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1、-解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题 韦达,1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩,称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次,荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个 45 次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的 22 个正数解（他舍弃了另外的 22个负数解)。消息传开，数学界为之
2、震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗?一 真题链接(212兰州）若 x1、x是关于一元二次方程 axbx+()的两个根,则方程的两个根 x1、2 和系数 a、c 有如下关系:x1+x2=-ab x12=ac 把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数 y=ax2+bc(a0)的图象与 x轴的两个交点为(1,),B(x2,)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为:参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数
3、y=ax2+bx+(a0）的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，）,（x2，0),抛物线的顶点为,显然BC 为等腰三角形.(1）当AB为直角三角形时，求 b24ac 的值；）(当ABC 为等边三角形时,求-4ac 的值 -2.（2010娄底）阅读材料：若一元二次方程2+x+c=0 的两个实数根为 x1,x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空:已知，x2 是方程 x2+x+=0 的两个实数根,则 3.已知关于 x 的方程 x2（-1)x+a2a-b+1=0 有两个相等的实数根，且满足 2a-b=0.利用根与系数的关系判断这两根的正负情况 若将 y2+（a-1)x+a2-7ab+2
4、 图象沿对称轴向下移动个单位,写出顶点坐标和对称轴方程.4.设一元二次方程x2bx+c=0 的两根为 x，x2,则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于的一元二次方程 x2kx+k-3=的两个实数根分别是，x2,且满足 x12=x12则 k 的值为 二 名词释义 一元二次方程 a2+b+=0(a、c 属于 R,a0)根的判别，b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法,在代数式变形，解方程（组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式
5、的因式分解 根系关系的三大用处()计算对称式的值 例 若12,x x是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；)2（1211xx;（3）12(5)(5)xx;(4)12|xx.解：由题意,根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x ()2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxx x -(2)121212112220072007xxxxx x(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxx xxx (）22212121212|()()4(2)4(2007)2 2008xxxxxxx x 说明：利用根与系数的
6、关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxx x,12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x,2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx,33312121212()3()xxxxx xxx等等.韦达定理体现了整体思想.（）构造新方程 理论:以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5 X=6 解:显然，x，y 是方程 z2-5z=0 的两根 由方程解得 z=2,=3 原方程组的解为 x,y=3 x2,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。(）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两
7、边长是方程的两根，第三边长为 2,求 k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为、b、c,且 a、b 为的两根，则 c=由题意知=k2-220，k4 或 k-4-为所求。三 典题示例 例 1 已知关于x的方程221(1)104xkxk,根据下列条件，分别求出k的值(1)方程两实根的积为；)(方程的两实根12,x x满足12|xx 分析：(1)由韦达定理即可求之;(2)有两种可能，一是120 xx,二是12xx，所以要分类讨论 解:(1)方程两实根的积为 222121(1)4(1)034,412154kkkkx xk 所以，当4k 时，方程两实根的积为.(2)由12|xx得知：当10 x 时,
8、12xx，所以方程有两相等实数根，故302k;当10 x 时，12120101xxxxkk ,由于 302k,故1k 不合题意,舍去.综上可得，32k 时,方程的两实根12,x x满足12|xx 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0.例 已知12,x x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根-(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx 成立?若存在，求出k的值;若不存在,请您说明理由()求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值 解:(1)假设存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx 成立
9、.一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根 2400(4)4 4(1)160kkkk kk ,又12,x x是一元二次方程24410kxkxk 的两个实数根 1212114xxkx xk 222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x 939425kkk ,但0k 不存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx 成立 )(222121212211212()44224411xxxxxxkxxx xx xkk 要使其值是整数,只需1k 能被 4 整除,故11,2,4k ,注意到0k,要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5 说明:
10、(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在，然后推导其值,若能求出，则说明存在,否则即不存在.（)本题综合性较强,要学会对41k 为整数的分析方法 -四 巩固强化 1.(2011 湖北潜江,17，6 分）若关于 x 的一元二次方程24xk0 的两个实数根为 x、，且满足3x，试求出方程的两个实数根及 k 的值.（2011南充，18,8 分)关于的一元二次方程 x2+2+k+1=0 的实数解是 x1和 x2.（1）求 k 的取值范围；(2)如果1x2121 且 k 为整数,求的值.3.（2011湖南张家界，23，8)阅读材料：如果 x1、x是一元二次方程 ax2bx0(a0)的两根,那么，12bx
11、xa,12cxxa.这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题:已知 m 与 n 是方程 2x2x+3=的两根(1）填空:m+=,m=；（2）计算nm11的值.4.（011 湖北孝感，22,分）已知关于的方程 x(k)x+2=有两个实数根x1,x2.（1）求的取值范围；(2）若x+x2|=x1x21，求 k 的值 5.（211玉林，0，6 分）已知:x1、x2是一元二次方程 x24x+1 的两个实数根 求:(+x2）2（2111xx)的值.(2011 贵州遵义，24,10 分）有四张卡片（背面完全相同)，分别写有数字 1、2、-1、,把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回
12、洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母 b、分别表示甲、乙两同学抽出的数字。(1)用列表法求关于x的方程02cbxx有实数解的概率;(2)求(1)中方程有两个相等实数解的概率。7.（01广西防城港 20,分)已知:x1、2是一元二次方程24x+1=0的两个实数根 求（x1x2)2)11(21xx的值 8（01湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，分)若关于的一元二次方程-2.3.解：由=4（a-3)24(-a-12）=0 得：+b-3=0,又 2-b=0,=1,b=2.设这个方程的解为1、x2，则 x1x2=-2(a-）=4，xx2a2-7a-b+2)=40，x1、x2 均为正根；=
13、1，b=2，y=x22（a1)x+a27a-b+12 可化为：y=x-4=(x-)2,将此图象向下移动 3 个单位,得:y=(-2)2-3，顶点（2，3),对称轴为 x=2.4.巩固强化答案.考点：根与系数的关系。专题：方程思想。分析:根据根与系数的关系（x1x2ab,x1x=ac)列出等式,再由已知条件“x1x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可 解答：解：由根与系数的关系,得 xx=4 ,xx2=k3 (2 分）又 xx2 ，联立、,解方程组得1321xx(分）=x12+3=31+3=6（5 分）-答：方程两根为 x13,x2=1;.(6 分)点评：此题主要考查了根与系数的关系：x
14、1+xab，x1x2ac解答此题时,一定要弄清楚韦达定理中的 a、b、c 的意义 考点：根与系数的关系;根的判别式;解一元一次不等式组。专题:代数综合题。分析:（1）方程有两个实数根,必须满足 b24ac0,从而求出实数 k 的取值范围；(2)先由一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2，x1x2k+再代入不等式 x+x1x2，即可求得 k 的取值范围，然后根据 k 为整数,求出 k 的值 解答：解：（1）方程有实数根，=24(k+1),解得 k0 故 K 的取值范围是0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=2,1x2k1 x1+xx1x22(k1)由已知，得2（+1）1，
15、解得.又由（1）k0，.k 为整数，k 的值为1 和 0.点评:本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式 0 3.考点：根与系数的关系。专题:计算题。分析：（1)直接根据韦达定理计算即可得到 m+n 和 mn；(）先把变形，用 m+和 m表示,然后把（1）的值整体代入进行计算即可 解答:解：()答案为 3,32（2）mnnmnm11=2332.点评:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c(a）的根与系数的关系:若方程的两根分别为-x1,x,则12bxxa,12cxxa 4考点:根与系数的关系;根的判别式。专题:计算题。分
16、析:（1）方程有两个实数根，可得=b2ac0，代入可解出 k 的取值范围；（2)结合(1)中 k 的取值范围,由题意可知,x1+x2=(k）,去绝对值号结合等式关系,可得出 k 的值 解答:解：(1)由方程有两个实数根,可得 24ac=4（k）k0,解得,k12;(2)依据题意可得，x1+2=2（k1）,由(1）可知 k12,(k1)0，2(k1）=k2，解得 k=1（舍去），k2,k 的值是3.答:（1）k 的取值范围是12；(）k 的值是3.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意 k 的取值范围是正确解答的关键 5考
17、点：根与系数的关系。专题：计算题。分析:先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值,再根据2111xx=2121xxxx 即可解答 解答：解:一元二次方程 x24x+1=的两个实数根是 x、x2，x2=，x12=1，(x+2)2（2111xx）-422121xxxx 424=4.点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,是一道基础题型 6.【考点】列表法与树状图法；根的判别式.【分析】(1）根据题意列表,然后根据表格求得所有等可能的结果与关于 x 的方程 x+bx+c=有实数解的情况数，根据即可概率公式求解;)（首先求得(1)中方程有两个相等实数解的情况，然后
18、即可根据概率公式求解【解答】解:（1）列表得：（1,-)（2,2)（1，2)（-2，-2)(1,1)(，-1)(,-1)（-,1）(1,）（2，2)(，2）(-2,)(1，1）（2,1)（，1)(2,1）一共有 16 种等可能的结果,关于 x 的方程 x2+b+0 有实数解,即 b24c0,关于x 的方程 x+bx+c=0 有实数解的有（1,）,（1,-）,（2,1）,(，-1),(2,-2），（-1,1），(1，2),（-2，1）,(-2,1)，（-2,-2)共0 种情况，关于 x 的方程 x2+bx+c0 有实数解的概率为：1016=58;(2)(）中方程有两个相等实数解的有（-2,1),
19、（,1),）1（中方程有两个相等实数解的概率为：216=18【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定注意 0，有两个不相等的实数根，0,有两个相等的实数根，-49，x2+211，(1+x2)2-2 xx2=11，（2+1）22(k2)1，解得=1 或-;k-49,故答案为 k=1 点评:此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和,把求未知系数的问题转化为解方程的问题.15.考点：根与系数的关系。分析：由于方程2x5=的两个实数根为 x1,x,所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出 x121x2+x22的值 解答：解：x1、x是方程 x2x5=0 的两根,x+x2=2,xx=5，12+x12+x22（x1x2）2x1x=4+=故答案为 9 点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法