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1、求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例 1 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：123 2nnnaa 两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa 转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、利用1(2)1(1)nn
2、SSnS nna 例 2若nS和nT分别表示数列na和 nb的前n项和，对任意正整数 2(1)nan，34nnTSn.求数列nb的通项公式；解：22(1)4231anadSnnnn 23435TSnnnnn2 分 当1,3 5811nTb 时 当2,6262.1nbTTnbnnnnn时4 分|练习：1.已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an 解:10Sn=an2+5an+6，10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2 或a1=3 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)，由得 10an=(an2
3、an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ，anan1=5(n2)当a1=3 时，a3=13，a15=73 a1，a3，a15不成等比数列a13;当a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2，an=5n3 三、累加法 例 3 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnn
4、nn .所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 4 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则 11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 评注：本题解题的关键是把递推
5、关系式12 31nnnaa转化为12 31nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。四、累乘法 例 6 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan ;评注：
6、本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 7 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnana n 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知
7、11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan 。所以，na的通项公式为!.2nna 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnana n转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna 时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。五.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapaf n 例 8（2006 年福建卷）已知数列 na满足*111,21().nnaaanN 求数列 na的通项公式；解：*121(),nnaanN 112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即 2*21().nanN
8、 例 9已知数列 na中，11a,1111()22nnnaa，求na。解：在1111()22nnnaa两边乘以12n得：112(2)1nnnnaa 令nnnab 2，则11nnbb,解之得：111nbbnn 所以122nnnnbna 练习.已知数列an满足）（2n12a2an1nn，且81a4。（1）求321aaa，；（2）求数列an的通项公式。解：（1）33a13a5a321，（2）n1nnn1nn2)1a(21a12a2a 1n21a121a21ann1n1nnn 12)1n(ann 六、待定系数法 例 10 已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列 na的通项公式。解：设115
9、2(5)nnnnaxax 将123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx 则代入式得1152(5)nnnnaa 由1156510a 及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例 12 已知数列n
10、a满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 将212345nnaann代入式，得 2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则 222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz 等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得 2213(1)10(1)182(31018)nnannann 由213 110 1 18131320a 及式，得2310180nann
11、则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 1813132a 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列，进而求出数列231018nann的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。七、对数变换法 例 13 已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa
12、，所以100nnaa，。在512 3nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 11 将式代入11 式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255x nxyxny，则 lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy 代入11 式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan 12#由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 及12 式，得lg3lg3lg2lg04164n
13、an，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnn
14、nnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。八、迭代法 例 14 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1)23212nnnnn
15、nnnnaaa (2)(1)23(1)22(2)(1)323(2)23(1)23(3)(2)(1)33(2)(1)231 2(3)(2)(1)1323(2)(1)21(1)123!21nnnnannnnnnnannnnnnnannnnnnnnan nnna 又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnan。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1)2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知13211221(1)1lglglglg23!2lglglg5lglglglgn
16、nnnnn nnaaaanaaaaaa，从而1(1)3!225nn nnna。九、数学归纳法 例 15 已知数列na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得 2122322243228(1 1)88 224(2 1 1)(2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1)(2 23)252549498(3 1)488 480(2 3 1)(2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n 时，212
17、(2 1 1)18(2 1 1)9a ，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21)(23)kkkaakk 222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)(21)1(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)2(1)112(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2 由此可知，当1nk时等式也成立。$根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递
18、推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法 例 16 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab 故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，故111 240nnba 则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，（所以3nb 是以1131 2431 24 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此1
19、21132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将1 24na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb 为等比数列，进而求出数列3nb 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。附：构造辅助数列 1构造数列na1，使其为等差数列。（形式：11nnnpaaa）例：已知数列 na满足,11a131nnnaaa，求证：na1是等差数列，并求 na的通向公式。解：131nnnaaa，3111nnaa，即.3111nnaa%na1是首项为 1，公差为 3 的等差数列
20、。,231 nan 231nan.2.构造数列na1，使其为等比数列。（qpaaannn1或0cBaAann）例：在数列 na中，已知,21a121nnnaaa，求证：数列 na的通项公式。解：由,21a121nnnaaa可知，对Nn，0na.nnaa212111，即1121111nnaa.又,11a 21111a.数列11na是首项为21，公比为21的等比数列.nnna212121111.122nnna 3.构造数列nnaa1，使其为等比数列。112nnnqapaa 例：已知数列 na满足,11a32a，11223nnnaaa，求 na的通项公式。解：设 1112nnnnaaaa，即,112nnnaaa 则,112nnnaaa与11223nnnaaa 比较后的得 2,3.1,2 或 2,1.当2,1时，11122nnnnaaaa，nnaa1是以212 aa为首项，2 为公比的等比数列。nnnaa21 112211aaaaaaaannnnn 122221nn 12 n(2n).经验证，n=1 时适合上式，12 nna.同理，当1,2时，也得到12 nna.综上知12 nna.