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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第五篇 数列及其应用 专题 5.01 数列的概念及简单表示法【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an1an 其中 nN*递减数列 an1an 常数列 an1an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列
2、有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列an的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【微点提醒】1.若数列an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 anS1，n1，SnSn1，n2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的
3、排列顺序有关.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对任意 nN*，都有 an1Sn1Sn.()【教材衍化】2.(必修 5P33A4 改编)在数列an中，a11，an1（1）nan1(n2)，则 a5等于()A.32 B.53 C.85 D.23 3.(必修
4、 5P33A5 改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an_.【真题体验】4.(2019山东省实验中学摸底)已知数列an中，a11，an12an1(nN*)，Sn为其前 n 项和，则 S5的值为()A.57 B.61 C.62 D.63 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！5.(2018北京朝阳区月考)数列 0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式 an等于()A.（1）n12 B.cos n2 C.cos n12 D.cos n22 6.(2019天津河东区一模)设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sna1（4n1）3，若 a432，则 a1_.【考
5、点聚焦】考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】(1)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an(1)n11 B.an2，n为奇数，0，n为偶数 C.an2sinn2 D.ancos(n1)1(2)已知数列an为12，14，58，1316，2932，6164，则数列an的一个通项公式是_.【规律方法】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征
6、；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理.【训练 1】写出下列各数列的一个通项公式：努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(1)112，123，134，145，；(2)12，2，92，8，252，；(3)5，55，555，5 555，.考点二 由 an与 Sn的关系求通项【例 2】(1)(2019广州质检)已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_.(2)(2018全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn2an1，则 S6_.【规律方法】
7、数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anS1，n1，SnSn1，n2.当 n1 时，a1若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示.【易错警示】在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 anSnSn1的形式，但它只适用于 n2 的情形.例如例 2 第(1)题易错误求出 an2n(nN*).【训练 2】(1)已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则数列an的通项公式 an_.(2)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则数列的通项公式 an_.努
8、力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！考点三 由数列的递推关系求通项 【例 3】(1)在数列an中，a12，an1anln11n，则 an等于()A.2ln n B.2(n1)ln n C.2nln n D.1nln n(2)若 a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式 an_.(3)若 a11，an12an3，则通项公式 an_.(4)若数列an满足 a11，an12anan2，则 an_.【规律方法】由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知 a1，且 anan1f(n)，可用“累加法”求 an.(2)已知 a1(a10)，且anan1f(n)，可用“累乘法”求 an
9、.(3)已知 a1，且 an1qanb，则 an1kq(ank)(其中 k 可用待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列.(4)形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【易错警示】本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证 a1是否适合所求式.【训练 3】(1)(2019山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，an1an2n努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！11，则 an_.(2)若 a11，an12nan，则通项公式 an_.考点四 数列的性质【例 4】(1)数列an的通项 annn290，则
10、数列an中的最大项是()A.3 10 B.19 C.119 D.1060(2)数列an满足 an12an，0an12，2an1，12anan成立，则实数 k 的取值范围是_.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【反思与感悟】1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“an1panq”这种形式通常转化为 an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为 an1anf(n)型，则采用累加法；若为an1anf(n)型，则采用累乘法.【易错防范】1.解决数列问题应注意三点(1
11、)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意 anSnSn1中需 n2.2.数列an中，若an最大，则anan1且anan1；若an最小，则anan1且anan1.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.数列 1，3，6，10，15，的一个通项公式是()A.ann2(n1)B.ann21 C.ann（n1）2 D.ann（n1）2 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！2.已知数列an满足：任意 m，nN*，都有 anamanm，且 a112，那么 a5()A.132 B.116 C.14 D.12 3.(
12、2019江西重点中学盟校联考)在数列an中，a114，an11an1(n2，nN*)，则 a2 019的值为()A.14 B.5 C.45 D.54 4.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an1Sn1(nN*)，则 S5()A.31 B.42 C.37 D.47 5.(2019成都诊断)已知 f(x)（2a1）x4（x1），ax（x1），数列an(nN*)满足 anf(n)，且an是递增数列，则 a 的取值范围是()A.(1，)B.12，C.(1，3)D.(3，)二、填空题 6.在数列1，0，19，18，n2n2，中，0.08 是它的第_项.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美
13、！7.若数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则数列an的通项公式 an_.8.在数列an中，a12，an1n1annln11n，则 an_.三、解答题 9.(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足 a11，a2n(2an11)an2an10.(1)求 a2，a3；(2)求an的通项公式.10.已知 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 Sn12a2n12an(nN*).(1)求 a1，a2，a3，a4的值；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)求数列an的通项公式.【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)11.(2019山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子
14、定理”.1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法复合 1801 年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2 018 这 2 018 个数中，能被 3 除余 1 且被 7 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有()A.98 项 B.97 项 C.96 项 D.95 项 12.已知数列an的通项公式 an(n2)67n，则数列an的项取最大值时，n_.13.(2019菏泽模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn(1)nan12n，记 bn8a22n1，若对任意的 nN*，总有 bn10 成立，则实数 的取值范围为_.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！14.已知数列an中，an11a2（n1）(nN*，aR 且 a0).(1)若 a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN*，都有 ana6成立，求 a 的取值范围.【新高考创新预测】15.(数学文化)著名的斐波那契数列an：1，1，2，3，5，8，满足 a1a21，an2an1an，nN*，那么 1a3a5a7a9a2 017是斐波那契数列的第_项.