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1、五、应用题（本题 20 分）1设生产某种产品q个单位时的成本函数为：qqqC625.0100)(2（万元）,求：（1）当10q时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q为多少时，平均成本最小？解：（1）总成本qqqC625.0100)(2，平均成本625.0100)(qqqC，边际成本65.0)(qqC 所以，1851061025.0100)10(2C（万元），5.1861025.010100)10(C（万元）116105.0)10(C（万元）（2）令 025.0100)(2qqC，得20q（20q舍去）因为20q是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20q时，平均成本最小
2、.2.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为201.0420)(qqqC（元），单位销售价格为qp01.014（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少 解：成本为：201.0420)(qqqC 收益为：201.014)(qqqpqR 利润为：2002.010)()()(2qqqCqRqL qqL04.010)(，令004.010)(qqL得，250q是惟一驻点，利润存在最大 值，所 以 当 产 量 为250个 单 位 时 可 使 利 润 达 到 最 大，且 最 大 利 润 为12302025002.025010)250(2L（元）。3投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际
3、成本为402)(qqC(万元/百台)试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 解：成本函数为：36)402()(0qdxxqC 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 6464264|40|)402(xxdxxC100（万元）364036)402()(20qqdxxqCq qqqC3640)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低.3、投产某产品的固定成本为 36（万元），且边际成本为602)(qqC（万元/百台）。试求产量由 4
4、百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。解：成本函数为：36)602()(0qdxxqC 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 6464264|60|)602(xxdxxC140（万元）366036)602()(20qqdxxqCq qqqC3660)(2361)(qqC，令0361)(2qqC得，6,6qq（负值舍去）。6q是惟一驻点，平均成本有最小值，所以当6x（百台）时可使平均成本达到最低。4已知某产品的边际成本)(qC=2（元/件），固定成本为 0，边际收益qqR02.012)(，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50
5、 件，利润将会发生什么变化？解：边际利润为：qqCqRqL02.010)()()(令0)(qL得，500q。500q是惟一驻点，最大利润存在，所以 当产量为 500 件时，利润最大。5505002550500550500|01.0|10)02.010(xxdxxL-25（元）即利润将减少 25 元。5 已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为 18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为 qqqCd)34()(=cqq322 当q=0 时，C(0)=18，得 c=18，即 C(q)=18322 qq 又平均成本函数为 qqqqCqA1832)()(
6、令 0182)(2qqA，解得q=3(百台)该问题确实存在使平均成本最低的产量.所以当 x=3 时，平均成本最低.最底平均成本为 9318332)3(A(万元/百台)6、已 知 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为qqC4)(万 元/百 台)，收 入 函 数 为22110)(qqqR（万元），求使利润达到最大时的产量，如果在最大利润的产量的基础上再增加生产200台，利润将会发生怎样的变化？解：边际利润为：qqqqCqRqL26410)()()(令0)(qL得，3q3q是惟一驻点，而最大利润存在，所以当产量为 3 百台时，利润最大。当产量由 3 百台增加到 5 百台时，利润改变量为 532
7、5353|6)26(xxdxxL)35()35(622 41612（万元）即利润将减少 4 万元。7.设生产某产品的总成本函数为 xxC 5)(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为xxR211)(（万元/百吨），求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？.解：因为边际成本为 1)(xC，边际利润 xxCxRxL210)()()(令0)(xL，得5x可以验证5x为利润函数)(xL的最大值点.因此，当产量为5百吨时利润最大.当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为 65265)10(d)210(xxxxL 1（万元）即利润将减少 1 万
8、元.8.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC6100)(2（万元）,求：当10 x时的总成本和平均成本；当产量x为多少时，平均成本最小？.解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为：xxxC6100)(2 6100)(xxxC，所以，260106101100)10(2C 26610110100)10(C，1100)(2xxC 令 0)(xC，得10 x（10 x舍去），可以验证10 x是)(xC的最小值点，所以当10 x时，平均成本最小 线性代数计算题 1、设矩阵121511311A，求1)(AI。解：因为 021501310121511311100010001AI 110001010
9、520310501100010001021501310IAI 1123355610100010001112001010100310501 所以，1123355610)(1AI。2、设矩阵 A=843722310，I 是 3 阶单位矩阵，求1)(AI。解：因为943732311AI，(I-AI)=103012001010110311100010001943732311 111103231100010001111012013100110201 所以1)(AI=111103231。3设矩阵 A=021201，B=142136，计算(AB)-1 解：因为 AB=021201142136=1412(AB
10、I)=1210011210140112 121021210112101102 所以 (AB)-1=122121 4、设矩阵012411210A，101B，求BA1 解：求逆矩阵的过程见复习指导 P77 的 4，此处从略。211231241121A；所以，131101211231241121BA。5 设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA。解：13251001132510011301102110015321 13251A1101132532211BAX 6.设矩阵112,322121011BA，求BA1.解：利用初等行变换得 102340011110001011100322010121
11、001011 146100135010001011146100011110001011 146100135010134001 即 1461351341A 由矩阵乘法得 7641121461351341BA。1求线性方程组1261423623352321321321xxxxxxxxx的一般解 解：因为增广矩阵 18181809990362112614236213352A000011101401 所以一般解为 1143231xxxx（其中3x是自由未知量）2求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解 解：因为系数矩阵 11101110120135122311
12、1201A000011101201 所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）3、当取何值时，齐次线性方程组 083035203321321321xxxxxxxxx有非 0 解？并求一般解。解：因为系数矩阵 31011013183352131A400110401所以当=4时，该线性方程组有无穷多解，且一般解为：32314xxxx（其中3x是自由未知量）。4、问当取何值时，线性方程组 1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx有解，在有解的情况下求方程组的一般解。解：方程组的增广矩阵 191022201051110212111147963712
13、21211A 1000010511102121110000105111021211 10000105111084901所以当1时，方程组有解；一般解为：43243151110498xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）55114724212432143214321xxxxxxxxxxxx 解：3735037350241215114712412111112A 000005357531054565101000003735024121 所以，方程组的一般解为：535753545651432431xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）6求线性方程组 2621242048312343214321
14、43214321xxxxxxxxxxxxxxxx.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1321138410214211261213211012230580305803 13211012230021012000001001516010890015600000 此时齐次方程组化为 65981615434241xxxxxx 得方程组的一般解为 43424156891516xxxxxx其中4x是自由未知量 7.当为何值时，线性方程组 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx 有解，并求一般解。解：14182620391310391310245111
15、0957332231131224511A 000008000039131015801000008000039131024511所以，当8时，有解。一般为：3913158432431xxxxxx（其中43,xx是自由未知量）v 微分计算题 试卷 1设xyx5sincose，求yd 解：因为)(coscos5)(sine4sinxxxyx xxxxsincos5cose4sin 所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin 2计算积分 e1dlnxxx 解：e12e12e1)d(ln21ln2dlnxxxxxxx 414ed212e2e12xx 3设xxyxcose，求yd 解：212c
16、os23cos23)sin(e)()(cosexxxxyxx xxxyxd)esin23(d2cos21 4 计算积分xxxd1sin2 解：cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin2 5.设xyxtanesin，求yd.解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)tane(ddsinxyx)(tand)e(dsinxx xxxxdcos1)(sinde2sinxxxxxdcos1dcose2sin xxxx)dcos1cose(2sin 6.计算xxxde 10 分 解：由不定积分的凑微分法得)(de2dexxxxxcx e2 7.已知2sin2xx，求y.解：由导数运算法则和复合函数求
17、导法则得)(sin2sin)2()sin2(222xxxyxxx)(cos2sin2ln2222xxxxx 22cos22sin2ln2xxxxx 8计算xxxdcos220 .解：由定积分的分部积分法得 xxxxxxxd2sinsin2dcos2202020 作业（1）xxxye，求y 解：xxxxxxxxxxxye)1(21)e(e)(21)e()(（2）bxyaxsine，求yd 解：)(cose)(esin)(sine)e(sinbxbxaxbxbxbxyaxaxaxax bxbbxaaxaxcosesine dxbxbbxdxadxydyax)cossin(e（3）xxyx1e，求y
18、d 解：xxxdxydyxd)e123(12 xxxxxxxxy12211231e12323)1(e)()e(（4）2ecosxxy，求yd 解：xxxxxxxyxxx2sine2)(e)(sin)e()(cos2222 xxxxdxydyxd)2sine2(2（5）)1ln(2xxy，求y 解：222222112211)1(11)1(xxxxxxxxxxxy 2222111)1(1xxxxxx （6）xxxd22 解：Cxxdxxdx232221222)2(31)2()2(21)(221原式（7）xxxdsin 解：Cxxdxcos2)(sin2原式（8）xxxd2sin 解：dxxxxxx
19、dxdxx2cos22cos2)2(cos2)2(2sin2原式 Cxxxxdxxx2sin42cos2)2(2cos42cos2（9）xx1)dln(解：方法 1)1ln()1()1ln()1()1()1ln(xdxxxxdx原式 Cxxxdxxx)1ln()1()1ln()1(（10）xxxde2121 解：ee|)1(212111xxexde原式（11）xxxdln113e1 解：2)1ln1ln1(2|ln12)1(lnln1131e133exxdxe原式（12）xxxd2cos20 解：202020202sin21|2sin21)2(sin21)2(2cos21xdxxxxxdxxd
20、x原式 21|2cos4120 x（13）xxxdlne1 解：)1e(41|412121|ln21)(ln21212211212eeeexexdxxxxxd原式（14）xxxd)e1(40 解：4040404040|4)(4dxexexdxedxxedxxxxx原式)e1(5144|44444404eeeex 复习指导 1、设xxxxy2cossin3，求y。解：)2(cos)(sin)(323xxxy)2(2sin)(sinsin323221xxxxx xxxxx2sin2ln2cossin323221 2、设xyxsin2，求y。解：)(sin2sin)2(xxyxx)(cos2sin2
21、ln2xxxxx xxxxx21cos2sin2ln2 3、设xxexy2cos，求y。解：)()(cos2xxexy)()(sin22xxxeexx)(sin22xxxeexx 4、设2sinlnxy，求y。解：)(sinsin1)sin(ln222xxxy 2222cot2)(cossin1xxxxx 5、设223sinxexy，求dy。解：)()(sin223 xexy 2222)2()(sinsin3xexxx 2224cossin3xxexx dxxexxdyx)4cossin3(222 6、设2sinxexy，求dy。解：)()(sin2xexy 2)()(cos2xexxx 22
22、2cosxxexx dxxexxdyx)22cos(2 7、设xxexy cos，求dy。解：)()(cosxxexy)()(sinxxxeexx xexxx)1(2sin dxexdxxxdyx)1(2sin 8、5ln02)1(dxeexx 解：原式=5ln025ln02)1()1()1(xxxxededee)1()1(31|)1(313035ln5ln03eeex 3208)26(3133 9、edxxx1ln11 解：原式=eexdxxdx11)ln1(ln11lnln11 exdx121)ln1()ln1()1ln1()ln1(2|)ln1(22121121exe)12(2 10、dxxxe12ln 解：原式=eeexdxxxdxx131331ln31|ln31ln31 eedxxedxxxe12313331313131=9192|91313133exee 11、dxxx202sin 解：原式=2020202cos21|2cos212cos21xdxxxxxd)0sin(sin414|2sin41420 x4 12、dxxx20cos 解：原式=202020sin|sinsinxdxxxxxd 12|cos220 x