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1、关于超几何分布和二项分布的小题目徐峰在教学过程中发现学生在学习完超几何分布和二项分布以后，学生不能正确的理解好 什么是超几何分布(古典概型利用组合数计数)、什么是二项分布(利用独立性，互斥性) 及其区别.下面我通过几个例子说明一下两者的区别超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，假设N件产品中有M件次品，抽检n件时 所得次品数x=k那么 P(X=k)此时我们称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution)1)超几何分布的模型是不放回抽样2)超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作XH(n, M, N)o二项分布：二项分布(Binomial Distri
2、bution),即重复n次的伯努力试验(Bernoulli Experiment),用表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,那么不发生的概率q=l-p, N次独立重复试验中发生k次的概率是PC = k)= c： pk qi上述二项分布记作4B(, p)下面我通过几个例子说明一下两者的区别例1某人参加一次英语考试，在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定 每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数J的分布列？解：由题意得4 = 0, 1, 2, 3.J服从参数为N = 10,M =4, = 3的超几何分布.PC = o)= X =Co20 120- 6P 低=1)=do60
3、_ 1120 2=2)=cj Cg=a3120 10Gio4 _ 1120-304 _ 1120-303P(J = 3) = W =Co故J的分布列点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题, 把事件发生的概率看做是0.4o0123Pj_ 6J_2310130【例2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，假设出 现0, 1, 2, 3那么甲赢，假设最后一位出现6, 7, 8, 9那么乙赢，假设最后一位出现4, 5是 平局.玩三次，记甲赢的次数为变量X ,求X的分布列解：由题意得：X=0, 1, 2, 3尸(X =0) = C；0.63
4、 = 0.216P(X = 1) = ； x 0.62 x 0.4 = 0.432P(X = 2) = C： x 0.6 x 0.42 = 0.288p(X =3) = C；0.43 =0.064故X的分布列点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X服从 N = 10,M =4, = 3的超几何分布。X0123P0.2160.4320.2880.064【例3】一批种子发芽率为0.4现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为求7；的 分布列。解：由题意得7/ = 0, 1, 2, 3.77-3(3.0.6) p= 0)= C；0.63 = 0.2 1(尸=1) = ； x 0.
5、41 x 0.62 = 0.432P5 = 2) = 0： x 0.42 x 0.6 = 0.2 8 p= 1) = C；x0.43 = 0.064故的分布列点评：与例2比拟这两个题目是完全相同的。二项分布应满足独立重复试验: 每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生).70123P0.2160.4320.2880.064任何一次试验中发生的概率都一样.每次试验间是相互独立的互不影响的.例1在抽取过程中可以认为是不放回的抽取，两次抽取之间是有影响的不是独立的。例2、例3在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是互不影响的。例4 （2006 广东，16）某运发动射击一次所得环数X
6、的分布列如下:X0678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运发动两次射击中最高环数作为他的成绩，记为求4的分布列?解：由题意得4 = 06, 7, 8, 9, 10.PC = m） = p（一次命中2环，另一次命中的环数J、于+ P（两次命中加不），. PC = 0-6） = 2x0x0 + 0x0 = 0PC = 7) = 2 x 0.2 x 0 + 0.2 x 0.2 = 0.04= 8) = 2 x 0.3 x 0.2 + 0.3 x 0.3 = 0.21 = 9) = 2 x 0.3 x (0.2 + 0.3) + 0.3 x 0.3 = 0.39= 10)= 2x
7、 0.3x (0.2 + 0.3 + 03) + 0.2x 0.2 = 0.36故自的分布列为点评：学生容易把此题看做是超几何分布，理解成例5,此题利用课本上推到二项。678910P00.040.210.390.36分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。【例5】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个, 标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为鼠 求自 的分布列？解：由题意得J = 7, 8, 9, 10.当& =加时包含一个球标号为机和一个球标号比加小，和两个标号都是mC? 1尸6=7)=与=表45V-zioPC = 8)=P
8、C = 8)=cc+cdo9_1_45 5P(”9)= J。; JGo18 _ 2 455PC = 10)=cdc；do17-45故4的分布列为g78910P14552_1745【例6】一个袋中装有20个大小相同的小球，其中标号为7的球4个，标号为8的球6个, 标号为9的球6个，标号为10的球4个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为求J 的分布列？答案:78910P395391901538719点评：例5和例6虽然球所占的比例相同，但分布列也不同。两次试验都可以 看做是不放回的抽取，两次抽取不是相互独立的。比照同学看以看一下下面两道超几何分 布问题袋中有10个完全相同球，其中白球3个，黑球7
9、个，从中，取出2个球记录其中白 球个数为求4的分布列.袋中有20个完全相同球，其中白球6个，黑球14个，从中，取出2个球记录其中白 球个数为7,求7的分布列.【例7】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个, 标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒子中任意取出一个球，放回后第二次再任取一 个球，记两次球标号较大的为，求的分布列？方法一：解： =7, 8, 9, 10.由【例1】中类似的方法(7； = 7) = 02x0.2 = 0.04= 8) = 2 x 0.3 x 0.2 + 0.3 x 0.3 = 0.21= 9)= 2x 0.3 x (0.2 + 0
10、.3) + 0.3x 0.3 = 0.39= 10)= 2 x 0.3 x (0.2 + 0.3 + 0.3) + 0.2 x 0.2 = 0.36778910P0.040.210.390.36方法二：由分步计数原理共计有10x10 = 100种取法，当=根时有（标号小于等于外2 -（标号小于m）2种取法.p(n = 8)=2x210x10= 0.045x52x210x10=0.21Pi二归三10x10= 0.39尸)J0xl0-8x8=0 3610x10故分布列为点评：【例7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互独立的。78910P0.040.210.390.36小结：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数N 很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题， 但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。