a0)即 02302aaa时，解得：1a2，这时 M(a)=S(a2)=2aa2+3a2212)2(a =22a+a6(iii)当 3a0；即 a3 时 M(a)=S(0)=2 综上所述得：M（a）=)3(2)32(2)3(21)21(62)10(2)3(21222aaaaaaaa （2）下面分情况探讨 M(a)的最小值。当 0a1 或 2a2 当 1a2 时 M(a)=22a+a6=2(a123)2+29 1a221a11 当a1=21时，M(a)
33、取小值，即 M(a)M（2）=25 当 a3 时，M(a)=2 经过比较上述各类中 M(a)的最小者，可得 M(a)的最小值是 2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数 a 的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标 3a 是否在定义域区间0，a2内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案。【高考零距离】1（2012山东高考文科3）函数21()4ln(1)f xxx的定义域为 (A)2,0)(0,2U ()(1,0)(0,2U (C)2,2 (D)(1,2【解题指南】本题主要考查函数定义域的求法：1、分母不为 0；2、偶次根式里面为非负数；3、真数大于零.【解析】选.因为01ln0104
34、2xxx，解得：22x，且1x且0 x，所以定义域为：(1,0)(0,2U.2（2012广东高考文科11）函数1xyx的定义域为 .【解题指南】求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，本小题涉及到分式，要注意分母不能等于 0,偶次根式被开方数是非负数。【解析】由100 xx 得函数的定义域为|1,0 x xx 且。【答案】|1,0 x xx 且 3（2012福建高考文科9）设10()0010 xf xxx，1,()0,xg xx有理理为数为无数，则()f g的值为（）1 0 C1 D【解题指南】求解分段函数问题时，要注意按 x 的不同取值，套入不同的函数段进行求解【解析】选 为无
35、理数，()0g，()(0)0f gf 4（2012陕西高考数学文科11）设函数,0()1(),02xx xf xx，则(4)f f .【解题指南】已知函数是一个分段函数，注意根据自变量的取值判断用哪一段上的函数求值.【解析】40 x ，41(4)()162f，因为160 x，所以(16)164f.答案：4 5.（2010 辽宁理数）(1O)已知点 P 在曲线 y=41xe 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值 范围是 ()0,4)(),)4 2 3(,24 (D)3,)4【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为2441(1)2
36、xxxxeyeee，即 tan a-1,所以34 6.（2010 上海文数）9.函数3()log(3)f xx的反函数的图像与y轴的交点坐标是 (0,2)。解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数3()log(3)f xx的反函数为33 xy，另 x=0，有 y=-2 法二：函数3()log(3)f xx图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log(3)f xx的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2）【考点提升训练】一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1.(2011广东高考)函数 f(x)=11 x+lg(1+x)的定义域是()()(-,1)()(1,+)(C)(
37、-1,1)(1,+)(D)(-,+)2.若集合 M=y|y=2x,xR，P=x|y=x1，则 MP=()()(1,+)()1,+)(C)(0,+)(D)0,+)3.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则 f(f(13)=()()-13 ()13(C)-23 (D)23 4.（预测题）已知函数 f(x)=x1,x0f x11,x0，则 f(2 013)=()()2 010 ()2 011(C)2 012 (D)2 013 5.（2012厦门模拟）设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了 3
38、0 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数的图象为（）6.(2012三明模拟)函数 y=x 11 x22x(,222x(2,)，的值域为()()(-32,+)()(-,0(C)(-,-32)(D)(-2,0 二、填空题(每小题 6 分，共 18 分)7.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)=2logf(x)的定义域是_.8.(2012 皖南八校联考)对于实数 x,y，定义运算 x*y=axy(xy0)xby(xy0)，已知 1*2=4，-1*1=2，则下列运算结果为 32的序号为_(填写所有正确结果的序号)2*2 -2*2-32*22 32*(-
39、22)9.（2012福州模拟）函数1yx1lg 3x 的定义域是_.三、解答题(每小题 15 分，共 30 分)10.(易错题)设 x0 时，f(x)=2;x0 时，f(x)=1，又规定：g(x)=3f x1f x22 (x0)，试写出 y=g(x)的解析式，并画出其图象.11.(2012深圳模拟)已知 f(x)=x2-1，g(x)=x1,x02x,x0.(1)求 f(g(2)和 g(f(2)的值;(2)求 f(g(x)和 g(f(x)的解析式.【探究创新】(16 分)如果对x,yR 都有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(1)=2,(1)求 f(2),f(3),f(4)的值.(2)求
40、f 2f 4f 6f 2 008f 2 010f 2 012f 1f 3f 5f 2 007f 2 009f 2 011的值.答案解析 1.【解析】选 C.要使函数有意义，当且仅当1 x01x0，解得 x-1 且 x1，从而定义域为(-1,1)(1,+)，故选 C.2.【解析】选.因为 M=y|y0=(0,+),P=x|x-10=x|x1=1,+),MP=1,+).3.【解析】选.由图象知，当-1x0 时，f(x)=x+1,当 0 x1 时，f(x)=x-1,f(x)=x1,1x0,x1,0 x 1 f(13)=13-1=-23,f(f(13)=f(-23)=-23+1=13.4.【解析】选
41、C.由已知得 f(0)=f(0-1)+1=f(-1)+1=-1-1+1=-1,f(1)=f(0)+1=0,f(2)=f(1)+1=1,f(3)=f(2)+1=2,f(2 013)=f(2 012)+1=2 011+1=2 012.5.【解析】选 D.注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选 D.6.【解析】选 D.x2，x-11 得 02x-12,-22x-1-20 同理：x2 得-221-x-2-32.综上可得-2y0.【变式备选】设函数 g(x)=x2-2(xR)，f(x)=g xx4,xg xg xx,xg x，则 f(x)的值域是()()-94
42、,0(1,+)()0,+)(C)-94,+)(D)-94,0(2,+)【解析】选 D.由 xg(x)得 xx2-2,x-1 或 x2;由 xg(x)得 xx2-2,-1x2,f(x)=22x+x+2,x-1或x2.x-x-2,-1x2 即 f(x)=2217x+,x-1或x224.19x-,-1x224当 x-1 时，f(x)2;当 x2 时，f(x)8.当 x(-,-1)(2,+)时，函数的值域为(2,+).当-1x2 时，-94f(x)0.当 x-1,2时，函数的值域为-94,0.综上可知，f(x)的值域为-94,0(2,+).7.【解析】要使函数有意义，须 f(x)0，由 f(x)的图象
43、可知,当 x(2,8时，f(x)0.答案：(2,8 8.【解析】1*2=a+2=4,-1*1=-1+b=2,得 a=2,b=3.x*y=2xy(xy0)x3y(xy0)2*2=22+2=32-2*2=-2+32=22-32*22=-32+322=32 32*(-22)32+3(-22)=-32.答案：9.【解析】要使函数有意义，必须x103x0,3x1 解得1x2 或 2x3.答案：x|1x2 或 2x3 10.【解析】当 0 x1 时，x-10,x-20,g(x)=3 12=1.当 1x2 时，x-10，x-20,g(x)=6 1522;当 x2 时，x-10，x-20,g(x)=622=2
44、.故 g(x)=1(0 x 1)5(1x2),22(x2)其图象如图所示.11.【解析】(1)由已知，g(2)=1,f(2)=3,f(g(2)=f(1)=0,g(f(2)=g(3)=2.(2)当 x0 时，g(x)=x-1,故 f(g(x)=(x-1)2-1=x2-2x;当 x0 时，g(x)=2-x,故 f(g(x)=(2-x)2-1=x2-4x+3;f(g(x)=22x2x,x0,x4x3,x0 当 x1 或 x-1 时，f(x)0,故 g(f(x)=f(x)-1=x2-2;当-1x1 时，f(x)0,故 g(f(x)=2-f(x)=3-x2,g(f(x)=22x-2,x1或x-1.3-x,-1x1【探究创新】【解析】(1)对x,yR，f(x+y)=f(x)f(y),且 f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(1)f(2)=23=8.f(4)=f(2+2)=f(2)f(2)=24=16.(2)由(1)知 f 2f 4f 6f 2 0122,22,2f 1f 3f 5f 2 011，,故原式=21 006=2 012.