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1、.1/8 总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法逐差法、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于：1()nnaaf n 转换成1()nnaaf n,其中 f可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na.若 f是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若 f是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和;若 f是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若 f是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.例 1 已知数列na满足11211nnaana，,求数列na的通项公式.解：由121nnaan得121nnaan则 例 2 已知数列n
2、a满足112 313nnnaaa，,求数列na的通项公式.解；由12 31nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 练 习1.已 知 数 列 na的 首 项 为1,且*12()nnaan nN写 出 数 列 na的 通 项 公 式.答案：12 nn 练 习2.已 知 数 列na满 足31a,)2()1(11nnnaann,求 此 数 列 的 通 项 公 式.答案：裂项求和 nan12 二
3、、累乘法 1.适用于：1()nnaf n a-这是广义的等比数列 2若1()nnaf na,则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，.2/8 两边分别相乘得,1111()nnkaaf ka 例 4 例 4.已知数列 na满足321a,nnanna11,求na.解：由条件知11nnaann,分别令)1(,3,2,1 nn,代入上式得)1(n个等式累乘之,即 又321a,nan32 三.公式法：已知nS即12()naaaf n求na,用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.例 2已知数列 na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn求数列 na的通项公式.解：由1121
4、111aaSa 当2n时,有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa,)1(22221nnnaa,.2212 aa 经验证11a也满足上式,所以)1(23212nnna 点评：利用公式 211nSSnSannnn求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并 练一练：已知na的前n项和满足2log(1)1nSn,求na；数列na满足11154,3nnnaSSa,求na；四、待定系数法 适用于1()nnaqaf n 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数.1形如0(,1cdcaann,其中aa 1型 1若 c=1 时,数列na为等差数列
5、;2若 d=0 时,数列na为等比数列;3若01且dc时,数列na为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得 dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann 因此数列1cdan构成以11cda为首项,以 c 为公比的等比数列,.3/8 所以 11)1(1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann.规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann 逐项相减法阶差
6、法：有时我们从递推关系dcaann1中把 n 换成 n-1 有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为 c 的等比数列1nnaa,进而求得通项公式.)(121aacaannn,再利用类型即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 6 已知数列na中,111,21(2)nnaaan,求数列 na的通项公式.解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa 又112,1naa 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 12nna,即21nna 练习已知数列na中,2121,211nnaaa求通项na.答案：1)21(1nna 2形如：nnnqapa1 若 p=1 时,即
7、：nnnqaa1,累加即可.若1p时,即：nnnqapa1,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列 即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab,则nnnqppbb)(11,然后类型 1,累加求通项.ii.两边同除以1nq.目的是把所求数列构造成等差数列.即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型 5 来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11nnnnpapqa.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.4/8 注意：应用待定系数法时,要求 pq,否则待定系数法会失效.
8、例 7 已知数列na满足11124 31nnnaaa，,求数列 na的通项公式.解法一待定系数法：设11123(3nnnnaa),比较系数得124,2,则数列14 3nna 是首项为1 114 35a,公比为 2 的等比数列,所以114 35 2nnna ,即114 35 2nnna 解法二两边同除以1nq：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa,下面解法略 解法三两边同除以1np：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211,下面解法略 练 习.2003#理 设0a为 常 数,且)(2311Nnaannn 证 明 对 任 意n1,012)1(2)1(351aann
9、nnnn；3形如bknpaann1 方法 1：逐项相减法阶差法 方法 2：待定系数法 通过凑配可转化为 )1()(1ynxapyxnann;解 题 基 本 步 骤：1、确 定()f n=kn+b2、设 等 比 数 列)(yxnabnn,公 比 为 p3、列 出 关 系 式)1()(1ynxapyxnann,即1nnpbb4、比较系数求 x,y5、解得数列)(yxnan的通项公式 6、解得数列 na的通项公式 例 8 在数列na中,23,111naaann求通项na.逐项相减法 解：,231naann2n时,)1(231naann,两式相减得 2)(311nnnnaaaa.令nnnaab1,则2
10、31nnbb 利用类型 5 的方法知2351nnb 即 13511nnnaa.5/8 再由累加法可得213251nann.亦可联立 解出213251nann.例 9.在数列na中,362,2311naaann,求通项na.待定系数法 解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12nnbb 所以 nb是一个等比数列,首项299611nab,公比为21.1)21(29nnb 即：nnna)21(996 故96)21(9nann.4形如cnbnapaann21 基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数.例 10
11、 已知数列na满足21123451nnaanna，,求数列na的通项公式.解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 比较系数得3,10,18xyz,所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann 由213 110 1 18131320a ,得2310180nann 则2123(1)10(1)18231018nnannann,故数列231018nann为以213 110 1 1813132a 为首项,以2 为公比的等比数列,因此2131018322nnann,则42231018nnann.5.形如21 nnnapaqa时将na作为()f n求解 分析：原递
12、推式可化为211()()nnnnaapaa的形式,比较系数可求得,数列1nnaa为等比数列.例 11 已知数列na满足211256,1,2nnnaaa aa,求数列na的通项公式.解：设211(5)()nnnnaaaa 比较系数得3 或2,不妨取2,取-3 结果形式可能不同,但本.6/8 质相同则21123(2)nnnnaaaa,则12nnaa是首项为 4,公比为 3 的等比数列 1124 3nnnaa,所以114 35 2nnna 练习.数列na中,若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na答案：nna311.四、迭代法rnnpaa1型 例 12 已知数列na满足3(1)2115
13、nnnnaaa，,求数列na的通项公式.解：因为3(1)21nnnnaa,所以 又15a,所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna.注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.例 13.2005#卷 已知数列:,且满足的各项都是正数naNnaaaannn),4(21,110,1证明12,;nnaanN 2求数列na的通项公式 an.解：1略2,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以 21)2()2(2nnaa nnnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2则令又 bn=1,所以1212)21(22,)21
14、(nnnnnbab即.方法 2：本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3：设 cnnb,则 c2121nnc,转化为上面类型1来解 五、对数变换法 适用于rnnpaa1型 p0,0na 例 14.设正项数列 na满足11a,212nnaan2.求数列 na的通项公式.解：两边取对数得：122log21lognnaa,)1(log21log122nnaa,设1log2nanb,则12nnbb nb是以 2 为公比的等比数列,11log121b11221nnnb,1221lognan,12log12nan,1212nna.7/8 练习 数列 na中,11a,12nnaan2,求数列 n
15、a的通项公式.答案：nna2222 例 15 已知数列na满足512 3nnnaa,17a,求数列na的通项公式.解：因为5112 37nnnaaa，,所以100nnaa，.两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 同类型四 比较系数得,lg3lg3lg2,4164xy 由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a ,得lg3lg3lg2lg04164nan,所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项,以 5 为公比的等比数列,则1lg3lg3lg2lg3lg3l
16、g2lg(lg7)541644164nnan,因此11111111116164444111115161644445415151164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)lg(332)lg(732)nnnnnnnnnnan 则11541515164732nnnnna.六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 16 已知数列na满足112,12nnnaaaa,求数列na的通项公式.解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列,首项111a,公差为12,112(1),21nnnaan 十二、四种基本数列 1形如)(1nfaann型 等差数列的广义形式,见累加法.8/8 2.形如)(1nfaann型 等比数列的广义形式,见累乘法.3.形如)(1nfaann型 1若daann1d 为常数,则数列na为等和数列,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若 f 为 n 的函数非常数时,可通过构造转化为)(1nfaann型,通过累加来求出通项;或用逐差法得)1()(11nfnfaann,分奇偶项来分求通项.