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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 4 章 指数函数与对数函数 指数与对数的运算 【例 1】计算:（1）2log32log3错误!log385log53；(2)1。513错误!080。25错误!（错误!错误!)6错误!。解（1)原式log3错误!3231。（2）原式错误!错误!2错误!2错误!2233错误!错误!21427110.指数、对数的运算应遵循的原则 学必求其心得，业必贵于专精 -2-指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价，熟练地运用
2、对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧。1设 3x4y36,则错误!错误!的值为()A6 B3 C2 D1 D 由 3x4y36 得xlog336，ylog436,错误!错误!2log363log364log369log364log36361。指数函数、对数函数的图象及应用 【例 2】(1）若函数ylogax（a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(）学必求其心得，业必贵于专精 -3-A B C D(2)已知函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x0 时，f(x)错误!x。如图,画出函数f(x）的图象；根据图象写出f（x）的单调区间,并写出函数
3、的值域（1）B 由已知函数图象可得，loga31，所以a3。A 项，函数解析式为y3x，在 R 上单调递减,与图象不符；C 项中函数的解析式为y(x）3x3,当x0 时，y0，这与图象不符；D 项中函数解析式为ylog3（x)，在（，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为yx3，与图象相符故选B.(2）解 先作出当x0 时，f(x)错误!x的图象,利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x）在x(，0)时的图象 函数f（x)的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为0,学必求其心得，业必贵于专精 -4-）,值域为（0，1 1识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数
4、图象的变化趋势；（2）奇偶性：函数图象的对称性；（3）特殊点对应的函数值 2 指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a01，loga10。2函数y1log错误!(x1）的图象一定经过点（)A（1，1）B(1,0)C(2，1)D（2,0）C 把ylog12x的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位即可得到y1log错误!(x1）的图象，故其经过点（2，1)比较大小 【例 3】若 0 xy1，则（）A3y3x Blogx3logy3 学必求其心得，业必贵于专精 -5-Clog4xlog4y D。错误!x错误!y C 因为 0 xy1，则 对于 A，函数y3x在 R 上单调递增,故 3x3
5、y,A 错误 对于 B,根据底数a对对数函数ylogax的影响：当 0a1 时，在x（1,）上“底小图高”因为 0 xyc Bbac Cacb Dcba C alog2log221，blog错误!log错误!10,c2错误!,即 0ccb，故选 C。指数函数、对数函数的性质 【例 4】（1)设函数f（x）ln（1x）ln（1x),则f（x)是（）A奇函数，且在(0，1)上是增函数 B奇函数，且在（0，1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1）上是增函数 D偶函数，且在（0,1)上是减函数(2)已知a 0，a1 且 loga3loga2，若函数f（x)logax在区间a,3a上的最大值与最小值之差
6、为 1。求a的值；若 1x3，求函数y(logax)2loga错误!2 的值域（1)A 由题意可得，函数f(x）的定义域为（1,1)，且f(x）学必求其心得，业必贵于专精 -7-ln(1x）ln（1x)f（x），故f（x)为奇函数又f（x)ln错误!ln错误!，易知y错误!1 在（0,1)上为增函数，故f(x）在（0，1)上为增函数 （2）解 因为 loga3loga2，所以f（x)logax在a,3a上为增函数 又f（x）在a,3a上的最大值与最小值之差为 1，所以 loga（3a)logaa1，即 loga31,所以a3.函数y(log3x)2log3错误!2（log3x）2错误!log3
7、x2错误!2错误!.令tlog3x，因为 1x3，所以 0log3x1，即 0t1.所以y错误!2错误!错误!,所以所求函数的值域为错误!.1把本例(1)的函数f（x）改为“f(x)ln（x错误!）”,判断其奇偶性 解 f(x)ln(x错误!），其定义域为 R，又f(x)ln(x错误!），学必求其心得，业必贵于专精 -8-f(x)f（x）ln（x错误!）ln（x错误!)ln 10，f(x)f（x)，f(x）为奇函数 2 把本例（2）中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值 解 由题意可知y32x3x1，令 3xt，则t3,27，f(t）t2t1错误!2错误!，t3，27，当t3 时，f（t)
8、minf(3)93111.1研究函数的性质要树立定义域优先的原则 2换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问题中，常设ulogax或uax,转化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后u的取值范围 函数的应用 【例 5】一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10衰减（1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0。1）学必求其心得，业必贵于专精 -9-解(1）最初的质量为 500 g.经过 1 年，w500(110%)5000。9;经过 2 年，w5000。92；由此推知，t年后,w5000。9t。(
9、2）由题意得 5000。9t250，即 09t0。5，两边同时取以 10 为底的对数,得 lg 0.9tlg 0.5，即tlg 0。9lg 0。5，所以t错误!6.6.即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为yN1px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质 2，每过滤一次可使杂质含量减少错误!,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20。301 0，lg 30.477 1)学必求其心得，业必贵于专精 -10-解 设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得2100错误!n错误!,即错误!n错误!.则n（lg 2lg 3）（1lg 2），故n1lg 2lg 3lg 27。4，考虑到nN，故n8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求