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1、 1 抛物线的简单几何性质 一、要点精讲 抛物线的的简单几何性质 二、课前热身 1抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）(A)(B)5 (C)(D)10 2抛物线pxy220P上一点为0,6 yQ，且Q点到抛物线焦点 F 的距离为 10，则 F 到准线l的距离为(A)4 (B)8 (C)12 (D)16 3.（15 陕西）若抛物线22(0)ypx p的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则 p=4、(2016 新课标)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=（A）12 （B）1 （C）32 （D）2 标准方程 pxy220P pxy220P pyx
2、220P pyx220P 图 形 性 质 范围 0 x，Ry 0 x，Ry Rx，0y Rx，0y 焦半径 20pxPF 20pxPF 20pyPF 20pyPF 对称轴 x轴 y轴 顶点 0,0O 离心率 1e 通径 过焦点且与对称轴垂直的弦AB，pAB2 1 5通过直线xy 与圆0622xyx的交点，且对称轴是坐标轴的抛物线方程是 .6已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，通径为线段 AB，且4AOBS（O 为坐标原点），求抛物线方程 三、典例精析 类型一：求抛物线的方程 1、求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为 8 的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程 2.
3、如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2 3x 解：如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1 的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|12|AA1|12|AF|，即p32，抛物线方程为y23x，故选 C.3、已知圆0922xyx，与顶点在原点
4、 O，焦点在x轴上的抛物线交于 A,B 两点，OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程 4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆422 yx相交的公共弦长等于32，求这个抛物线的方程 1 5、直线1l和2l相交于 M，1l2l，点 N 1l，以 A,B 为端点的曲线段 C 上任一点到2l的距离与到点 N 的距离相等，若AMN 为锐角三角形17AM，3AN，且6BN，建立适当坐标系，求曲线段 C 的方程 6、已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，设 A,B 是抛物线 C 上两个动点（AB 不垂直于 x轴），且8 BFAF，线段 AB 的垂直平分线恒经过点
5、Q(6,0)求此抛物线的方程 类型二：抛物线的几何性质 7如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()解析 由题可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则ACFBCFSS|BC|AC|BB2|AA2|BF|1|AF|1.8设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2 C(2，)D2，)解析 设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，
6、抛物线C的准线方程为y2，由圆与准线相交知 44，所以y02.故选 C.9.过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()1 D2 2 解析 焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x1 的距离为 3，得A的横坐标为 2，纵坐标为 2 2，AB的方程为y2 2(x1)，与抛物线方程联立可得 2x25x20，所以B的横坐标为 12，纵坐标为 2，SAOB121(2 2 2)3 22.10平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：12222byax(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的
7、垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_ 解析 由题意，双曲线的渐近线方程为ybax，抛物线的焦点坐标为F2,0p.不妨设点A在第一象限，由 ybaxx22py，解得 x2pbay2pb2a2或 x0y0，故A2pba，2pb2a2.所以kAF2pb2a2p22pba4b2a24ab.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAFab1，即4b2a24abab1，整理得b254a2，所以c2a2b294a2，故c32a，即eca32.11已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若 AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为 31
8、，则点A的坐标为 ()A(2,2 2)B(2，2 2)C(2，2)D(2，2 2)解析 如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为 31，3sin21sin21MAFAFOFMAFAMAFSSAOFAMF，|AF|AM|3，设A020,4yy，y20413，解得y02 2.y2042，点A的坐标是(2，2 2)1 类型二：与抛物线有关的最值问题 12.已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()B3 D2 解:抛物线准线方程为x12，当MQx轴时
9、，|MQ|QF|取得最小值，此时|QM|QF|31252，选C.13已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_ 解析 由题意知，圆x2(y4)21 的圆心为C(0,4)，半径为 1，抛物线的焦点为F(1,0)根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|1 171.14、若点 P 在xy 2上，点 Q 在1322yx上，则PQ的最小值为（）(A)13 (B)1210 (C)2 (D)1211 点P到点Q的
10、距离的最小值可用点P到圆心距离的最小值减去圆的半径来求 15已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m|PC|的最小值为_ 解析 由题意得圆C的方程为(x3)2(y4)24，圆心C坐标为(3，4)由抛物线定义知，当m|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m|PC|)min32242 41.16、在抛物线y24x上求一点P，使点P到直线y=x+3 的距离最小.该命题可转化为求一条平行于 y=x+3 的直线 y=x+b 与抛物线 y2=4x 相切，求出切点，此时点 P 到直线 y=x+3 的距离最短，联立方程24yxbyx 得
11、 x2+（2b-4）x+b2=0，令=0，即（2b-4）2-4b2=0，b=1，故 x=1，y=2，P 为（1，2）抛物线 y2=4x 上一点 P（1，2），使得点 P 到直线 y=x+3 的距离最短 17、AB 为抛物线2xy 上的动弦，且aAB(a为常数且1a)，求弦 AB 的中点 M 离 x 轴的最近距离 1 18、已知点P为抛物线xy22上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是4,27A，则 PMPA 的最小值是（）(A)211 (B)4 (C)29 (D)5 19.已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则
12、d1d2的最小值为()2 1 2 1 解析 因为抛物线的方程为y24x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d11，又d11|PF|，所以d1d2d11d21|PF|d21，焦点F到直线l的距离d|104|2525 22，而|PF|d2d5 22，所以d1d2|PF|d215 221，选 D.20.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是 C.115 D.3716 解：如下图，由题意可知22|3 1 06|234d 21、（2016 四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物
13、线22(p0)ypx 上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为（A）33 （B）23 （C）22 （D）1 法一：设22,2,PptptM xy（不妨设0t），则22,2.2pFPptpt由已知得13FMFP，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选 C.法二：ypyP,22，则3,362yppyM，后面同法一 考点四：定点问题 1 22.设抛物线过定点 A(2,0)，且以直线 x-2 为准线 (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(0,-5)，轨迹 C
14、 上是否存在满足0 NBMB的 M,N 两点证明你的结论 分析：先判断直线与椭圆相交时的斜率的取值范围 23、如图，A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB过定点（3）求弦AB中点P的轨迹方程；解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)(1)kOAy1x1，kOBy2x2.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y212px1，y222px2，所以y212py222py1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明：因为y22y
15、21(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，又x1x2，所以y2y1x2x12py1y2.所以直线AB的方程为yy12py1y2(xx1)2py1y2(xy212p)，所以y2py1y2xy21y1y2y12py1y2xy1y2y1y22py1y2x4p2y1y22py1y2(x2p)所以直线AB过定点(2p,0)（3）设P(x，y)，则122xxx，122yyy。由y212px1，y222px2，得212121222yyy yp xx 以2222422yppx，即222ypxp AyoxB 1 24、已知(10)(10)ABP，,，,知是平面上一动点，且满足.PABAPB AB（1）求点P
16、的轨迹C的方程；（2）已知点(2)M m，在曲线C上，过点M作直线12ll、与C交于DE、两点，且12ll、的斜率12kk、满足122k k，求证：直线DE过定点，并求此定点。()(1)(1)1)P xyPAxy PBxy 设，,，,，解：则，(2 0)(2 0)ABBA，.PABAPB AB因为，22(1)22(1),xyx所以24yx即.221212(1)(12)()()44(2)yyMDyEy证明：由知，,设，,121222122221144yyk kyy所以，12()(2)28.yy整理得 1212212124=44DEyykkyyyy 1214.yyk 由知 12184.y yk 2
17、11124()4yDEyyxyy直的所线为以方程,121240 xyyyy y（）整理得，84440,xykk亦即 1()0()2xky即.(1,2)DE直线过定点所以.四、能力提升 1.抛物线 y=25x2的通径长是 （）(A)25 (B)225 (C)251 (D)252 2抛物线pxy22与直线 ax+y-4=0 的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是（）(A)233 (B)255 (C)1057 (D)217 3边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为原点，ABx 轴，以 O 为顶点，且过 AB 的抛物线方程是（）(A)xy632 (B)xy632 (C)xy632 (
18、D)xy332 1 4已知点 A(0,-3),B(2,3)，点 P 在 x2=y 上，当PAB 的面积最小时，点 P 的坐标为（）(A)(1,1)(B)49,23 (C)94,32 (D)(2,4)5.一个动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上，且动圆恒与直线 x+2=0 相切，则此动圆必经过的定点是（）(A)(0,2)(B)(0,-2)(C)(4,0)(D)(2,0)由题意可知直线 x+2=0 是抛物线 y2=8x 的准线，而动圈圆心又在抛物线 y2=8x 上，根据抛物线定义可知动圆圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，从而动圆必过抛物线焦点(2,0).6设 A,B 是抛物线 x2=4y 上两点，
19、O 为原点，OAOB，A 点横坐标是-1，则 B 点的横坐标为（）(A)1 (B)4 (C)8 (D)16 7 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点上，已知镜口直径是 60 cm，镜深 40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是（）(A)11.25 cm (B)5.625 cm(C)20 cm (D)10 cm 8.设 F 为抛物线 y2=ax(a0)的焦点，点 P 在抛物线上，且其到 y 轴的距离与到点 F 的距离之比为 12，则|PF|等于（）(A)4a (B)a (C)8a (D)2a 9以抛物线 x2=-4y 的焦点为圆心，通径长为直径的圆的方程为 .解:抛物线 x2=
20、-4y 的焦点(0,-1)，通径长为 2p=4，所以满足条件的圈的方程为 x2+(y+l)2=4.10对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;抛物线的通径的长为 5;原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使此抛物线方程为 y2=10 x 的条件是 （要求填写符合条件的序号）1 11已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线134422yx的左焦点，并且这条准线与双曲线两焦点的连线垂直，求抛物线方程 12.抛物线顶点在原点，其准线过双曲线12222byax的一个焦点，且抛物线与双曲线交于6,5.1A、6,5.1B两点，求抛物线和双曲线方程