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1、关于超几何分布和二项分布的小题 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若 N 件产品中有 M 件次品，抽检 n 件时所得次品数 X=k 则 P(X=k)此时我们称随机变量 X 服从超几何分布（hypergeometric distribution）1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是 M,N,n 上述超几何分布记作 XH(n，M，N)。二项分布：二项分布（Binomial Distribution），即重复 n 次的伯努力试验（Bernoulli Experiment）,用 表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是 P,则不发生的概率 q=1-p，N 次独立重 复试验中发
2、生k次的概率是knkknqpkPC)(上述二项分布记作),(pnB 下面我通过几个例子说明一下两者的区别【例 1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的 10 道试题中能答出其中的 4 道题，规定每次考试从备选题中随机抽取 3 题进行测试，求答对题数的分布列 解：由题意得0，1，2，3.服从参数为10N,4M,3n的超几何分布.6112020)0(31036CCP 2112060)1(3102614CCCP 10312036)2(3101624CCCP 3011204)3(31034CCP 故的分布列 0 1 2 3 P 61 21 103 301 点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候
3、容易把它看到是二项分布问题，把事件发生的概率看做是。【例 2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0，1，2，3则甲赢，若最后一位出现6，7，8，9则乙赢，若最后一位出现4，5是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量X，求X的分布列 解：由题意得：0X，1，2，3 216.06.0)0(303CXP 432.04.06.0)1(213CXP 288.04.06.0)2(223CXP 064.04.0)3(333CXP故X的分布列 X 0 1 2 3 P 216.0 432.0 288.0 064.0 点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为
4、X服从10N,4M,3n的超几何分布。【例 3】已知一批种子发芽率为现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为，求的分布列。解：由题意得0，1，2，3.)6.0.3(B216.06.0)0(303CP 432.06.04.0)1(2113CP 288.06.04.0)2(223CP 064.04.0)1(333CP故的分布列 0 1 2 3 P 216.0 432.0 288.0 064.0 点评：与例 2 比较这两个题目是完全相同的。二项分布应满足独立重复试验：每一次试验中只有两种结果（要么发生，要么不发生）.任何一次试验中发生的概率都一样.每次试验间是相互独立的互不影响的.例 1 在抽取过程中
5、可以认为是不放回的抽取，两次抽取之间是有影响的不是独立的。例 2、例 3 在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是互不影响的。【例 4】（2006广东，16）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X 60 7 8 9 10 P 0 2.0 3.0 3.0 2.0 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.求的分布列 解：由题意得60，7，8，9，10.环），两次命中小于环，另一次命中的环数一次命中mPmmPmP()()(000002)60(P 04.02.02.002.02)7(P 39.03.03.03.02.03.02)9(）（P 36.02.02.03
6、.03.02.03.02)10(）（P 故的分布列为 60 7 8 9 10 P 0 04.0 21.0 39.0 36.0 点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例 5】，本题利用课本上推到二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。【例 5】一个袋中装有 10 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 2 个，标号为 8 的球 3 个，标号为 9 的球 3 个，标号为 10 的球 2 个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列 解：由题意得7，8，9，10.当m时包含一个球标号为m和一个球标号比m小，和两个标号都是m 451)7(21022CCP51459)8(2102312
7、13CCCCP 524518)9(210231513CCCCP4517)10(210221812CCCCP 故的分布列为 7 8 9 10 P 451 51 52 4517 【例 6】一个袋中装有20 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 4 个，标号为 8 的球 6 个，标号为 9 的球 6 个，标号为 10 的球 4 个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列 答案：7 8 9 10 P 953 19039 3815 197 点评：【例 5】和【例 6】虽然球所占的比例相同，但分布列也不同。两次试验都可以看做是不放回的抽取，两次抽取不是相互独立的。对比同学看以看一下下面两道超几
8、何分布问题 袋中有 10 个完全相同球，其中白球 3 个，黑球 7 个，从中,取出 2 个球记录其中白球个数为，求的分布列.袋中有 20 个完全相同球，其中白球 6 个，黑球 14 个，从中,取出 2 个球记录其中白球个数为，求的分布列.【例 7】一个袋中装有 10 个大小相同的小球，其中标号为 7 的球 2 个，标号为 8 的球3 个，标号为 9 的球 3 个，标号为 10 的球 2 个.从盒子中任意取出一个球，放回后第二次再任取一个球，记两次球标号较大的为，求的分布列 方法一：解：7，8，9，10.由【例 1】中类似的方法 04.02.02.0)7(P 21.03.03.02.03.02)
9、8(P 39.03.03.03.02.03.02)9(）（P36.02.02.03.03.02.03.02)10(）（P 7 8 9 10 P 04.0 21.0 39.0 36.0 方 法 二：由 分 步 计 数 原 理 共 计 有1001010种 取 法，当m时 有22)mm（标号小于）（标号小于等于种取法.04.0101022)7(P21.010102255)8(P 39.010105588)9(P36.01010881010)10(P 故分布列为 7 8 9 10 P 04.0 21.0 39.0 36.0 点评：【例 7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互独立的。小结：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数 N很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。