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1、广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -1-广东省深圳市高级中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 文 本试卷由二部分组成:第一部分：高二数学第二学期前的基础知识和能力考查，共 76 分；选择题部分包含第 1、2、3、4、6、9 题,分值共 30 分，填空题部分包含第 13、14 题,分值共 10 分,解答题部分包含第 18、19、20 题，分值共 36 分。第二部分：高二数学第二学期的基础知识和能力考查，共 74 分;选择题部分包含第 5、7、8、10、11、12 题，分值共 30 分，填空题部分包含第 15、16 题，分值共 10 分，解答题部分包含第 17、2
2、1、22 题，分值共 34 分。全卷共计 150 分，考试时间为 120 分钟。一选择题:共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。设集合0|xxA，11|xxB，则BA(）A.)1,1(B。),1(C。)1,0(D.),0(2i是虚数单位，则复数2iiz在复平面上对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.“1x”是“21x”的（）A.充分而不必要条件 B。必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量2,1a，,1bm，且aab,则实数m（）A。2 B。1 C。4 D.3 5已
3、知曲线sin()(0)3yx关于直线x 对称，则的最小值为(）A23 B12 C13 D16 6直线l：3450 xy被圆M：22(2)(1)16xy截得的弦长为（)A7 B5 C2 7 D10 7已知在极坐标系中，点3(2,),(2,),0,024ABO，则ABO为（)A正三角形 B直角三角形 C锐角等腰三角形 D等腰直角三角形 8下列函数求导运算正确的个数为（）广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -2-333 l()og exx；21()glno2lxx；(ee)xx；1()lnxx；eee()xxxxx A1 B2 C3 D4 9.已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出
4、的a值为 16，则循环体的判断框内处应填（）A2 B。3 C.4 D.5 10已知点(2,0)A，在O：221xy上任取一点P,则|3PA 的概率为（)A23 B12 C13 D14 11已知a1，b0，2ab,则1112ab的最小值为(）A.322 B.3242 C.32 2 D.1223 12.已知双曲线E：22221xyab(0,0ba），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足3PFFQ，若OPb，则E的离心率为（）A。2 B.3 C。2 D.5 二填空题:共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.函数1()ln(1)2f xxx的定义域为
5、 广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -3-14。若实数yx,满足条件2220yxyxyx，则yxz 2的最大值是 15已知直线l的普通方程为10 xy，点P是曲线3cos:(sinxCy为参数）上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为_ 16将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12，2 6,3 4三种，其中3 4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为 12 的最佳分解。当p q（pq且p、*qN）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 f nqp，例如 124 31f，则数列 3nf的前 2019 项和为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答 17。（12 分）在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，,且满足0sincosBaAb(1）求角A的大小；（2）已知22cb,ABC的面积为1,求边a 18(12 分)已知等比数列na的各项为正数,且2326329,29aa aaa.（1）求na的通项公式；（2）设31323loglog.lognnbaaa，求证数列1nb的前n项和nS2 19（12分）2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段)35,22)45,35)55,45 59,55
7、人数（单位：人)180 180 160 80 约定:此单位45岁59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -4-（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事。完成下列22列联表，并回答能否有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器)中，随机抽取2人上台表演节目,则
8、抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？)(02kKP 0。100 0.050 0。025 0.010 0。001 0k 2.706 3。841 5.024 6.635 10.828)()()()(22dbcadcbabcadnK.20.（12 分）已知抛物线2:2(02)C xpyp的焦点为F，0(2,)My是C上的一点，且52MF (1）求C的方程；（2）直线l交C于BA、两点，2OAOBkk 且OAB的面积为16，求l的方程 21（12 分）已知函数)0(ln)0(2)(xxaxexxfx（0a)(1）求)(xf在0,(上的单调性及极值;广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文
9、-5-(2）若)()(2xfbxxxg，对任意的2,1 b,不等式0)(xg都在),1(ex上有解，求实数a的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44:坐标系与参数方程（10 分)已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为13cos3sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系。(1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是cos3 36，射线OT：03与曲线C交于点A与直线l交于点B,求线段AB的长。23 选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()221(0
10、)f xxaxa，()2g xx（1)当1a 时,求不等式()()f xg x的解集；(2）若()()f xg x恒成立，求实数a的取值范围 广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -6-深圳市高级中学（集团）20182019 学年高二年级第二学期期中考试 数学(文科）命题人：何永丽 审题人:王晓宇 一选择题:共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。设集合0|xxA,11|xxB，则BA（B ）A。)1,1(B。),1(C.)1,0(D.),0(2i是虚数单位，则复数2iiz在复平面上对应的点位于（C）A第一象限 B第
11、二象限 C第三象限 D第四象限 3。“1x 是“21x”的（A )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 4。已知向量2,1a，,1bm，且aab,则实数m(D）A。2 B.1 C.4 D.3 5已知曲线sin()(0)3yx关于直线x 对称，则的最小值为（D）A23 B12 C13 D16 6直线l：3x+4y+5=0 被圆M：（x2）2+（y1）2=16 截得的弦长为(C）A7 B5 C2 7 D10 7、已知在极坐标系中，点32,2,0,024ABO则ABO为（D）A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形 广东省
12、深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -7-8下列函数求导运算正确的个数为(C )333 l()og exx；21()glno2lxx；(ee)xx；1()lnxx；eee()xxxxx A1 B2 C3 D4 9。已知流程图如图所示,该程序运行后，若输出的a值为 16，则循环体的判断框内处应填（B ）A。2 B。3 C。4 D.5 10已知点(2,0)A，在O：221xy上任取一点P，则|3PA 的概率为（C）A 23 B12 C13 D14 11已知a1，b0，2ab,则1112ab的最小值为（A )A322 B.3242 C。32 2 D。1223 12。已知双曲线E：22xa2
13、2yb=1(0,0ba），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足FQ3PF,若bOP，则E的离心率为（B )A 2 B.3 C.2 D。5 二填空题:共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13。函数1()ln(1)2f xxx的定义域为(1,2)14。若实数yx,满足条件2220yxyxyx，则yxz 2的最大值是 6 广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -8-15已知直线l的普通方程为10 xy,点P是曲线3cos:(sinxCy为参数)上的任意一点,则点P到直线l的距离的最大值为_3 22_ 16.将正整数12分解成两个正整数的
14、乘积有1 12，2 6，3 4三种，其中3 4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为 12 的最佳分解.当p q（pq且p、*qN)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 f nqp，例如 124 31f，则数列 3nf的前 2019 项和为 101031 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17。在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，且满足0sincosBaAb (1)求角A的大小；(2）已知22cb，ABC的面积为1,求边a(1）解:0sincosBaAb 由正弦定理得:0sinsincossinBAAB-2 分 0B 0sinB 0sincosAA -3
15、分 2A 1tanA -4 分 又 A0 .。.。.。.。.。.5 分 43A -6 分（2）解：43A，1ABCS 1sin21Abc 即：22bc -8 分 又22cb 由余弦定理得：10)22()(2cos2222222bccbbccbAbccba 11 分 故：10a -12 分（3）【方法 2】43A，1ABCS 广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -9-1sin21Abc 即：22bc 。.。.。.-8 分 又22cb。.。.。.。.。由解得：2222cbcb或.。.。.。.。.。9 分 由余弦定理得:10cos2222Abccba 11 分 故:10a -12 分
16、 18 已知等比数列na的各项为正数,且2326329,29aa aaa。(1）求na的通项公式;（2）设31323loglog.lognnbaaa，求证数列1nb的前n项和nS2 解：（1）设数列 N 的公比为 q,9a32=a2a6，即 9a22q2=a2 a2q4,解得 q2=9 又 q0，则 q=3，.2 分 a3=2a2+9，即 9a1=6a1+9，解得 a1=3，4 分 5 分（2)a1a2an=31+2+3+n=3,6 分 bn=log3a1+log3a2+log3an=log3（a1a2an）=，8 分 9 分 212 分 192018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职
17、工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段)35,22)45,35)55,45 59,55 人数（单位:人)180 180 160 80 约定：此单位45岁59岁为中年人,其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众。（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -10-（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列22列联表，并回答能否有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30（3）若
18、从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?)(02kKP 0。100 0.050 0.025 0.010 0。001 0k 2。706 3。841 5.024 6。635 10.828)()()()(22dbcadcbabcadnK.解：(1）抽出的青年观众为 18 人，中年观众 12 人(2）22列联表如下：706.2833.122140512181713)71256(3022K，没有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关。（3）热衷关心民生大事的青年观众有 6 人，记能胜任才艺表演的四人为432
19、1,AAAA，其余两人记为21,BB,则从中选两人，一共有如下 15 种情况:),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212414231322122111434232413121BBBABABABABABABABAAAAAAAAAAAAA 抽出的 2 人都能胜任才艺表演的有 6 种情况,广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -11-所以52156P.20。已知抛物线2:2(02)C xpyp的焦点为F，0(2,)My是C上的一点，且52MF （1）求C的方程;(2）直线l交C于BA、两点，2OAOBkk 且OAB的面积为16，求l
20、的方程 解:（1）抛物线的方程为yx22 -4 分 （2）直线l的斜率显然存在,设直线bkxyl:，211(,)2xA x、222(,)2xB x 由yxbkxy22得：0222bkxx bxxkxx222121，-6 分 由121212242OAOByyx xbkkxx ,4b -7 分 直线方程为：4 kxy，所以直线恒过定点)40(，R -8 分 162121xxORSOMN 821xx，即21212464xxx x 243264k，即28k 22k -11 分 所以直线方程为：422xy -12 分 广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -12-21已知函数)0(ln)0
21、(2)(xxaxexxfx（0a）。（1）求)(xf在0,(上的单调性及极值；（2)若)()(2xfbxxxg，对任意的2,1 b，不等式0)(xg都在),1(ex上有解，求实数a的取值范围。(1）当0,(x时,xexxf 2)(，)1(2)(xexfx,令0)(xf，1x)(xf在)1,(递减，)0,1(递增，极小值ef2)1(，无极大值.(2）因为xabxxxgln)(2,令xaxxbyln2，2,1 b,则y为关于b的一次函数且为减函数，根据题意，对任意2,1 b，都存在),1(ex，使得0)(xg成立,则在),1(ex上，0ln2maxxaxxy有解，令xaxxxhln)(2,只需存在
22、),1(0ex 使得0)(0 xh即可，由于xaxxxaxxh2212)(，令axxx22)(，),1(ex,014)(ax,)(x在),1(e上单调递增，ax1)1()(，当01a，即1a时，0)(x,即0)(xh，)(xh在),1(e上单调递增，0)1()(hxh，不符合题意.当01a，即1a时，01)1(a，aeee22)(,若122eea，则0)(e，所以在),1(e上0)(x恒成立，即0)(xh恒成立，)(xh在),1(e上单调递减,存在),1(0ex 使得0)1()(0 hxh，符合题意。广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -13-若122aee，则0)(e，在),
23、1(e上一定存在实数m，使得0)(m，在),1(m上0)(x恒成立，即0)(xh恒成立,)(xh在),1(m上单调递减，存在),1(0mx 使得0)1()(0 hxh,符合题意.综上所述，当1a时，对任意的2,1 b，都存在),1(ex，使得0)(xg成立.22.已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为13cos3sinxy（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系。（1)求曲线C的普通方程及极坐标方程；(2）直线l的极坐标方程是cos3 36，射线OT：03与曲线C交于点A与直线l交于点B,求线段AB的长。【解析】（1)因为曲线C的参数方程为13cos3sinxy
24、（为参数）,消去参数t得曲线C的普通方程为2213xy，又cosx，siny，曲线C的极坐标方程为22cos20.（2)由22 cos2003 2202，故射线OT与曲线C的交点A的极坐标为2,3；由cos3 36603，广东省深圳市高级中学学年高二数学下学期期中试题 文 -14-故射线OT与直线l的交点B的极坐标为6,3，624BAAB。23。设函数()221(0)f xxaxa,()2g xx（)当1a 时，求不等式()()f xg x的解集；（)若()()f xg x恒成立,求实数a的取值范围（1)当时，所以或或3 分 解得或或4 分 综上，不等式的解集为。5 分（2)，转化为 令，6 分，7 分 时，8 分 令得10 分