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1、解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦
2、达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 一 真题链接1.若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=- x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（
3、a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值2.阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0利用根与系数的关系判断这两根的正负情况若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写
4、出顶点坐标和对称轴方程4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1x2则k的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组根公式 二次三项式的因式分解 根系关系的
5、三大用处（1）计算对称式的值例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5Xy=6 解：显然，x，y是方程z2-5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解
6、：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知k2-4220，k4或k-4 为所求。三 典题示例例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足例2 已知是一元二次方
7、程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根 ， 又是一元二次方程的两个实数根 ，但 不存在实数，使成立 (2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法 四 巩固强化1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x24xk30的两个实数根为x1、x2，且满足x13x2
8、，试求出方程的两个实数根及k的值2. （2011南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2x1x21且k为整数，求k的值3. （2011湖南张家界，23，8）阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，那么， ，这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x26x+3=0的两根（1）填空：m+n= ，mn= ；（2）计算的值4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x22（k1）x+k2=0有两个实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若|x1+
9、x2|=x1x21，求k的值5. （2011玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x24x+1的两个实数根求：（x1+x2）2（）的值6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、1、2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。（1）用列表法求关于的方程有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。7.（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x24x10的两个实数根求（x1x2）2的值8. （2011湖北潜
10、江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及k的值. 9. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（a+b2）+ab的值等于_10. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2，则m=，另一个根是11. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如：x2x+1=012. （2011德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x1=0的两个
11、根，则x12+x22= 13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y11）（y21）的值为114. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 15. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x22x5=0的两根，则x12+x1x2+x22=五 参考答案真题链接答案：1.2.3.解：由=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0，又2a-b=0，a=1，b=2设这个方程的解为x1、x2，则x1+x2=-2（a-3）=40，x1
12、x2=a2-7a-b+12）=40，x1、x2均为正根；a=1，b=2，y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2，将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3，顶点（2，-3），对称轴为x=24.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系。专题：方程思想。分析：根据根与系数的关系（x1x2，x1x2）列出等式，再由已知条件“x13x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可解答：解：由根与系数的关系，得x1x24 ，x1x2k3 （2分）又x13x2 ，联立、，解方程组得（4分）kx1x233136（5分）答：方程两根为x13，x21；k6（6分
13、）点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1x2，x1x2解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义2.考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组。专题：代数综合题。分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入不等式x1+x2x1x21，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值解答：解：（1）方程有实数根，=224（k+1）0， 解得k0故K的取值范围是k0（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2，x1x2=k+1x1+x2x1x2=2（k
14、+1）由已知，得2（k+1）1，解得k2又由（1）k0，2k0k为整数，k的值为1和0 点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式03.考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；（2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可解答：解：（1）答案为3，（2）=2点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则，4.考点：根与系数的关系；根的判别式。专题：计算题。分析：（1）方程有两个实数根，
15、可得=b24ac0，代入可解出k的取值范围；（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k1）0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得=b24ac=4（k1）24k20，解得，k；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k1），由（1）可知k，2（k1）0，2（k1）=k21，解得k1=1（舍去），k2=3，k的值是3答：（1）k的取值范围是k；（2）k的值是3点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键5.考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析
16、：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据=即可解答解答：解：一元二次方程x24x+1=0的两个实数根是x1、x2，x1+x2=4，x1x2=1，（x1+x2）2（）=42=424=4点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型6.【考点】列表法与树状图法；根的判别式【分析】（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的情况数，根据即可概率公式求解；（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解【解答】解：（1）列表得： （1，2）（2，2）（1，2）（2，2）（
17、1，1）（2，1）（1，1）（2，1）（1，2）（2，2）（1，2）（2，2）（1，1）（2，1）（1，1）（2，1）一共有16种等可能的结果，关于x的方程x2+bx+c=0有实数解，即 b24c0，关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，1），（2，2），（1，1），（1，2），（2，1），（2，1），（2，2）共10种情况，关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率为： =；（2）（1）中方程有两个相等实数解的有（2，1），（2，1），（1）中方程有两个相等实数解的概率为： = 【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定注意0，
18、有两个不相等的实数根，=0，有两个相等的实数根，0，没有实数根7.考点：一元二次方程的根与系数的关系专题：一元二次方程分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据即可解答解答：一元二次方程x24x10的两个实数根是x1、x2x1x24，x1x21（x1x2）242421644点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型8.考点：根与系数的关系 分析：根据根与系数的关系（x1+x2= ，x1x2= ）列出等式，再由已知条件“x1=3x2”联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可 答案：.解:由根与系数的关系得: ， 又，联立、，解方程组
19、得 答：方程两根为. 点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1+x2= ，x1x2= 解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义9.考点：根与系数的关系专题：计算题分析：欲求（ab）（a+b2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，ab=1，a+b=2，（ab）（a+b2）+ab=（ab）（22）+ab=0+ab=1，故答案为：1点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法10考点：一元二次方程的解；根与系数的关系专题：方程思想分析：根据一
20、元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=解出方程的另一个根解答：解：根据题意，得4+2m6=0，即2m2=0，解得，m=1；由韦达定理，知x1+x2=m；2+x2=1，解得，x2=3故答案是：13点评：本题主要考查了一元二次方程的解根与系数的关系在利用根与系数的关系x1+x2=x1x2=来计算时，要弄清楚abc的意义11.考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：开放型；数形结合。分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得ACDDCB，
21、则可求得ACBC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案注意此题答案不唯一解答：解：连接AD，BD，OD，AB为直径，ADB=90，四边形DCFE是正方形，DCAB，ACD=DCB=90，ADC+CDB=A+ADC=90，A=CDB，ACDDCB，又正方形CDEF的边长为1，ACBC=DC2=1，AC+BC=AB，在RtOCD中，OC2+CD2=OD2，OD=，AC+BC=AB=，以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2x+1=0故答案为：此题答案不唯一，如：x2x+1=0点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的
22、关系此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用12.考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1x2的值整体代入计算即可解答：解：x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，x1+x2=1，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（1）22（1）=1+2=3故答案是：3点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式解题的关键是先求出x1+x2和x1x2的值13.考点：根与系数的关系。专题：探究型。分析：先根据一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+
23、y2及y1y2的值，再代入（y11）（y21）进行计算即可解答：解：一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1y2，y1+y2=3，y1y2=1，（y11）（y21），=y1y2y1y2+1，=y1y2（y1+y2）+1，=13+1，=1故答案为：1点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=14.考点：根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k22=0两根为x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，然后再根据两实根
24、的平方和等于11，从而解出k值解答：解：设方程方程x2+（2k+1）x+k22=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=（2k+1），x1x2=k22，=（2k+1）24（k22）=4k+90，k，x12+x22=11，（x1+x2）22 x1x2=11，（2k+1）22（k22）=11，解得k=1或3；k，故答案为k=1点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题15.考点：根与系数的关系。分析：由于方程x22x5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值解答：解：x1、x2是方程x22x5=0的两根，x1+x2=2，x1x2=5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）2x1x2=4+5=9故答案为9点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法第 21 页 共 21 页